初中數學“促進式教學”的課堂實踐描述
——以蘇科版七下“平方差公式”教學為例

章曉東

“促進式教學”是指面對性格各異的學生，整合各種教學資源，創(chuàng)設和諧的學習氛圍，構建真實的問題情境，以“促進”為主要方式和發(fā)展維度的一種教學范式。開展“促進式教學”，做學生學習力的“促進者”，是以促進式教學的方式、方法、策略為操作系統(tǒng)，以師生促進、生生促進、媒介促進、自我促進、評價促進為主要手段，創(chuàng)設情境激發(fā)學習動力，設置疑難培養(yǎng)學習毅力，借助系列思維活動錘煉學習耐力，最終提升學生學習力。

“學習只能促進，教師只是一個促進者?！边@應是每個教師的共識。具體而言，教師應培育學生學習動力，促進學生“樂學”；培育學生學習毅力，促進學生“學會”；培育學生學習能力，促進學生“會學”。

在促進式教學的課堂實踐中，我一直在嘗試一種“四步促進教學法”。主要是由“預學—嘗試—互動—反饋”四個相互連接、層層推進的課堂教學環(huán)節(jié)組成，以“小步子快進式的多次反饋”為主線，以“主動、生動、互動”為特征，體現師對生、生對生的“引導、引領、引申”為特點的科學的促進式教學方式。

下面以蘇科版七年級數學下“平方差公式”的教學設計為例進行課堂實踐的描述。

一、備課設計

在備課設計上要體現促進式教學“起點低、步子緊、落點高”的分層遞進特征。首先要“起點低”。備課設計要面向全班各層次的學生，基礎題占比要達到70%，當然也要根據班級學情的變化而調整，真正做到以學定教，依學而教，學習目標的邏輯起點瞄準基礎最差的后十位學生，下要保底，即達到課程標準對本節(jié)課的基本要求，這是備課的重點；其次要“步子緊”。例習題（問題）的設計，要在各層次學生有收獲的基礎上逐步提高要求，變式訓練，分層遞進，分層提高，中等題占比要在20%左右，如本課中以“邁小步、不停步”逐級提高的方式，把平方差公式的運用提高到自主編題的要求；最后是“落點高”。不僅高在知識的層次上，還體現在數學思想和方法論的運用與提煉上，對學有余力的學生進一步提高思維的難度，有一定的思維挑戰(zhàn)性，如本課中的拓展反饋題，通過“等面積法”來說明平方差公式。

據此設定本課的學習目標與要求：學生自主探索平方差公式，了解公式的幾何背景，發(fā)展符號感和推理能力；學生能掌握平方差公式的結構特點。重點是熟練運用平方差公式進行簡單的計算和推理；難點是理解平方差公式的特征。

二、課堂實施

1.預學。

“預學”是教師引導學生發(fā)現問題的過程，是學生進入學習狀態(tài)的教師促進過程?！捌椒讲罟健币徽n向學生提出預學的目標及要求：一是自學課本，理解平方差公式的產生過程及幾何背景，寫出平方差公式；二是嘗試用文字說明平方差公式中等式左邊和右邊的特征；三是會做例題，在自學的過程中將疑惑寫下來。預學既是借助學案和書本教學媒介的促進式學習，也是學生獨立嘗試學習的前提，更是一種內省式的自我促進?？梢?，師生促進的核心是創(chuàng)設情境，目標引學，主要幫助學生選擇并確定學習內容，安排適當的學習活動和材料；創(chuàng)設豐富的教學情境，充分調動學生的前經驗和學習積極性；幫助學生發(fā)現所學東西的價值，建立并維持能促進學習的心理氣氛；師生促進，適合課前、課中、課后三個時間節(jié)點。

2.嘗試。

“嘗試”是學生獨立解決問題的過程，是學生開始進入深度學習的自我促進過程。考慮到班級學生在學習上的差異性比較大，按照備課的設計，學習的邏輯起點選擇在班級最后十名學生的學習基礎上。包含兩個方面的內容：一是學生自學教材，能初步獨立嘗試解決學案稿上少量非?；A的問題，甚至比例題的要求還低一點的問題；二是適當進行個別指導，教師重點放在輔導基礎較弱的學生身上，幫助他們掌握預學的基本方法。這一環(huán)節(jié)的時間一般安排6分鐘左右，這里的自我促進需要達到的效果是，學困生能初步嘗試略低于例題難度的基礎題，促進學生初步樹立學習信心；中等生能獨立解決例題，促進學生進一步學習的欲望；學優(yōu)生不僅快速解決例題，還能理解問題本質屬性，促進學生開始進入深度學習的狀態(tài)。

以下是嘗試用平方差公式計算的習題。（1）（x+1）（x－1）；（2）（a+2）（a－2）；（3）（3－x）（3+x）；（4）（2m+n）（2m－n）。

不難看出，前3 題的設計難度要低于例題的要求，通過嘗試練習，適當變換字母與形式，促進學生的成功體驗，第（4）題的設計難度與例題一致。

“自我促進”的關鍵是先學自研，內省體悟。所有的先學，都來自對數學文本的研讀，而通過研讀來促進元認知的展開，為嘗試練習打下基礎。

3.互動。

“互動”是師生合作“解決問題”的過程，是生生促進、師生促進深度學習的過程。這是課堂的主干部分，時間在20 分鐘左右。教師以“學習小組”為單位，組織學生相互問答，批閱“預學嘗試題”，互動探究，相互矯正，互通有無，優(yōu)勢互補。教師的講解突出重點、難點和疑點。反饋要體現變化、變動、變式，要求是“小步子快進”式的提高。本環(huán)節(jié)教學設計如下。

（1）與同伴交流你的計算過程和結果，特別要交流你在自學和嘗試練習中的啟發(fā)和困惑。

（2）計算：①（x+3）（x-3）；②（x+3）（x-2）；③（2x+3）（2x-3）；④（-m+2n）（-m-2n）；⑤（m+n）（-m+n）；⑥（x2+3）（x2-3）。

（3）以上的練習，你有何啟發(fā)？與你的同伴交流。說說如何正確使用平方差公式？

互動促進的過程也是快速反饋的過程，題目的設計遵循“小步子快進”的方式逐級提高難度，（2）中第②題特意設計一個“陷阱”，部分學生會誤用公式，得出x2-6 的錯誤結果，從而加深學生對平方差公式本質特征的認識。

（4）如何快速判斷下列各式能否用平方差公式計算？

①（a+b）（a-b）；②（a+b）（-a+b）；③（-a+b）（-a-b）；④（-a-b）（a-b）；⑤（-a+b）（a-b）；⑥（a+b）（b-a）；⑦（a+b）（-a-b）；⑧（b-a）（a-b）。

（5）交流：能否找到快速判斷的方法？能否把平方差公式編成口訣？

課堂實踐證明，（4）中的8 個小題，能夠一次性快速判斷全對的學生還真不多，非常容易判斷失誤，根本的原因還在于學生對平方差公式的本質特征沒有真正理解。在學生獨立思考的基礎上，通過生生互動、師生互動促進深刻理解，即前后兩個多項式必須有兩項完全相同，兩項互為相反項，符合這個本質特征才可以用平方差公式計算。如果把完全相同的項看作“頭”，那么互為相反項看作“尾”，平方差公式就可以編成口訣“頭尾和乘頭尾差，頭平方減尾平方”。所有的這些結論都不能由教師直接告訴學生，而是要讓學生通過互動促進來認識和理解。通過第（4）道題的互動促進，學生對平方差公式特征的認識就有了質的飛躍，引發(fā)了學生思維的高潮。

4.反饋。

“反饋”是學生“矯正問題”的過程，是學生對學習結果的評價促進過程。評價促進的關鍵是矯正激勵，拓展遷移。評價的根本目的，是激發(fā)學生的學習情趣，充實學生的學習歷程，改進學生的學習方法。預學嘗試的結果是一種自我評價的促進；互動也是一種“生生評價”和“師生評價”的促進；最后的反饋檢測是一種形成性的評價促進，可以說，評價無處不在，無時不在，評價本質上是一種促進，促進學生個體對數學學習過程與結果的反思，對數學思想與方法論的理解與感悟。本環(huán)節(jié)教學設計如下。

（1）判斷下列計算是否正確。

①（2a-3b）（2a-3b）=4a2－9b2（）

②（x+2）（x-2）=x2－2 （）

③（－3a－2）（3a－2）=9a2－4 （）

④（x+3）（x-2）=x2－6 （）

⑤（-x-y）（x+y）=-x2-y2（）

（2）寫出與（-a+b）相乘能利用平方差公式進行計算的因式________________。

（3）計算①（x-3）（x+3）（x2+9）；②（a+2）（a-2）-（a-1）（a+5）。

這種“短平快”的小題訓練，讓學生快速地達成基礎性學習目標，讓各個層次的學生都享受成功的快樂，學困生的成功體現在準確率上，中上游學生的成功體現在準確率和速度上，即以快反饋評價促進學生的高效學習。

（4）編題。請同學們和老師一起來編題，要求每人編幾個可以運用平方差公式來計算的多項式乘法，看誰編得好。

編題的過程又是自我促進、互動促進、評價促進的過程，學生不僅會進一步加深對平方差公式本質特征的認識，而且還能創(chuàng)編出新的題型，如在具體課堂實踐中，學生就編出了（x2-4）（x2+4），（3a+2b+c）（3a+2b-c）兩道題，而后者恰好是平方差公式第二課時涉及的內容，學生就要思考如何把三項乘三項轉變成符合平方差公式特征的兩項乘兩項，我們不妨順勢而為，生成變式：（3a-2b+c）（3a+2b-c），（3a-2b-c）（3a+2b+c），（3a-2b+c）（3a+2b+c），（3a-2b+c）（3a-2b+c），其中最后一題（3a-2b+c）（3a-2b+c）的編擬是為了打破學生的思維定勢，要解答它，需要運用完全平方公式。這樣就讓學生帶著更多生成的問題走出課堂，讓學生的思維有更深的卷入與批判。促進式教學的數學課堂是師生、生生有效互動、動態(tài)生成的過程，自然會產生許多學習信息與教學資源。這就需要教師在課堂中善于捕捉、篩選信息，把握動態(tài)生成的機會，巧妙利用生成的有價值的資源，進行生成性教學。

（5）拓展遷移。如圖，從邊長為a 的大正方形紙板中挖去一個邊長為b 的小正方形紙板后，將其裁成四個相同的等腰梯形（如圖1），然后拼成一個平行四邊形（如圖2）。那么通過計算兩個圖形陰影部分的面積，可以驗證成立的公式為________，說說理由。

拓展遷移體現“落點高”的能力要求，主要是為學有余力的學生設計的，也有可能是師生互動中產生的要求較高的問題。對中等生來說則要逐步讓他們了解解題的思路，對學優(yōu)生來說是一個掌握方法，提高能力的過程，時間不宜長，一般安排3～5 分鐘。

（6）交流分享。①你有什么收獲想和大家說？②你有什么困惑想和老師說？

促進式教學以學生積極參與學習過程為中心，圍繞課堂中的人際關系，整節(jié)課或課的一個部分呈現四個環(huán)節(jié)：師生促進—創(chuàng)設情境，目標引學；自我促進—預學嘗試，內省體悟；生生促進—互動探究，深度學習；評價促進—矯正激勵，拓展遷移。這幾種促進方式并不存在嚴格的時間序列，它們可以一一開展，也可以交織并行。我們知道，最鮮活的、個性化的教育思想，一定是從實踐的土壤中生長起來的。在課堂實踐中，我們開展了促進式教學的學科思考、內容選擇、方法考量、評價操作等一系列的實證研究，發(fā)現師生、生生、自我促進是教學的最佳交往模式，并且伴隨始終的是評價促進，最高境界是學生的自我促進。

教學的促進是一種過程，更是一種理念，它不僅重視知識的落實，更崇尚智慧的教學；促進的過程是教師、學生、文本三者之間一種雙向互動的對話、合作、探究、共享的活動過程；促進式教學追求的是在落實基本知識的基礎上，進一步培養(yǎng)和提高學生的主動探究和拓展創(chuàng)造的能力，從而養(yǎng)成自主、自覺、自立的學習習慣，最終實現課堂教學質量和學生學科核心素養(yǎng)的提升。