振動弛張篩動力學(xué)分析與Simulink仿真

王新文，常凱峰，張星漢，賀 壯

(中國礦業(yè)大學(xué)(北京) 化學(xué)與環(huán)境工程學(xué)院，北京 100083)

普通振動篩在對潮濕細(xì)粒黏煤進(jìn)行干法深度篩分時，經(jīng)常會發(fā)生堵孔的現(xiàn)象，這是該類煤炭顆粒小，比表面積大，遇水易黏的特性導(dǎo)致的，若通過調(diào)整激振力或改變工作頻率來調(diào)整篩面的振動強(qiáng)度，會影響振動篩的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，增加維修成本，降低篩分效率。近年來弛張篩的出現(xiàn)有效減少了這種現(xiàn)象的發(fā)生。弛張篩結(jié)構(gòu)特殊，在工作時主浮篩框相對運(yùn)動，帶動柔性篩面做規(guī)律的張弛運(yùn)動，這種篩面的振動形式能夠給篩面上的物料很大的加速度，弛張篩因此具有篩面振動強(qiáng)度大，篩分效率高，不易堵孔等特點(diǎn)。弛張篩以其諸多優(yōu)點(diǎn)在國內(nèi)市場很受歡迎，現(xiàn)階段我國自主研發(fā)的弛張篩已經(jīng)在諸多礦場得到應(yīng)用。

段旭升[1]介紹了振動弛張篩的結(jié)構(gòu)基本特點(diǎn)，并建立單自由度力學(xué)模型分析了振動機(jī)理。黃培文[2]著重研究了振動穩(wěn)定階段的運(yùn)動微分方程式，提出了以四自由度代替二自由度的計算振動篩的方法。王新文等[3，4]，建立了直線激振力偏移質(zhì)心的理論，在忽略阻尼影響的條件下，將篩機(jī)的運(yùn)動看作剛體的運(yùn)動，即隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的疊加，建立了振動弛張篩簡化的力學(xué)模型和振動微分方程，繪制了主浮篩框的幅頻特性曲線，解釋了弛張篩振動的機(jī)理。目前振動弛張篩的振動運(yùn)動的理論計算和參數(shù)設(shè)計大都停留在將弛張篩看作沿X、Y方向?yàn)殡p質(zhì)體，忽略轉(zhuǎn)動的階段。實(shí)際上，由于激振力不通過質(zhì)心，弛張篩在運(yùn)動過程中會圍繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動。由于剪切彈簧在水平安裝時豎直方向上存在剛度和阻尼，所以在進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析時，不僅應(yīng)該將弛張篩看作是沿X、Y方向上雙質(zhì)體的振動，而且應(yīng)考慮篩框轉(zhuǎn)動對運(yùn)動的影響[5，6]。

MATLAB/Simulink具有強(qiáng)大的仿真運(yùn)算功能，利用MATLAB的數(shù)值計算功能對微分方程進(jìn)行數(shù)值求解能夠?yàn)檠芯空駝酉到y(tǒng)動力學(xué)提供極大地便利。對振動系統(tǒng)的仿真分析可以采用積分模塊建模、狀態(tài)空間方程模塊建模和S-Function模塊建模[7]。本文對弛張篩的運(yùn)動軌跡進(jìn)行仿真分析。通過理論推導(dǎo)及建模仿真得到在考慮轉(zhuǎn)動、考慮阻尼的條件下振動弛張篩篩框上任意點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。為振動篩的設(shè)計研究提供了可供參考的理論基礎(chǔ)。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

振動弛張篩由主動篩框、浮動篩框、激振器、隔振彈簧以及剪切彈簧等組成。振動弛張篩的結(jié)構(gòu)如圖1所示，激振器裝在主動篩框上，產(chǎn)生的激振力通過剪切彈簧傳遞到浮動篩框上，浮動篩框和主動篩框在水平和豎直兩個方向上做近似簡諧運(yùn)動，隔振彈簧起著支撐和隔振的作用[8，9]。

圖1 振動弛張篩力學(xué)模型

振動弛張篩動力學(xué)分析：在正常工作狀態(tài)中，弛張篩的運(yùn)動可以看作是剛體的平面運(yùn)動：由于激振力不通過質(zhì)心，該系統(tǒng)的運(yùn)動可以簡化為平面上雙質(zhì)體六自由度運(yùn)動：①質(zhì)體1、2在水平方向x方向上的運(yùn)動；②質(zhì)體1、2在豎直方向y方向上的運(yùn)動；③由于激振力不通過質(zhì)心，質(zhì)體1、2在隨質(zhì)心平動的同時繞各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動。

