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    區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測(cè)度及其應(yīng)用

    2020-05-15 08:12:12范建平吳美琴
    關(guān)鍵詞:模糊集直覺(jué)測(cè)度

    范建平,成 瑞,吳美琴

    山西大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,太原030006

    1 引言

    為了適應(yīng)系統(tǒng)的日益復(fù)雜性,更精確地描述并表示信息,Zadeh[1]于1965 年提出了模糊集理論,而后得到廣泛關(guān)注。越來(lái)越多的學(xué)者對(duì)模糊理論進(jìn)行了擴(kuò)展,例如直覺(jué)模糊[2]、區(qū)間模糊集[3]、Vague 集[4]、區(qū)間直覺(jué)模糊集[5]、猶豫模糊集[6]、雙猶豫模糊集[7]、Pythagorean 模糊集[8]、中智集[9]等。其中區(qū)間模糊集理論由Turksen[3]于1986 年提出,是對(duì)模糊集理論最為重要的拓展,其用隸屬度上界和隸屬度下界兩個(gè)屬性來(lái)描述模糊信息,比原有的模糊集理論更具有靈活性。

    在某些情況下,上述模糊理論無(wú)法對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行分類(lèi),有學(xué)者開(kāi)始考慮軟集[10]理論。Maji等人[11]將軟集理論與模糊集理論相結(jié)合,提出了模糊軟集概念。隨后有直覺(jué)模糊軟集[12]、區(qū)間模糊軟集[13]、區(qū)間直覺(jué)模糊軟集[14]、Vague 軟集[15]、猶豫模糊軟集[16]、雙猶豫模糊軟集[17]、Pythagorean 模糊軟集[18]、中智軟集[19]等概念的提出。

    上述模糊軟集理論被廣泛應(yīng)用,但是它們只能處理數(shù)據(jù)的不確定性,但是無(wú)法處理某段時(shí)間內(nèi)數(shù)據(jù)的波動(dòng)性,生活中,可以經(jīng)常看到隨著時(shí)間的推移周期性變化的數(shù)據(jù)。為了解決適應(yīng)這種情況,Ramot 等人[20]提出了復(fù)模糊集的概念,添加了描述信息周期性變動(dòng)的相位項(xiàng),復(fù)模糊集的隸屬度取值不限于[0,1],而是擴(kuò)展到復(fù)平面中的單位圓,從而將隸屬度由實(shí)數(shù)擴(kuò)展到復(fù)數(shù)。Alkouri 和Salleh[21]將復(fù)模糊集概念擴(kuò)展到復(fù)直覺(jué)模糊集。Greenfield 等人[22-23]提出了區(qū)間復(fù)模糊集概念并隨后給出了區(qū)間復(fù)模糊集的相關(guān)運(yùn)算。Selvachandran 等人[24]將區(qū)間復(fù)模糊集應(yīng)用于馬來(lái)西亞經(jīng)濟(jì)中。

    隨后,上述理論逐漸發(fā)展,Selvachandran 等人[25]將復(fù)模糊集、軟集、Vague 集結(jié)合提出了復(fù)Vague 軟集及其距離測(cè)度。隨后,Selvachandran 等人[26]給出復(fù)Vague 軟集的關(guān)系。Selvachandran 等人[27]提出了區(qū)間復(fù)模糊軟集的概念。

    在距離測(cè)度方面,Wang和Xin[28]提出了直覺(jué)模糊集的相似測(cè)度和距離測(cè)度。Zhang[29]提出了直覺(jué)模糊集和區(qū)間直覺(jué)模糊集的新距離測(cè)度方法。Yang和Hussain[30]基于Hausdorff 測(cè)度開(kāi)發(fā)了猶豫模糊集的距離和相似性測(cè)度,并將這些測(cè)度應(yīng)用于多準(zhǔn)則決策和聚類(lèi)分析。Singh[31]提出了雙猶豫模糊情況下基于距離和相似性測(cè)度的多屬性決策。Zeng 等人[32]提出了Pythagorean 模糊集和Pythagorean 模糊數(shù)的不同距離測(cè)度。Muharrem[33]為區(qū)間直覺(jué)模糊集開(kāi)發(fā)了一種新的距離測(cè)度方法,并將其應(yīng)用于具有不完全權(quán)重信息的群決策問(wèn)題。Khalid和Abbas[34]提出了直覺(jué)模糊軟集和區(qū)間直覺(jué)模糊軟集的距離測(cè)度和運(yùn)算。Peng 和Yang[35]提出了區(qū)間模糊軟集的信息測(cè)度。Wang 和Qu[36]提出了模糊軟集的熵,相似性測(cè)度和距離測(cè)度。

