哲學(xué)思維：超越數(shù)學(xué)基本思想的思維認(rèn)知

李 靜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011 年版）》把數(shù)學(xué)教學(xué)中的“雙基”發(fā)展為“四基”，在基本知識和基本技能的基礎(chǔ)上增加了基本思想與基本活動經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)基本思想是指數(shù)學(xué)產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的思想，是人學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以后具有的思維能力。數(shù)學(xué)學(xué)科層面之上的思想應(yīng)該超越數(shù)學(xué)，上升到哲學(xué)的高度。教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的哲學(xué)思維能力，將有助于學(xué)生從更高的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)。那么，什么是哲學(xué)思維？數(shù)學(xué)基本思想中能挖掘出哪些哲學(xué)思維？該如何實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)基本思想到哲學(xué)思維的超越呢？本文將結(jié)合具體的教學(xué)實(shí)踐進(jìn)行初步的闡述。

一、解讀：數(shù)學(xué)與哲學(xué)的關(guān)聯(lián)

數(shù)學(xué)是從數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化、空間和信息等角度探究世界規(guī)律的學(xué)問。哲學(xué)是從思辨角度研究世界觀和方法論的學(xué)問。數(shù)學(xué)和哲學(xué)有著天然的聯(lián)系。正如數(shù)學(xué)家B.德莫林斯說的：“沒有數(shù)學(xué)，我們無法看透哲學(xué)的深度；沒有哲學(xué)，人們也無法看透數(shù)學(xué)的深度?！睌?shù)學(xué)中蘊(yùn)含著諸多哲學(xué)思想，如現(xiàn)象和本質(zhì)、一和多、部分和整體、永恒和變化等，它們影響著數(shù)學(xué)的發(fā)展。在哲學(xué)思維的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)，有助于人們認(rèn)識和理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。用哲學(xué)思維指導(dǎo)的數(shù)學(xué)教學(xué)，不只在知識內(nèi)部就事論事，往往還能從數(shù)學(xué)思想的高度找出解決問題的方法。

二、審視：數(shù)學(xué)基本思想中的哲學(xué)思維

東北師范大學(xué)史寧中教授認(rèn)為，我們可以把數(shù)學(xué)基本思想歸結(jié)為三個(gè)核心要素，即抽象、推理和模型，三者之間先后關(guān)聯(lián)、起承轉(zhuǎn)合、相互交織。數(shù)學(xué)思想或隱性或顯性地存在于數(shù)學(xué)教學(xué)中，除了能從數(shù)學(xué)的角度傳授知識和方法，還能從哲學(xué)的角度進(jìn)行適度的辯證剖析。

1.抽象思想中的哲學(xué)——“日取其半，萬世不竭”。

抽象是指從眾多對象中抽取出共同且本質(zhì)的特征，舍棄其非本質(zhì)特征，它是數(shù)學(xué)活動中最基本的思想，包括分類、集合、變與不變、符號、對應(yīng)、有限與無限等。其中，極限思想是用無限逼近的方式來刻畫數(shù)量變化的趨勢，這里要抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：其一是變化的量是無窮多個(gè)；其二是無限變化的量趨于一個(gè)確定的常數(shù)。傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算是有限個(gè)數(shù)的計(jì)算，經(jīng)過有限的運(yùn)算次數(shù)可以得到一個(gè)確定的結(jié)果。計(jì)算常見幾何圖形的面積，可以通過分割、平移把它們轉(zhuǎn)化成長方形來推導(dǎo)面積計(jì)算公式。但對于不能直接轉(zhuǎn)化成長方形的圓、橢圓等圖形來說，又該如何精確計(jì)算它們的周長和面積呢？其實(shí)，圓也可以分割轉(zhuǎn)化成長方形，只不過一般直邊圖形是通過有限次分割來轉(zhuǎn)化成長方形的，而圓是通過無限次分割、拼接、逼近來轉(zhuǎn)化成長方形的。這樣操作的依據(jù)便是極限思想，因而極限思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材及教學(xué)中不但有，而且在計(jì)算和公式推導(dǎo)中已經(jīng)真正應(yīng)用了，是小學(xué)數(shù)學(xué)教材和課堂教學(xué)中客觀存在的數(shù)學(xué)思想。