在實(shí)際工作中，隔振彈簧的剛度相同，且布置時按照幾何對稱。剪切彈簧在浮動篩框上下側(cè)成對布置，前后方向相對浮動篩框質(zhì)心對稱[10]。當(dāng)弛張篩振動時，作用在質(zhì)體的力有慣性力、彈性力以及阻尼力，這些力合力為零，在考慮彈簧阻尼的情況下，列出它們的運(yùn)動微分方程如下：

式中，m為激振器偏心快質(zhì)量；M1、M2為主、浮篩框質(zhì)量；r為偏心距；ω為偏心快旋轉(zhuǎn)角速度；k1、k2為隔振彈簧在X、Y方向上的剛度；k2、k2y為剪切彈簧在X、Y方向上的剛度；J1、J2為主動篩框與浮動篩框的轉(zhuǎn)動慣量；φ1、φ2為主動篩框、浮動篩框繞各自質(zhì)心的轉(zhuǎn)動角度；l1x、l1y為激振器與質(zhì)心水平方向、豎直方向上的距離；lee為剪切彈簧X方向作用線相對主動篩框質(zhì)心豎直距離；l1xe為隔振彈簧X方向作用線與主動篩框質(zhì)心的豎直距離；a、b為靠出料口、入料口剪切彈簧豎直方向上的作用點(diǎn)與主動篩框質(zhì)心的水平距離；a′、b′為靠出料口、入料口剪切彈簧豎直方向上的作用點(diǎn)與浮動篩框質(zhì)心的水平距離；其中X1、X2為主浮篩框沿篩面方向位移；Y1、Y2為主浮篩框垂直于篩面的位移。

由于式(1)中a′與b′近似相等(剪切彈簧沿質(zhì)心對稱布置)，等式中所有含(a′-b′)項(xiàng)皆為零。方程組(1)為二階常系數(shù)線性微分方程組，其解由一個通解和一個特解構(gòu)成，當(dāng)振動系統(tǒng)存在阻尼時，自由振動將會逐漸衰減至消失，由于振動弛張篩是由激振力引起的受迫振動，故只研究弛張篩穩(wěn)定時工作的振動。根據(jù)微分方程激振力的形式可設(shè)穩(wěn)態(tài)解見式(2)：

式中，α1、α2、θ1、θ2、γ、s分別為x1、y1、φ1、x2、y2、φ2的相位角；X1、X2、Y1、Y2、Φ1、Φ2為幅值。將穩(wěn)態(tài)解及其1階、2階導(dǎo)數(shù)代入振動微分方程并表示成矩陣形式：

幅頻響應(yīng)矩陣為：

H=[K+iωC-ω2M]-1

化簡后的微分方程矩陣形式為：

H-1X=F0eiω

[K+iωC-ω2M]X=F0eiω

考慮我國居民消費(fèi)中耐用品消費(fèi)份額不斷上升的現(xiàn)實(shí)，本文構(gòu)建了一個包含耐用品部門與非耐用品部門的多部門動態(tài)新凱恩斯主義模型，并在這一模型框架內(nèi)，考察了擴(kuò)張性貨幣政策的動態(tài)效應(yīng)。研究結(jié)果顯示，擴(kuò)張性貨幣政策引起耐用品部門名義工資、耐用品部門通脹以及耐用品消費(fèi)更大幅度地上升。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步分析了以穩(wěn)定增長為目標(biāo)的政策下貨幣政策盯住目標(biāo)選擇的問題。研究結(jié)果表明，如果耐用品的壽命足夠長，無論是基于緩和產(chǎn)出波動的角度，還是基于降低政策引致的社會福利損失的角度，貨幣政策盯住目標(biāo)均應(yīng)選擇耐用品部門通脹。

根據(jù)以上方程可看作具有八個未知數(shù)的常系數(shù)線性微分方程組，根據(jù)微分方程組的求解原理，可利用克萊姆法則對以上方程進(jìn)行求解。求解前將方程(1)中的系數(shù)矩陣的各項(xiàng)分別用字母代替，并根據(jù)振動微分方程標(biāo)準(zhǔn)形式列出幅頻響應(yīng)矩陣，然后將字母帶入矩陣中運(yùn)算，再將求得多項(xiàng)式中各字母代表的系數(shù)項(xiàng)帶入多項(xiàng)式中化簡，如此可求出各未知數(shù)的解析解。