    由Yoon 和Hwang[37]定義的TOPSIS 算法是一種被廣泛使用的算法。TOPSIS 法通過(guò)最大化正理想解距離和最小化負(fù)理想解距離的決策規(guī)則來(lái)選擇最佳目標(biāo)。Chen[38]將TOPSIS 應(yīng)用于模糊環(huán)境。Ashtiani 等人[39]提出了基于區(qū)間模糊集的TOPSIS算法。Kumar和Garg[40]在區(qū)間直覺(jué)模糊環(huán)境下提出了基于集對(duì)分析的TOPSIS算法。Peng 和Yang[41]提出了一種基于最大化偏差法和區(qū)間猶豫模糊軟集的TOPSIS 的算法。Sun 等人[42]提出了基于猶豫模糊相關(guān)系數(shù)的TOPSIS算法并給出了相關(guān)應(yīng)用。Tan 和Zhi[43]提出了直覺(jué)猶豫模糊集環(huán)境下的TOPSIS算法。

    在現(xiàn)有文獻(xiàn)中,沒(méi)有關(guān)于區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測(cè)度的研究,并且沒(méi)有基于區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測(cè)度的TOPSIS 算法。因此,本文研究了區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測(cè)度,以及區(qū)間復(fù)模糊軟集的加法、乘法、部分隸屬度和部分非隸屬度的運(yùn)算。本文還研究了區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測(cè)度的運(yùn)算性質(zhì),并給出了證明。此外,提出了基于區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測(cè)度的TOPSIS 算法。最后,將這種算法應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)分析中。

    2 相關(guān)概念

    定義1[3]給定論域U,A是U 上的區(qū)間值模糊集,定義為:

    定義2[13]F( )

    U 為給定論域U 上的冪集,E 為參數(shù)集且A ?E,F(xiàn) 是F:A →F(U )的映射,( F,A) 是U 上的區(qū)間模糊軟集,定義為:

    定義3[22]給定論域U,A是U 上的區(qū)間復(fù)模糊集,定義為:

    定義4[27]給定論域U,E為參數(shù)集且A ?E,F(xiàn)(U )為給定論域U 上的冪集,F(xiàn) 是F:A →F(U )的映射,( F,A)為U 上的區(qū)間復(fù)模糊軟集,定義為:

    定義5[27]對(duì)于任意兩個(gè)區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A )和( G,B),基本運(yùn)算定義如下:

    (1)對(duì)于任意x ∈U 滿足下列 條件,則(F,A )?( G,B):

    定義6[27]區(qū)間復(fù)模糊軟集( )

    F,A 的補(bǔ)集定義為:( F,A)C=( FC,A)=

    定義7[27]區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A )和( G,B )的交運(yùn)算(并運(yùn)算)得到的集合為區(qū)間復(fù)模糊軟集( H,C),定義為:

    其中,對(duì)于任意a ∈A,b ∈B,x ∈U 且C=A ?B。

    定理1[27]區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A),( G,B),( H,C )的運(yùn)算定義為:

    (1)( F,A )∨( G,B)=( G,B )∨( F,A)

    (2)( F,A )∧( G,B)=( G,B )∧( F,A)

    (3)( ( F, A) ∨( G,B ))∨( H,C )=( F,A) ∨(( G,B )∨ ( H ,C))

    (4)( ( F, A) ∧( G,B ))∧( H,C )=( F,A) ∧( ( G, B )∧( H,C))

    定理2[27]對(duì)于任意兩個(gè)區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A),( G,B )滿足De Morgan定律:

    (1)( ( F, A) ∨( G,B))C=( F,A)C∧( G,B)C

    (2)( ( F, A) ∧( G,B))C=( F,A)C∨( G,B)C

    3 區(qū)間復(fù)模糊軟集的運(yùn)算性質(zhì)和距離測(cè)度

    3.1 區(qū)間復(fù)模糊軟集的運(yùn)算性質(zhì)

    定義8 區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A )和( G,B )之間的加法,乘法,部分隸屬度,部分非隸屬度的運(yùn)算定義如下:

    定 理3 給定區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,A),2( F,A)=( F,A )⊕( F,A),3( F,A)=( F,A) ⊕( F,A )⊕( F,A) …可得:

    定理4 給定區(qū)間復(fù)模糊 軟集( F,A) ,( F,A)2=( F,A )?( F,A),( F,A)3=( F,A) ?( F,A) ?( F,A )…可得:

    3.2 區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測(cè)度

    定義9 對(duì)于任意兩個(gè)區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,E),( G,E)之間的距離測(cè)度應(yīng)當(dāng)滿足下列性質(zhì):

    (1)0 ≤ |d( ( F, E),( G,E ))|≤1。

    (2)d( ( F, E),( G,E ))=0 ?( F,E )=( G,E)。

    (3)d( ( F, E),( G,E ))=1 ?對(duì) 于?ei∈E,xj∈U,滿足下列條件:

    情形1

    情形2

    情形3

    情形4

    (4)d( ( F, E),( G,E ))=d( ( G, E),( F,E))

    (5)( H, E )∈IV-CFSS(U ),若( F,E )?( G,E )?( H, E), 則d( ( F, E),( H, E ))≥max(d( ( F, E),( G,E )),d( ( G, E),( H, E)))

    定理5 定義10 中的距離測(cè)度是區(qū)間復(fù)模糊軟集之間的有效距離測(cè)度。

    證明若定義10 中的區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測(cè)度是有效距離測(cè)度,它需要滿足定義9 中的性質(zhì)(1)~(5)。 考 慮 兩 個(gè) 區(qū) 間 復(fù) 模 糊 軟 集( F,E )={F( ei)|i=1 ,2 ,… ,m },( G,E )={G (ei)|i=1,2,… ,m}則:

    (1)因?yàn)?/p>

    可得:

    所以0 ≤ |d1( ( F, E),( G,E ))|≤1。

    情形1

    情形2

    情形3

    情形4

    (5)若( F,E )?( G,E )?( H,E),則

    因此

    所以,d1( ( F, E),( H,E ))≥d1( ( F, E),( G,E))

    同理可得,d1( ( F, E),( H,E ))≥d1( ( G, E),( H,E))

    所以,d1( ( F, E),( H, E ))≥max(d1( ( F, E),( G,E )),d1( ( G, E),( H,E)))

    證畢。

    區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測(cè)度和區(qū)間復(fù)模糊軟集Hamming距離測(cè)度的證明同上。

    定義11 對(duì)以上三種距離測(cè)度進(jìn)行拓展可以得到廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測(cè)度、廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean距離測(cè)度:

    同區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測(cè)度的證明相同,以上區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測(cè)度為有效距離測(cè)度。

    當(dāng)λ=1時(shí),廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測(cè)度退化為區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測(cè)度,廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測(cè)度退化為區(qū)間復(fù)模糊軟集Hamming 距離測(cè)度;當(dāng)λ=2時(shí)廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測(cè)度退化為區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測(cè)度。

    定 義12 假 設(shè)ei∈E 的 權(quán)重 為wi,wi∈[0,1 ],i=1,2, … ,m,則可以得到廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Hausdorff 距離測(cè)度、廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Eu‐clidean距離測(cè)度:

    定義13 當(dāng)定義12 中廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Hausdorff 距離測(cè)度和廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Euclid‐ean距離測(cè)度中λ=1時(shí),得到區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Haus‐dorff 距離測(cè)度和區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Hamming 距離測(cè)度:

    證明省略。

    定義14 當(dāng)定義12 中廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Euclidean 距離測(cè)度中λ=2時(shí),廣義區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Euclidean 距離測(cè)度退化為區(qū)間復(fù)模糊軟集加權(quán)Euclidean距離測(cè)度:

    證明省略。

    3.3 距離測(cè)度的運(yùn)算性質(zhì)

    本文提出了多種區(qū)間復(fù)模糊的距離測(cè)度公式,下面定理只給出區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff 距離測(cè)度的證明,其他測(cè)度證明類(lèi)似。

    定理6(U ,E )上的區(qū)間復(fù)模糊軟集:

    (1)若( F,E )=?,則d( ( F, E),( F,E)C)=1

    (2)若( F,E )=1,則d( ( F, E),( F,E)C)=1

    (3)若( F,E )=( F,E)C,則d( ( F, E),( F,E)C)=0

    證 明(1)若 ( )F,E =?,則 對(duì)于任 意,那么:

    所以對(duì)于區(qū)間復(fù)模糊軟集Hausdorff距離測(cè)度:

    (2)性質(zhì)(2)的證明同性質(zhì)(1)的相同。

    (3)性質(zhì)(3)顯然成立,證明省略。

    定理7 區(qū)間復(fù)模糊軟集之間的距離測(cè)度滿足下列性質(zhì):