數(shù)學(xué)的極限思想只是科學(xué)的一小部分，往深層次挖掘，就可以看到哲學(xué)的成分?！肚f子·天下篇》有云：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！边@句話轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言來描述就是：長度為單位1 的線段，第一天取走全長的一半，以后每天取走剩下的一半，永遠(yuǎn)有剩余。其實(shí)，這句話只說對了一半。根據(jù)極限思想，這個(gè)無限變化的結(jié)果最后一定有極限，這句話只看到了無限，而沒有看到無限中蘊(yùn)含著有限，無限取下去，剩下線段的長度趨于0，取走的長度趨于1。為了計(jì)算圓的面積和圓周率，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立了割圓術(shù)，先做圓的內(nèi)接正六邊形，再做圓的內(nèi)接正十二邊形，隨著正多邊形越來越接近圓，它的面積和周長也越來越接近圓的面積和周長。劉徽在描述這種做法時(shí)說：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至不可割，則與圓周合體而無所失矣?！币簿褪钦f，隨著正多邊形的邊數(shù)無限增加，圓就可以轉(zhuǎn)化為邊數(shù)無限的圓內(nèi)接正多邊形，即化圓為方。劉徽看到了有限與無限的對立統(tǒng)一，比莊子的認(rèn)識更全面、更客觀。由上可知，極限思想是一種用無限逼近的方式來研究數(shù)量變化趨勢的哲學(xué)思維，同時(shí)也是微積分理論的基礎(chǔ)，本質(zhì)上體現(xiàn)了辯證關(guān)系，即圓與方、曲與直、靜與動、有限與無限對立統(tǒng)一的哲學(xué)思維。

2.推理思想中的哲學(xué)——“塞翁失馬，焉知非?！?。

推理是從一個(gè)命題判斷到另一個(gè)命題判斷的思維過程，包括歸納、演繹、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化、類比等。以其中典型的轉(zhuǎn)化思想為例，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有數(shù)的轉(zhuǎn)化、計(jì)算的轉(zhuǎn)化、圖形的轉(zhuǎn)化等問題，當(dāng)學(xué)生束手無策時(shí)，教師若能引導(dǎo)他們運(yùn)用未知化已知、復(fù)雜化簡單、一般化特殊、抽象化具體等轉(zhuǎn)化思想來解決，將有助于學(xué)生撥開思維的迷霧。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，眾多現(xiàn)實(shí)引發(fā)筆者思考：轉(zhuǎn)化思想是引導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和工作的靈魂，如果我們站位更高、眼光更遠(yuǎn)，能否將轉(zhuǎn)化的思想和意識滲透至我們的生活中呢？

答案是肯定的。我國有句成語叫“塞翁失馬，焉知非福”，是說塞翁丟了馬，人們都來慰問他，他說：“這怎么就不能是一件好事呢？”幾天后馬不僅回來了，還帶回了許多匹塞外良馬，人們都來祝賀他，他說：“這怎么就不能是一件壞事呢？”又過了幾天，塞翁的兒子從馬上摔下腿斷了，人們都來安慰他，他說：“這怎么就不能是一件好事呢？”之后國家征兵打仗，塞翁的兒子因?yàn)橥热扯庥谡鲬?zhàn)。這是一個(gè)循環(huán)往復(fù)、極具戲劇性的故事，闡述了禍與福的對立統(tǒng)一關(guān)系，揭示了“禍兮福之所倚，福兮禍之所伏”的道理。如果單從哲學(xué)的角度來看，這個(gè)成語啟發(fā)人們用轉(zhuǎn)化的思維、發(fā)展的眼光辯證地去看問題。無論是遇到福還是遇到禍，都要辯證地看待未知的結(jié)果。

當(dāng)然，生活中還有很多蘊(yùn)含著哲學(xué)思維的轉(zhuǎn)化思想，如形容情緒大起大落的“樂極生悲”、說明憂患意識重要性的“人無遠(yuǎn)慮，必有近憂”等成語或俗語。如果教師能在數(shù)學(xué)教學(xué)中加以滲透，學(xué)生運(yùn)用辯證思維看待、分析問題的心態(tài)將會更加成熟、平和，這對于現(xiàn)實(shí)教學(xué)和學(xué)生將來的發(fā)展都具有實(shí)際意義。

3.模型思想中的哲學(xué)——“愚者千慮，必有一得”。

數(shù)學(xué)模型是為解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題而建立的概念、公式、定義、定理、法則、體系等，一般用語言、符號、數(shù)量關(guān)系或圖形來呈現(xiàn)。模型思想包括簡化、量化、函數(shù)、方程、優(yōu)化、隨機(jī)、統(tǒng)計(jì)等。以簡化思想為例，它強(qiáng)調(diào)將復(fù)雜的問題用簡單的符號或圖示模型來進(jìn)行表征。如著名的哥尼斯堡七橋問題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)呢？瑞士數(shù)學(xué)家歐拉把它簡化成了一個(gè)幾何問題的模型——一筆畫問題，不僅解決了問題，給出了連通圖，還提出一筆畫的重要條件在于它們是連通的，而且奇頂點(diǎn)（通過此點(diǎn)弧的條數(shù)是奇數(shù)）的個(gè)數(shù)為0 或2。

有人可能會說，這是大數(shù)學(xué)家才能想到的方法，我們這些平凡人是難以解決這些高深的問題的。我國西漢史學(xué)家司馬遷在《史記·淮陰侯列傳》中寫道：“智者千慮，必有一失；愚者千慮，必有一得?！边@是說智者在多次的考慮中也會出現(xiàn)個(gè)別錯(cuò)誤；而愚者經(jīng)過千百次的思考，偶爾想出一條主意也可能是正確的。這些所謂的愚者實(shí)際上是在踐行簡化的思想，他們在用最簡單的方法下“笨”功夫，這種“笨”功夫?qū)崉t就是按照一定的模型，循環(huán)往復(fù)地進(jìn)行模型化嘗試和體驗(yàn)，很好地印證了“實(shí)踐出真知”的哲學(xué)道理。

三、實(shí)踐：兒童哲學(xué)思維的培養(yǎng)對策

1.化隱為顯，明晰哲學(xué)思維的關(guān)鍵點(diǎn)。

（圖1）

（圖2）

解題過程中蘊(yùn)含著復(fù)雜的極限思想。此時(shí)，若教師適時(shí)點(diǎn)撥，將微觀放大，引導(dǎo)學(xué)生找到其中哲學(xué)思維的生長點(diǎn)，即量變引起質(zhì)變，其和無限逼近1，將有助于學(xué)生加深對極限思想的認(rèn)識。

2.化弊為利，找準(zhǔn)哲學(xué)思維的切入點(diǎn)。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們不僅應(yīng)關(guān)注知識的傳承，還要發(fā)現(xiàn)兒童的“獨(dú)特之處”。首先是“容”錯(cuò)，更重要的是“榮”錯(cuò)，學(xué)生的錯(cuò)誤是一種寶貴的教學(xué)資源，這其實(shí)與之前提到的“塞翁失馬，焉知非?！钡恼軐W(xué)思維不謀而合。下面，我們來看特級教師周衛(wèi)東執(zhí)教蘇教版五上《平行四邊形的面積》一課的兩個(gè)片段：

【片段1】

師：同學(xué)們課前都自己嘗試求了這個(gè)平行四邊形的面積，我們先來看看這位同學(xué)的想法。（出示圖3）

（圖3）

師：你覺得他的想法對嗎？

生：不對。因?yàn)樗愕牟皇敲娣e而是周長。

師：這個(gè)想法雖然不正確，但它的價(jià)值在哪里？

生：提醒我們要看清楚求的是面積還是周長。

周老師用藝術(shù)化的處理告訴大家這樣一個(gè)哲學(xué)道理：學(xué)生的錯(cuò)誤都有它的價(jià)值，都有它存在的意義。

【片段2】

師：剛剛，我們通過切割和平移把平行四邊形轉(zhuǎn)化成了長方形，得出平行四邊形面積=底×高。有同學(xué)課前是這樣想的（出示圖4），他的想法對嗎？（大多數(shù)學(xué)生搖頭）錯(cuò)在哪里了？

