基于廣義馬爾可夫過程的多部件并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度分析

孫明明，吳棟，牛建超，解禾，岳龍飛

（1.工業(yè)和信息化部電子第五研究所可靠性與環(huán)境工程中心，廣州 510610；2.航空工業(yè)成都飛機(jī)工業(yè)（集團(tuán)）有限責(zé)任公司技術(shù)中心，成都 610092）

引言

可用度是衡量可修復(fù)系統(tǒng)可靠性的重要指標(biāo)。在一個(gè)修理工和一個(gè)修理設(shè)備條件下，對(duì)于時(shí)齊馬爾可夫型的n部件串聯(lián)及并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)的可用度解析表達(dá)式問題，曹晉華[1]等已經(jīng)解決這個(gè)問題。對(duì)于馬爾可夫型及非馬爾可夫型可修復(fù)系統(tǒng)的可用度解析式研究較多，馬爾可夫型可修復(fù)系統(tǒng)：謝秀梅[2]等研究?jī)?yōu)先權(quán)3部件可修復(fù)系統(tǒng)的可用度等指標(biāo)解析式，Jyotirmoy Sarkar[3]研究考慮備件以及設(shè)施保障條件下的單部件系統(tǒng)的可用度解析表達(dá)式；非馬爾可夫型可修復(fù)系統(tǒng)：B.S.Dhillon和A.R.M.Fashandi[4]研究機(jī)器人及機(jī)器人安全系統(tǒng)的瞬時(shí)及穩(wěn)態(tài)可用度解析式，蘇保河[5]研究修理工可休假兩部件串聯(lián)可修系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度解析式，蘇保河[6]研究修理工到系統(tǒng)外工作的n部件串聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)可用度表達(dá)式，類似相關(guān)研究還有B.S.Dhillon[7]等，Who Kee Chung[8，9]等；還有 Karin S. de Smidt-Destombes等[10，11]、Jyotirmoy Sarkar等[12]、Wei Xie等[13]研究表決系統(tǒng)、Wenqing Wu等[14]均得到系統(tǒng)可用度的解析式。但是，較少研究者對(duì)非馬爾可夫型可修復(fù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度解析表達(dá)式求解進(jìn)行分析研究，因此值得進(jìn)行探索研究。

1 基本模型

1.1 問題描述

對(duì)于單部件、兩部件、三部件的串聯(lián)及并聯(lián)的可修復(fù)系統(tǒng)研究較多，并且在其部件平均故障間隔時(shí)間或修理時(shí)間分布不同時(shí)為指數(shù)分布條件下，得到系統(tǒng)的可用度解析表達(dá)式研究成果豐富。

多部件的并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)，在實(shí)際工程中應(yīng)用廣泛。但是較少研究者分析過：在組成系統(tǒng)部件的平均故障間隔時(shí)間和故障后修理時(shí)間分布不同時(shí)為指數(shù)分布時(shí)，系統(tǒng)可用度的解析表達(dá)式。本論文主要考慮修理時(shí)間分布為一般連續(xù)型時(shí)，系統(tǒng)可用度解析表達(dá)式。

1.2 模型假設(shè)

1）可修復(fù)系統(tǒng)由N個(gè)同型部件并聯(lián)構(gòu)成；

2）部件的平均故障間隔時(shí)間分布服從參數(shù)相同的指數(shù)分布，其參數(shù)為λ；部件修理時(shí)間分布服從一般連續(xù)型分布G(t)，其概率密度為g(t)，

各隨機(jī)變量相互獨(dú)立；

3）系統(tǒng)有一個(gè)修理設(shè)備和一個(gè)修理工；

4）故障部件能修復(fù)如新；

5）系統(tǒng)中出現(xiàn)一個(gè)部件故障就立即對(duì)其進(jìn)行維修，更換修理期間不停機(jī)；

6）在更換修理期間，另一部件發(fā)生故障，則需要等待更換修理；

7）系統(tǒng)由k到k+1狀態(tài)故障率為λk，k=0，1，…，n-1。

1.3 系統(tǒng)建模

N(t)=i，若時(shí)刻t有i個(gè)部件故障，i=0，1，2，…，n。

系統(tǒng)中部件故障規(guī)律是：

由于修理時(shí)間服從一般分布，時(shí)刻t以后系統(tǒng)發(fā)展概率不僅僅依賴在時(shí)刻t有幾部件故障，還依賴于正在修理的部件在時(shí)刻t以前已經(jīng)修理過的時(shí)間長(zhǎng)。引入補(bǔ)充變量X(t)表示時(shí)刻t正在修理的部件已經(jīng)修理過的時(shí)間長(zhǎng)。過程{N(t)，X(t)；t≥0}為一個(gè)連續(xù)的廣義馬爾可夫過程。任意時(shí)刻t，給定N(t)，X(t)具體值，則過程{N(t)，X(t)；t≥0}在時(shí)刻t以后概率規(guī)律與時(shí)刻t以前該過程的歷史無關(guān)。對(duì)t≥0，x≥0，令