    (1)d( ( F, E),( G,E)C)=d( ( F, E)C,( G,E))

    (2)d( ( F, E),( G,E ))=d( ( F, E )∧( G,E),( F,E )∨( G,E))

    (3)d( ( F, E),( F,E )∧( G,E ))=d( ( G, E),( F,E )∨( G,E))

    (4)d( ( F, E),( F,E )∨( G,E ))=d( ( G, E),( G,E )∧( G,E))

    證明

    (2)性質(zhì)(2)顯然成立,證明省略。

    (3)根據(jù)定義7可得:

    那么

    (4)性質(zhì)(4)的證明同性質(zhì)(3)相同。

    定理8 區(qū)間復(fù)模糊軟集之間的距離測(cè)度滿足下列性質(zhì):

    證明根據(jù)定義8可得:

    所以

    證畢。

    同理,對(duì)于上述定義的其他區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離測(cè)度,上述定理仍然成立,所以d( ( G, E),( F,E )⊕( G,E ))。

    定理9( F,E )為區(qū)間復(fù)模糊軟集,可得:

    證明因?yàn)?/p>

    同理,在上述所定義的其他區(qū)間復(fù)模糊軟集的距離

    表1 區(qū)間復(fù)模糊軟集( F,E)

    4 基于區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測(cè)度的TOPSIS算法

    步驟1 構(gòu)建區(qū)間復(fù)模糊軟集的決策矩陣,其表示所有的決策信息,如表1所示。

    步驟2 基于最大偏差法,通過(guò)以下公式確定屬性權(quán)重wi,i=1,2,… ,m:

    其中,di定義為區(qū)間復(fù)模糊軟集Euclidean 距離測(cè)度:

    然后將wi標(biāo)準(zhǔn)化,得到:

    步驟3 確定正理想解I+=( I1+,I2+, …,Im+)和負(fù)理想 解 I-=( I1-,I2-…, ,Im-),其 中 Ii+( i= 1,2, …,m )是{ I( u1i),I( u2i),… ,I( uni)}中的正理想值,對(duì)成本型指標(biāo)為最小值,對(duì)效益型指標(biāo)為最大值。Ii-( i= 1,2,… ,m )是{ I( u1i),I( u2i), …,I( uni)}中的負(fù)理想值,對(duì)成本型指標(biāo)為最大值,對(duì)效益型指標(biāo)為最小值。

    步驟4 本文定義計(jì)算區(qū)間復(fù)模糊軟集Ij與正理想解I+=( I1+,I2+,… ,Im+)和 負(fù) 理想 解I-=( I1-,I2-,… ,Im-)的加權(quán)Euclidean距離d10( Ij,I+)和d10( Ij,I-):

    步驟5 通過(guò)下列公式計(jì)算與正理想解的貼近度:

    其中,0 ≤Cj≤1,j=1,2, ,n。

    步驟6 根據(jù)計(jì)算所得的貼近度,對(duì)方案進(jìn)行降序排列,確定最理想目標(biāo)。

    5 算例

    第4 章中給出的算法可以對(duì)國(guó)家經(jīng)濟(jì)政策對(duì)省份的影響作用進(jìn)行排序。本章給出一個(gè)經(jīng)濟(jì)分析算例來(lái)說(shuō)明第4章中所提出的算法的可行性。

    表2 區(qū)間復(fù)模糊軟集形式的M國(guó)經(jīng)濟(jì)政策對(duì)省份的影響信息

    假設(shè)U={u1=A省,u2=B省,u3=C省,u4=D省,u5= E 省 },表 示 M 國(guó) 的5 個(gè) 省 份 集 合,E={e1=政策A,e2=政 策 B,e3=政策C} 表示M 國(guó)的政策的參數(shù)集,本文運(yùn)用區(qū)間復(fù)模糊數(shù)來(lái)表示經(jīng)濟(jì)政策對(duì)某一省份的影響程度?,F(xiàn)在,要對(duì)M國(guó)的經(jīng)濟(jì)政策對(duì)于哪個(gè)省份影響最大,且產(chǎn)生作用周期最短進(jìn)行排序,選擇綜合影響最大的省份。

    步驟2 根據(jù)第4 章給出的公式計(jì)算屬性權(quán)重得w1=0.23,w2=0.22,w3=0.54。

    表3 和

    表3 和

    d10( Ij,I-)d10( Ij,I+)u11.485 21.722 0 u21.833 71.833 7 u33.462 60.646 4 u42.598 71.304 3 u51.256 82.800 3

    表4 計(jì)算所得貼近度

    表5 區(qū)間模糊軟集形式的M國(guó)經(jīng)濟(jì)政策對(duì)省份的影響信息

    步驟4 計(jì)算Ij與正理想解與負(fù)理 想 解的 加 權(quán)Euclidean 距 離d10( Ij,I+)和d10( Ij,I-)的結(jié)果如表3所示。

    步驟5 計(jì)算貼近度,并對(duì)貼近度進(jìn)行降序排列,如表4 所示,得到u5?u1?u2?u4?u3,所以M 國(guó)的綜合經(jīng)濟(jì)政策對(duì)E省影響最突出。

    由于區(qū)間復(fù)模糊軟集為提出的新概念,在區(qū)間復(fù)模糊軟集環(huán)境下,目前還沒(méi)有與本文方法類(lèi)似的多屬性決策方法的研究。所以本文將鄒斌等人[44]提出的基于區(qū)間模糊軟集的多屬性決策方法與本文提出的基于區(qū)間復(fù)模糊軟集的TOPSIS多屬性決策方法進(jìn)行比較。將上述經(jīng)濟(jì)分析中的區(qū)間復(fù)模糊軟集形式的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為區(qū)間模糊軟集形式,保留幅度項(xiàng),舍去相位項(xiàng),轉(zhuǎn)化后的數(shù)據(jù)在表5 中給出。根據(jù)文獻(xiàn)給出的決策方法,得到排序結(jié)果:u3?u1?u5?u2?u4。

    顯然,本文提出的方法的排序結(jié)果與鄒斌等人[44]提出的方法的排序結(jié)果不同。最大不同在于經(jīng)濟(jì)政策對(duì)于E 省綜合影響的排序,在本文提出的決策方法中經(jīng)濟(jì)政策對(duì)于E 省的綜合影響排最后,而鄒斌等人[44]提出的方法經(jīng)濟(jì)政策對(duì)于E 省的綜合影響排第一。導(dǎo)致這種完全相反的排序結(jié)果的原因在于給定的數(shù)據(jù)舍棄了可以反映經(jīng)濟(jì)政策對(duì)經(jīng)濟(jì)影響的時(shí)間滯后的描述,即相位項(xiàng),而經(jīng)濟(jì)政策對(duì)于E 省的影響的時(shí)間滯后明顯短于其他省份,所以得到了相反的排序結(jié)果。不難發(fā)現(xiàn),本文給定的決策方法對(duì)于數(shù)據(jù)的描述更為全面、客觀,可以得到更為合理的排序結(jié)果。

    6 結(jié)論

    本文定義了區(qū)間復(fù)模糊軟集之間的多種距離測(cè)度,包括Hausdorff 距離、Hamming 距離、Euclidean 距離、廣義Hausdorff 距離、廣義Euclidean 距離、廣義加權(quán)Haus‐dorff 距離、廣義加權(quán)Euclidean 距離、加權(quán)Hausdorff 距離、加權(quán)Hamming距離、加權(quán)Euclidean距離。并提出了區(qū)間復(fù)模糊軟集的加法、乘法、部分隸屬度和部分非隸屬度運(yùn)算以及區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測(cè)度的相關(guān)性質(zhì)。此外,提出了一種基于區(qū)間復(fù)模糊軟集距離測(cè)度的TOPSIS 算法。最后,通過(guò)算例說(shuō)明了該算法在經(jīng)濟(jì)分析中的應(yīng)用。本文還存在一些不足之處,如給定數(shù)據(jù)存在一定主觀隨機(jī)性。在以后的研究中,重點(diǎn)研究復(fù)模糊軟集在其他模糊集中的推廣和應(yīng)用。

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    “好一個(gè)裝不下”直覺(jué)引起的創(chuàng)新解法
    基于上下截集的粗糙模糊集的運(yùn)算性質(zhì)
    非等熵Chaplygin氣體測(cè)度值解存在性
    林文月 “人生是一場(chǎng)直覺(jué)”
    海峽姐妹(2020年7期)2020-08-13 07:49:22
    Cookie-Cutter集上的Gibbs測(cè)度
    一個(gè)“數(shù)學(xué)直覺(jué)”結(jié)論的思考
    數(shù)學(xué)直覺(jué)謅議
    E-不變凸模糊集
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