扁平型永磁直線電機(jī)定位力綜合優(yōu)化

史石磊，康爾良,史桂英

(1.哈爾濱理工大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，哈爾濱150080；2.黑龍江省高校直驅(qū)傳動(dòng)系統(tǒng)工程技術(shù)創(chuàng)新中心，哈爾濱 150080；3.哈爾濱泰富電機(jī)有限公司，哈爾濱 150080)

0 引 言

伴隨著數(shù)控加工產(chǎn)業(yè)的換代升級(jí)，對(duì)數(shù)控機(jī)床提出了高精度、高速度和高穩(wěn)定性的要求。相比于旋轉(zhuǎn)電機(jī)的傳動(dòng)系統(tǒng)，永磁直線電機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)具有功率密度大、響應(yīng)速度快、精度高等特點(diǎn)，這使其在高精度機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，從而推動(dòng)了永磁直線電機(jī)相關(guān)研究的發(fā)展。

由于永磁直線電機(jī)存在端部效應(yīng)和齒槽效應(yīng)，這使得永磁直線電機(jī)存在很大的定位力波動(dòng)，直接影響了其控制精度。針對(duì)定位力的削弱，學(xué)者們進(jìn)行了相關(guān)研究。文獻(xiàn)[1]提出了多種抑制定位力波動(dòng)的方法并指出在電機(jī)設(shè)計(jì)階段應(yīng)進(jìn)行多目標(biāo)的優(yōu)化設(shè)計(jì)；文獻(xiàn)[2]通過對(duì)永磁直線電機(jī)左、右兩側(cè)的端部力進(jìn)行頻譜分析的基礎(chǔ)上，采用最佳鐵芯長(zhǎng)度和端部增加階梯型輔助鐵軛的方法來削弱端部力。文獻(xiàn)[3]采用等效磁化強(qiáng)度法得到了無鐵芯永磁直線電機(jī)的推力波動(dòng)的解析表達(dá)式，引入重心鄰域法進(jìn)行了多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)。并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。文獻(xiàn)[4]采用遺傳算法對(duì)一臺(tái)圓筒永磁直線電機(jī)的齒槽力進(jìn)行了綜合優(yōu)化設(shè)計(jì)。文獻(xiàn)[5]基于子域模型解析了永磁直線電機(jī)的電磁力并提出了增加輔助齒的方法來削弱端部力。文獻(xiàn)[6]結(jié)合解析法與磁路法對(duì)永磁直線電機(jī)的參數(shù)進(jìn)行了解析，并通過二維有限元軟件仿真驗(yàn)證了方法的合理性。文獻(xiàn)[7]以同步發(fā)電機(jī)效率為目標(biāo)，采用田口法對(duì)電機(jī)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)，并通過有限元仿真驗(yàn)證了優(yōu)化結(jié)果。

本文以一臺(tái)18槽21極的扁平型永磁直線電機(jī)為優(yōu)化對(duì)象，首先對(duì)定位力的產(chǎn)生原因進(jìn)行了解析，得到了影響定位力的關(guān)鍵參數(shù)。然后選取邊齒寬度、斜極長(zhǎng)度、磁鋼寬度和磁鋼厚度作為優(yōu)化變量，以定位力峰-峰值、反電勢(shì)幅值和單塊磁鋼用量為優(yōu)化目標(biāo)，結(jié)合有限元法和田口法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到優(yōu)化變量的最優(yōu)組合，通過有限元對(duì)比了初始方案和優(yōu)化方案的性能指標(biāo)。最后通過測(cè)試樣機(jī)的定位力和反電勢(shì)驗(yàn)證了方法的有效性。

1 永磁直線電機(jī)定位力解析

永磁直線電機(jī)可視為把傳統(tǒng)的永磁旋轉(zhuǎn)電機(jī)從圓周上某點(diǎn)沿軸向斷開后再將原來的圓周面拉伸為平面。如圖1中所示，由于鐵心的開斷使得電機(jī)出現(xiàn)了兩個(gè)端部，在N、S極交替分布的磁鋼上運(yùn)動(dòng)必然產(chǎn)生推力波動(dòng)，這種推力的波動(dòng)稱之為端部力，此外由于鐵心開槽引起的齒槽效應(yīng)也會(huì)產(chǎn)生推力波動(dòng)，這種推力波動(dòng)稱之為齒槽力。端部力Fend和齒槽力Fsolt疊加在一起構(gòu)成了永磁直線電機(jī)的定位力Fdent即：

Fdent=Fend+Fslot

(1)

圖1 永磁旋轉(zhuǎn)電機(jī)與永磁直線結(jié)構(gòu)對(duì)比圖

文獻(xiàn)[8]通過對(duì)端部磁通變化規(guī)律的基礎(chǔ)上，通過虛位移法得到了端部推力波動(dòng)的表達(dá)式。對(duì)于極數(shù)為2p的鐵心縱向長(zhǎng)度Ls=2p+λ端部力Fend為

(2)

式中，Kc為卡式系數(shù)；δ為氣隙長(zhǎng)度；Φm為穿過端部的最大磁通幅值；μ0為真空磁導(dǎo)率；k1為磁通壓縮系數(shù)；為極距；lef為鐵心有效疊厚。

由式(1)可知當(dāng)λ=0時(shí)，端部力幅值增加兩倍；當(dāng)λ=/2時(shí)，奇數(shù)諧波被削去，只剩下偶次分量，端部力幅值為2KcδΦm2/μ0k12lef。通過對(duì)鐵心縱向長(zhǎng)度的合理調(diào)整可以削弱端部力。

文獻(xiàn)[9]采用虛位移法對(duì)旋轉(zhuǎn)永磁電機(jī)的齒槽轉(zhuǎn)矩進(jìn)行了解析計(jì)算。由于結(jié)構(gòu)上可以將永磁直線電機(jī)看作是旋轉(zhuǎn)永磁電機(jī)的演變，因此可以采用旋轉(zhuǎn)永磁電機(jī)分析齒槽轉(zhuǎn)矩的方法來分析永磁直線電機(jī)的齒槽力。不考慮端部力的影響，永磁直線電機(jī)沿直線方向的位移相當(dāng)于旋轉(zhuǎn)電機(jī)中轉(zhuǎn)過的角度：

(3)

磁場(chǎng)能量W為

(4)

(5)

式中，Br為磁鋼剩磁，δ(θ,α)為氣隙有效長(zhǎng)度，hm為磁鋼厚度。則永磁直線電機(jī)的齒槽力為

(6)

式中，z為鐵心槽數(shù)，Bnz/2p為剩磁的nz/2p次諧波。由齒槽力的表達(dá)式可知極弧系數(shù)和磁鋼厚度等變量直接影響永磁直線電機(jī)的齒槽力。

2 永磁直線電機(jī)初始方案

根據(jù)經(jīng)典的旋轉(zhuǎn)永磁電機(jī)設(shè)計(jì)的計(jì)算公式推導(dǎo)出適合永磁直線電機(jī)的電磁計(jì)算公式，確定了永磁直線電機(jī)的初始方案，電機(jī)的具體結(jié)構(gòu)參數(shù)如圖1所示。

表1 初始方案電機(jī)參數(shù)

根據(jù)電機(jī)初始方案的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立二維有限元仿真模型[10]，如圖2所示。為了考慮分析端部力和齒槽槽力對(duì)定位力的影響，分別建立了僅考慮端部力作用和僅靠考慮鐵心開槽作用時(shí)的電機(jī)模型，如圖3、圖4所示。

圖2 扁平永磁直線電機(jī)仿真模型

圖3 端部力仿真模型

圖4 齒槽仿真模型

根據(jù)上述3種模型對(duì)電機(jī)定位力進(jìn)行仿真，仿真中暫不考慮斜槽作用，結(jié)果如圖5所示，從圖中可以看出定位力可由端部力和齒槽力的疊加得到，其中，齒槽力和端部力的波動(dòng)周期為2倍的電周期，并且二者相位相差半個(gè)周期，這使得疊加后的定位力小于端部力。因此可知，齒槽力和端部力可以通過合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)進(jìn)行相互削弱，從而使得定位力波動(dòng)減小。

圖5 齒槽仿真模型

3 田口法優(yōu)化設(shè)計(jì)

目前常用于電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)的算法有遺傳算法、粒子群算法、模擬退火法等，但這些算法需要通過繁雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件。相比于這些算法，田口法操作起來更加高效、方便，只需根據(jù)控制變量和優(yōu)化目標(biāo)建立代表實(shí)驗(yàn)組合的交直表就能完成目標(biāo)優(yōu)化。由于田口法優(yōu)化的高效性和有效性使其在工程實(shí)踐中得到廣泛應(yīng)用。

基于有限元和田口法優(yōu)化設(shè)計(jì)步驟：①確定優(yōu)化目標(biāo)和優(yōu)化變量，并選取各變量水準(zhǔn)值。②根據(jù)優(yōu)化參數(shù)水準(zhǔn)值建立交直實(shí)驗(yàn)表，并通過有限元進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)的到各組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。③通過對(duì)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，確定最佳的優(yōu)化參數(shù)組合。利用有限元對(duì)最優(yōu)變量組合進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

3.1 優(yōu)化目標(biāo)及變量選取

定位力和反電勢(shì)是永磁直線電機(jī)重要性能指標(biāo)，定位力影響永磁直線電機(jī)伺服系統(tǒng)的定位精度，反電勢(shì)直接關(guān)系到電機(jī)的帶載能力。此外，如圖1所示，對(duì)于短初級(jí)-長(zhǎng)次級(jí)結(jié)構(gòu)形式直線電機(jī)來說，初級(jí)運(yùn)動(dòng)形成受到次級(jí)磁鋼沿運(yùn)動(dòng)方向排列長(zhǎng)度的限制，行程越長(zhǎng)需要布置的磁鋼就越多，而磁鋼的用量直接影響著永磁直線電機(jī)的制造成本。因此，選擇定位力峰-峰值F、反電勢(shì)幅值E和單塊磁鋼M用量作為優(yōu)化目標(biāo)，以期在磁鋼用量較小的情況下得到最佳的定位力峰-峰值和反電勢(shì)幅值。

圖6 斜極示意圖

電機(jī)設(shè)計(jì)過程中，斜極或斜槽是常用來削弱齒槽轉(zhuǎn)矩的有效方法，而直線電機(jī)很難實(shí)現(xiàn)鐵芯斜齒的結(jié)構(gòu)，所以通常采用斜極來削弱定位力。定義斜極長(zhǎng)度ds為斜極后磁鋼對(duì)角點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)方向上的位移差，如圖6(b)所示。由于采用二維有限元模型進(jìn)行仿真，所以斜極需要通過分段斜極進(jìn)行等效計(jì)算，如圖6(a)所示，本文采用23段分段斜極進(jìn)行等效。

表2 控制變量的水準(zhǔn)值

根據(jù)對(duì)定位力的解析，可知初級(jí)長(zhǎng)度Ls、極弧系數(shù)α和磁鋼厚度hm對(duì)定位力波動(dòng)有著直接影響，在本文中決定初級(jí)長(zhǎng)度的變量為邊齒寬度bet，而決定極弧系數(shù)的變量為磁鋼寬度bm。因此選取邊齒寬度bet、斜極長(zhǎng)度ds、磁鋼寬度bm和磁鋼厚度hm為優(yōu)化變量，分別取4個(gè)變量的5個(gè)水準(zhǔn)值，如表2所示。

3.2 建立交直實(shí)驗(yàn)表進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)

根據(jù)常規(guī)的實(shí)驗(yàn)方法，4個(gè)變量，5中水準(zhