存在執(zhí)行器飽和的多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題

關(guān) 威，邊天奇，任 艷

(沈陽(yáng)航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng) 110136)

近年來(lái)，隨著控制理論的快速發(fā)展，人們對(duì)單個(gè)系統(tǒng)的控制研究越來(lái)越成熟，自適應(yīng)控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、事件觸發(fā)控制技術(shù)、切換控制技術(shù)以及最優(yōu)控制等許多高效先進(jìn)的控制技術(shù)越來(lái)越成熟。但是近20年來(lái)，人工智能技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)和控制算法等高科技飛速發(fā)展，人們對(duì)多智能體系統(tǒng)的研究越來(lái)越重視，相對(duì)于單系統(tǒng)，多智能體系統(tǒng)在目標(biāo)維度比較高且比較復(fù)雜時(shí)，其優(yōu)勢(shì)就逐漸得以體現(xiàn)，其應(yīng)用也非常廣泛，多智能體系統(tǒng)在無(wú)人機(jī)編隊(duì)、高空衛(wèi)星編隊(duì)技術(shù)及移動(dòng)智能汽車(chē)群體控制等方面都有不可或缺的重要性。

多智能體系統(tǒng)中的核心問(wèn)題之一就是一致性問(wèn)題。上世紀(jì)七十年代Degroot等人首次提出一致性的定義[1]，并應(yīng)用在管理統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域。在科學(xué)高速發(fā)展的今天，人們將一致性應(yīng)用到對(duì)智能體系統(tǒng)的研究中，2004年OlfatiSaber等人正式提出了多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題的理論框架，所謂的一致性就是要求多智能體系統(tǒng)中每一個(gè)跟隨者都達(dá)到跟領(lǐng)航者相同的狀態(tài)?；谝恢滦詥?wèn)題的研究，人們對(duì)多智能體系統(tǒng)有了更深入的研究，文獻(xiàn)[2]給出了多智能體系統(tǒng)在一階積分環(huán)節(jié)中和固定拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下達(dá)到一致性的條件；文獻(xiàn)[3]針對(duì)各個(gè)系統(tǒng)之間信息交換時(shí)存在的時(shí)延和丟包問(wèn)題，給出了一致性協(xié)調(diào)控制算法;文獻(xiàn)[4]提出了通過(guò)非線性控制協(xié)議的方法來(lái)解決有限時(shí)間一致性問(wèn)題，從而加快系統(tǒng)的收斂速度；文獻(xiàn)[5]利用當(dāng)今比較熱門(mén)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)技術(shù)解決了存在非線性因素和未知擾動(dòng)的多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題。

在一個(gè)已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定的系統(tǒng)中執(zhí)行器有時(shí)會(huì)發(fā)生飽和現(xiàn)象。對(duì)于一個(gè)原本已經(jīng)穩(wěn)定的系統(tǒng)，當(dāng)執(zhí)行器發(fā)生飽和現(xiàn)象時(shí)，其穩(wěn)定性將被打破，如果在多智能體系統(tǒng)中執(zhí)行器發(fā)生飽和現(xiàn)象，那么多智能體系統(tǒng)是否能夠達(dá)到一致性將成為一個(gè)問(wèn)題。針對(duì)執(zhí)行器發(fā)生的飽和現(xiàn)象，文獻(xiàn)[6]提出了在執(zhí)行器飽和條件下的系統(tǒng)吸引域估計(jì)問(wèn)題，基于這一理論知識(shí)，本文將其推廣到多智能體系統(tǒng)中，研究多智能體系統(tǒng)的飽和問(wèn)題。在控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，考慮到跟隨者的狀態(tài)信息很難得到，所以本文根據(jù)每一個(gè)跟隨者的相對(duì)輸出信息進(jìn)行設(shè)計(jì)，并運(yùn)用線性不等式技術(shù)，來(lái)解決執(zhí)行器飽和下的多智能體系統(tǒng)一致性問(wèn)題。

1 問(wèn)題描述及預(yù)備知識(shí)

1.1 問(wèn)題描述

考慮多智能體系統(tǒng)由1個(gè)領(lǐng)航者和N個(gè)跟隨者組成，考慮領(lǐng)航者的控制輸入為0，其中領(lǐng)航者的狀態(tài)方程為

y0(t)=Cx0(t)

(1)

跟隨者的動(dòng)態(tài)方程為

yi(t)=Cxi(t)

(2)

式中，x0∈Rn，y0∈Rp代表領(lǐng)航者的狀態(tài)向量和輸出向量；xi∈Rn，yi∈Rp,σ(ui(t))∈Rm(i=1,…,N),分別代表每一個(gè)跟隨者的狀態(tài)向量、輸出向量和帶飽和的控制輸入。A,B,C為具有適當(dāng)?shù)臄?shù)的矩陣。

1.2 預(yù)備知識(shí)

Kronecker積的性質(zhì)如下：

(1)(αA)?B=A?(αA), 其中α為常數(shù)；

(2)(A+B)?C=A?C+B?C;

(3)(A?B)(C?D)=(AC?BC)；

(4)(A?B)T=AT?BT。

假設(shè)1：領(lǐng)航者的信息可以被至少一個(gè)跟隨者獲取，而領(lǐng)航者無(wú)法獲取跟隨者的信息,也即圖G包含一個(gè)生成樹(shù)，且領(lǐng)航者是其中的根節(jié)點(diǎn);另一方面,假設(shè)G是無(wú)向連通圖。

引理1[7]：滿足假設(shè)1的圖G對(duì)應(yīng)的拉普拉斯矩陣L可以分解為

(3)