0時(shí)刻，各部件均完好，初始條件。

po(0)=1，pk(0，x)=0，k=1，2，…，n，0時(shí)刻不發(fā)生故障。

由（3）可導(dǎo)出如下方程組：

具體推導(dǎo)上述各式：

（4-1）當(dāng)N(t+Δt)=0，有N(t)=0在 t，t+Δt內(nèi)部件不發(fā)生故障；可以N(t)=1，X(t)=x＞0，在 t，t+Δt故障件更換修理完成。

（4-2）當(dāng) N(t+Δt)=1，X(t+Δt)=x+Δt，x＞0，有N(t)=1，X(t)=x＞0，在t，t+Δt內(nèi)未產(chǎn)生新的故障件，同時(shí)更換修理的故障件未修好。

（4-3）當(dāng) N(t+Δt)=2，X(t+Δt)=x+Δt，x＞0，有N(t)=1，X(t)=x＞0在 t，t+Δt內(nèi)修理更換故障件時(shí)，產(chǎn)生新的故障件；有N(t)=2，X(t)=x＞0在 t，t+Δt內(nèi)正在修理更換的故障件未修好，同時(shí)未產(chǎn)生新的故障件；有N(t)=3，X(t)=x＞0，在t，t+Δt內(nèi)恰好更換修理好故障件，到N(t)=2，X(t)=0，即在等待更換維修的故障件，還未開始更換維修，和假設(shè)條件故障立即維修相互矛盾，即N(t)=2和X(t)=0不能共存。

（4-4）當(dāng)N(t+Δt)=1，0≤X(t+Δt)≤Δt，剛剛開始維修，但還未更換維修，有N(t)=0，在t，t+Δt內(nèi)恰發(fā)生一個(gè)故障件，需要更換維修；N(t)=2，X(t)=x＞0，t，t+Δt在內(nèi)恰好有一個(gè)故障件更換維修完成，而另外一個(gè)等待更換維修的故障件還未開始更換維修。

（4-5）N(t)=m≥2，X(t)=0不共存，與假設(shè)條件故障立即維修相互矛盾，pm=(t，0)=0，m=2，3，…，n。

（4-6）與（4-3）同理可得。

（4-7）當(dāng) N(t+Δt)=n，X(t+Δt)=x+Δt，x＞0，有N(t)=n-1，X(t)=x＞0在t，t+Δt內(nèi)正在更換維修的過程中，又有新的故障件發(fā)生；N(t)=n，X(t)=x＞0在t，t+Δt內(nèi)正在更換維修，故障件但是未未修好。

（4-8）全概率公式可得。

對(duì)方程式（4）變換得：

對(duì)（5）進(jìn)行拉普拉斯變換得：

對(duì)（6-2）微分方程進(jìn)行求解得：

將（7）式代入（6-1）式得：

將（7）代入（6-3）式得：

1.4 系統(tǒng)可用度

則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度，由阿貝爾定理[1]可知

2 結(jié)論及展望

本文主要是對(duì)于多部件并聯(lián)可修復(fù)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度進(jìn)行研究，推導(dǎo)出基于廣義馬爾可夫過程中該系統(tǒng)任意狀態(tài)概率通用解析式；基于阿貝爾定理并得到基于廣義馬爾可夫過程該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度解析表達(dá)式?？梢詫?duì)于具有工程意義的表決系統(tǒng)進(jìn)行研究，基本思路相類似。由于本文研究可修復(fù)系統(tǒng)的部件平均故障間隔時(shí)間服從指數(shù)分布、部件更換修理時(shí)間服從一般分布，如果該系統(tǒng)部件的平均故障間隔時(shí)間、部件更換修理時(shí)間均服從一般分布，分析該系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度，則必須對(duì)該系統(tǒng)偏微分方程組解的適定性和穩(wěn)定性進(jìn)行分析研究，可進(jìn)一步運(yùn)用C0

-半群理論、不動(dòng)點(diǎn)理論或者Volterra方程理論進(jìn)行進(jìn)一步探索分析。