令Δ=|K+iωC-ω2M|

a=(k1x+k2x)+iω(c1x+c2x)-ω2m1

c=leek2x+l1xek1x+iω(leec2x+l1xec1x)

d=(k1+k2)+iω(c1+c2)-ω2m1

q=-l1ymω2r0；e=-k2-iωc2；p=mω2r0；

i=-leek2x-iωleec2x；r=l1xmω2r0

g=k2+iωc2-ω2m2；g=k2x+iωc2x-ω2m2

設(shè)篩框上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(x′，y′)，式(1)中的x、y、φ穩(wěn)態(tài)解可求，則該點(diǎn)的運(yùn)動方程為：

即在理想狀態(tài)下振動弛張篩的運(yùn)動為平動與轉(zhuǎn)動的疊加，篩機(jī)上任意一點(diǎn)的運(yùn)動軌跡可以根據(jù)式(3)算出。因?yàn)檗D(zhuǎn)動是相對于質(zhì)心位置而言的，故只要求出主浮篩框質(zhì)心處的振幅和轉(zhuǎn)角就能夠求出篩框任意一點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。由于振動篩轉(zhuǎn)動角是繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)角，所以距離質(zhì)心位置越遠(yuǎn)擺動越明顯，因此，篩框越長，入料與出料兩端的擺動幅度就越大。

2 振動弛張篩MATLAB/Simulink仿真

以FFS1840振動弛張篩為仿真對象，工作轉(zhuǎn)速為11.67rad/s，偏心質(zhì)量距為16069.2kg·mm，總參振質(zhì)量約為4.5t。根據(jù)FFS1840弛張篩的各參數(shù)設(shè)置仿真參數(shù)[11，12]，主要參數(shù)見表1。

表1 FFS1840振動弛張篩仿真參數(shù)表

2.1 建立狀態(tài)空間表達(dá)式

狀態(tài)空間方程可以表示單輸入單輸出，多輸入多輸出系統(tǒng)、線性和非線性系統(tǒng)，時變和時不變系統(tǒng)等，狀態(tài)空間方程與輸出方程合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，他表征一個完整的動態(tài)過程，對于線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程的表達(dá)式如下：

將系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程轉(zhuǎn)化為狀態(tài)空間方程，定義系統(tǒng)的位移和速度作為狀態(tài)向量，指定每個狀態(tài)變量的初始值為0，將運(yùn)動微分方程轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。A表示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的系數(shù)矩陣，稱系統(tǒng)矩陣；B表示輸入對狀態(tài)作用的矩陣，稱為輸入矩陣；C表示輸出與狀態(tài)關(guān)系的矩陣，稱為輸出矩陣；D表示輸入直接對輸出作用的矩陣，稱為直接性轉(zhuǎn)移矩陣[13，14]。

2.2 利用MATLAB/Simulink建立仿真模型

打開Simulink模塊，用正弦波、狀態(tài)空間和示波器搭建模型，指定X1、X2、Y1、Y2、φ1、φ2為仿真結(jié)果。將方程組1化簡為狀態(tài)方程的表達(dá)式的形式，并將表1中的參數(shù)到帶入化簡后的方程組1中，根據(jù)最終表達(dá)式的形式可以得到矩陣A、B、C、D。在狀態(tài)空間模塊設(shè)置A=A；B=B；C=C；D=D。由于在振動弛張篩的動力學(xué)系統(tǒng)中沒有輸入直接對輸出作用的矩陣，故直接轉(zhuǎn)移矩陣D=0。仿真時間設(shè)置為30s，仿真步長設(shè)置為0.002，采用ode4定步長算法。狀態(tài)空間模塊建模如圖2所示，各參數(shù)設(shè)置完成后開始仿真，仿真程序與結(jié)果得到的振動篩質(zhì)心的位移、轉(zhuǎn)角隨時間變化曲線如圖3所示。

圖2 狀態(tài)空間模塊建模

圖3 主浮篩框質(zhì)心位置的振幅與轉(zhuǎn)角

由圖3可看出，振動篩在啟動后5s后質(zhì)心的振幅就基本達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，穩(wěn)定狀態(tài)下6個自由度方向上的振動形態(tài)是簡諧振動。主動篩框在穩(wěn)定工作狀態(tài)下，質(zhì)心在x、y軸方向上的振幅分別為2.5mm，3.5mm，篩框繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動角度為0.0013rad；浮動篩框質(zhì)心在x、y軸方向上的振幅分別為7.1mm，4.6mm，繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動角為0.0017rad。在質(zhì)心位置附近，由于轉(zhuǎn)動的角度很小，所以運(yùn)動軌跡基本與質(zhì)心相似，為橢圓形。

2.3 篩框特征點(diǎn)動力學(xué)仿真

根據(jù)篩箱上任意點(diǎn)的運(yùn)動軌跡的計算公式，可以較為準(zhǔn)確的分析篩框上任意點(diǎn)的振幅、軌跡。為了更為直觀的了解主浮篩框的運(yùn)動狀態(tài)，根據(jù)建立的振動弛張篩力學(xué)模型在主動篩框和浮動篩框上分別選取三個具有代表性的特征點(diǎn)，建立仿真程序分析其運(yùn)動軌跡[15-18]。特征點(diǎn)位置如圖4所示。

圖4 FFS1840篩框理論特征點(diǎn)位置

分別以主動篩框和浮動篩框的質(zhì)心為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立沿篩面和垂直于篩面的坐標(biāo)系，取六個特征點(diǎn)，分別為：主浮篩框質(zhì)心處、主浮篩框出料口處、主浮篩框入料口處。坐標(biāo)參數(shù)見表2。

表2 坐標(biāo)參數(shù)表

建立Simulink動力學(xué)仿真模型如圖5所示，結(jié)合表2中任意點(diǎn)的坐標(biāo)參數(shù)，可對各特征點(diǎn)的運(yùn)動軌跡進(jìn)行仿真。仿真結(jié)束后，取仿真開始20s后穩(wěn)定狀態(tài)的數(shù)據(jù)導(dǎo)出運(yùn)動軌跡，能夠清晰地看出該點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)，從篩框入料端與出料端的運(yùn)動軌跡呈現(xiàn)“正八字”的特點(diǎn)，即入料口和出料口兩端的軌跡都向質(zhì)心偏斜，這是由于振動篩激振器回轉(zhuǎn)中心在篩框上端導(dǎo)致的。具體運(yùn)動軌跡如圖6所示。

圖5 特征點(diǎn)仿真計算模型

圖6 特征點(diǎn)仿真計算出的軌跡

篩框各點(diǎn)的運(yùn)動軌跡可以近似看作大小不同的橢圓。為進(jìn)一步研究擺動對篩框運(yùn)動的影響，可通過求取質(zhì)心與兩端特征點(diǎn)軌跡的橢圓長軸的大小求得該點(diǎn)處的最大振幅，進(jìn)而分析出擺動對入料端和出料端的影響大小。根據(jù)運(yùn)動軌跡可知，由于擺動對振動弛張篩篩框運(yùn)動的影響，篩框入料口和出料口的最大振幅(橢圓長軸)比質(zhì)心處的振幅大，振幅增量見表3。

表3 振幅增量表 mm

雖然擺動角度較小，但隨著振動篩的大型化，篩框長度越長，兩端擺幅越大，這就可能引起剪切彈簧局部撕裂等問題，影響生產(chǎn)效率。由于擺動的產(chǎn)生是因?yàn)榧ふ衿鞯幕剞D(zhuǎn)中心不通過質(zhì)心，在進(jìn)行振動弛張篩的篩設(shè)計時，可根據(jù)需要增加或減小激振器回轉(zhuǎn)中心與質(zhì)心的距離，來控制振動篩的擺動量。

3 結(jié) 論

1)建立了振動弛張篩線性六自由度動力學(xué)模型，給出微分方程解法。完善了振動馳張篩的理論模型，為今后振動篩設(shè)計提供參考。

2)結(jié)合實(shí)例計算出主浮篩框質(zhì)心位移與轉(zhuǎn)角。利用MATLAB/Simulink動力學(xué)仿真，根據(jù)篩框上任意點(diǎn)運(yùn)動方程計算出FFS1840弛張篩篩框上特殊點(diǎn)的運(yùn)動軌跡。仿真結(jié)果表明：振動篩在穩(wěn)定工作時，篩框繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動可能會對入料端和出料端產(chǎn)生較大影響，因此在進(jìn)行建模時為確保計算的準(zhǔn)確，應(yīng)當(dāng)考慮振動篩轉(zhuǎn)動作用的影響。