其中L2∈R(N-1)×1，L1∈R(N-1)×(N-1)，且矩陣L1是正定矩陣，同時(shí)存在一個(gè)正交陣U，滿足UTL1U=diadλ1,…,λN,其中0≤λ1,≤…,≤λN為矩陣L1的特征值。

定義1：執(zhí)行器飽和的非線性以如下形式給出

(4)

(5)

引理3：對(duì)于有適當(dāng)維數(shù)的矩陣X,Y和任意的實(shí)數(shù)μ>0,有式(6)成立

xTY+YTX≤μ-XTX+μYTY

(6)

定義2：定義XR為一個(gè)有界凸集XR=∈(R,1)={x∈Rn×n:xTRx≤1},R>0orXR=cox1,…,xL。對(duì)于一個(gè)集合S∈Rn,αR(S)=supα>0:αXR?S。

(1)S<0；

定義3：對(duì)于矩陣Ccl∈Rn×n,標(biāo)記矩陣Ccl的第k行為Cclk，定義

g(Ccl)={x∈Rn:|Cclk|≤1,k∈I[1,L]}

(7)

定義4：橢球集合：P∈Rn×n為一正定矩陣，標(biāo)記

ε(P,p)={x∈Rn:xTPx≤p}

(8)

令V(x)=xTPx。如果對(duì)于所有的x∈(Pp){0},有那么橢球ε(P,p)為壓縮不變集。顯然如果ε(P,p)為壓縮不變集，那么其必在吸引區(qū)域內(nèi)。

2 主要結(jié)論

(9)

其中KC=BTP

將(9)式代入(2)式可得

(10)

定義新變量ξi(t)=xi(t)-x0(t),i=1,…,N,并記ξ0=0，所以由(1)和(10)可得

(11)

定義ξ=[ξ1,…,ξN]。

由圖論的知識(shí)和Kronecker積的性質(zhì)

(12)

利用引理2式(12)可以寫(xiě)成

(13)

可以看出，如果式(13)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，那么多智能體系統(tǒng)就是漸進(jìn)穩(wěn)定的，多智能體系統(tǒng)也能夠達(dá)到一致。

定理5：如果滿足KC=BTP，給定一個(gè)橢球ε(P,p)，P∈Rn×n，如果對(duì)于所有的DD∈D與ε(P,p)?g(H)，存在矩陣H∈Rn×n滿足

(14)

那么集合ε(P,p)為一個(gè)壓縮不變集，原多智能體系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)一致性。

證明：考慮如下Lyapunov函數(shù)

V=ξT(L1?P)ξ

(15)

則

(16)

由引理3有

(L1?PB)DD(L1?BTP)

(17)

綜合式(17)可得

(18)

由引理4可得多智能體系統(tǒng)一致性條件(14)轉(zhuǎn)化為

(19)

通過(guò)式(19)，我們可以得到無(wú)數(shù)個(gè)滿足條件的橢球，所以如何從這些橢球中選出最大的成為一個(gè)非常有趣的問(wèn)題，這一問(wèn)題可以用如下最優(yōu)化過(guò)程來(lái)解決

maxα

s.t.(a)αXR?ε(L1?P,p)

(b)(9)

(c)ε(L1?P,p)?g(H)

若參考集xR是橢球，那么限制條件(a)等價(jià)于

(20)

限制條件(c)等價(jià)于

(21)

所以?xún)?yōu)化條件轉(zhuǎn)化為

maxα

(b)(9)

(22)

以上可以用LMI進(jìn)行求解。

3 數(shù)值仿真

考慮式(1)和式(2)描述的多智能體系統(tǒng)，由1個(gè)領(lǐng)航者和4個(gè)跟隨者組成。參數(shù)分別為

μ1=1,μ2=2,多智能體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖(1)所示。

圖1 多智能體系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

由拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可知只有跟隨者1能夠獲得領(lǐng)導(dǎo)者的信息，則對(duì)應(yīng)的L1矩陣為

然后利用Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真，選定領(lǐng)航者的初始值為(8,8),圖2和圖3分別是多智能體系統(tǒng)第一狀態(tài)和第二狀態(tài)下領(lǐng)航者和跟隨者的狀態(tài)差曲線。其中實(shí)線代表領(lǐng)航者的狀態(tài)曲線，虛線代表跟隨者的狀態(tài)曲線。分析仿真圖像可知，在執(zhí)行器存在飽和的情況下，通過(guò)設(shè)計(jì)合適的控制器，多智能體系統(tǒng)能夠達(dá)到一致性。

圖2 第一個(gè)狀態(tài)下領(lǐng)航者和跟隨者的狀態(tài)差曲線

圖3 第二個(gè)狀態(tài)下領(lǐng)航者和跟隨者的狀態(tài)差曲線

4 結(jié)論

本文研究了執(zhí)行器飽和下的多智能體系統(tǒng)的一致性問(wèn)題，為了解決多智能體系統(tǒng)執(zhí)行器飽和的問(wèn)題，首先設(shè)計(jì)合適的控制器，然后通過(guò)分析每一個(gè)跟隨者和領(lǐng)航者之間的狀態(tài)差所構(gòu)成的新的閉環(huán)系統(tǒng)，再通過(guò)吸引區(qū)域的優(yōu)化，給出在執(zhí)行器飽和下多智能體系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)一致性的條件，最后通過(guò)運(yùn)用Matlab進(jìn)行數(shù)據(jù)仿真,驗(yàn)證了結(jié)果的正確性,從而實(shí)現(xiàn)了在執(zhí)行器飽和的情況下多智能體系統(tǒng)的一致性。