生：把這個(gè)平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，轉(zhuǎn)化后的長方形的寬是5 而不是8，也就是說高是5，所以不能用12×8。

（圖4）

師：你覺得12×8 算出來的面積比實(shí)際面積大還是??？

生：我覺得這樣算應(yīng)該比實(shí)際面積大。

師：能說明理由嗎？

學(xué)生畫出相應(yīng)的圖，教師課件（如圖5）演示說明。

（圖5）

師：在這樣的變化過程中，面積為什么會變大呢？

生：因?yàn)榻嵌仍谥饾u變大。

師（出示圖6）：對，a 和b 兩條邊之間的夾角越大，這兩條邊相乘得出的面積就越大……

周老師把學(xué)生的錯(cuò)誤轉(zhuǎn)化成了一種有效的教學(xué)資源。從學(xué)生的錯(cuò)誤出發(fā)，找準(zhǔn)知識結(jié)構(gòu)之間的關(guān)聯(lián)，潛移默化地滲透初中相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生真正經(jīng)歷體驗(yàn)、探索、再發(fā)現(xiàn)的過程。

（圖6）

3.化繁為簡，把握哲學(xué)思維的延伸點(diǎn)。

從數(shù)學(xué)思維的角度來看，問題解決實(shí)際上是以問題為載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷抽象和概括的過程。筆者前面談到了模型思想，簡言之，數(shù)學(xué)模型就是借助數(shù)學(xué)的語言講述現(xiàn)實(shí)生活的故事。特級教師華應(yīng)龍“投石問路”的教學(xué)方法就是一個(gè)很好的例證。

課始，華老師出示微信朋友圈中的一個(gè)話題——“徒弟問：‘師父，您多大了？’師父答：‘我在你這年紀(jì)時(shí)，你才5 歲；等你到我這年紀(jì)時(shí)，我就71 歲了?！辈⑻釂枺和降軒讱q？師父幾歲？問題一出來，大部分學(xué)生面面相覷。華老師讓學(xué)生多讀幾遍，提煉出幾個(gè)關(guān)鍵詞：過去、現(xiàn)在、將來，并畫出如圖7 所示的示意圖。進(jìn)而提出如圖8 所示的“投石問路”畫圖法，讓學(xué)生也像這樣舉例并畫圖表示。

（圖7）

（圖8）

師：投石是為了什么？

生：問路，找到問題之間的關(guān)系。

師：真好，你發(fā)現(xiàn)什么關(guān)系了嗎？

生：通過投石問路，能看出從徒弟過去的5歲到師父將來的71 歲，中間共相差66 歲，里面有3 段年齡差，每一段年齡差就是22 歲。

…………

華老師這節(jié)課旨在引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，搭建幫助理解的思維腳手架，題目中的實(shí)質(zhì)性知識并不重要，他要以此聚焦、凸顯比“魚”更重要的“漁”，而且這“漁”并非由他所傳授，他只是在“導(dǎo)人自漁”?！巴妒瘑柭贰钡姆椒此朴薇?，實(shí)則是一種簡化的理性思維訓(xùn)練?！坝拚咔]，必有一得”，就在這笨與不笨的沖突中，學(xué)生向下“沉潛”，在試錯(cuò)與摸索中觸及知識內(nèi)蘊(yùn)，進(jìn)而“向上飛揚(yáng)”，沉潛似“笨”，飛揚(yáng)為“智”。

數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，是讓學(xué)生會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。而數(shù)學(xué)的眼光就是抽象，數(shù)學(xué)的思維就是推理，數(shù)學(xué)的語言就是模型。學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)掌握數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會思考和判斷，可以更容易地理解哲學(xué)的基本原理，形成哲學(xué)思維。教師應(yīng)不斷提升自己的哲學(xué)素養(yǎng)，用數(shù)學(xué)基本思想背后的哲學(xué)思維來指導(dǎo)教學(xué)，這樣不僅有助于學(xué)生潛移默化地掌握哲學(xué)的思維方法，也能使他們從更高的角度認(rèn)識數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué)，進(jìn)而提高思維能力、推理能力和創(chuàng)新能力。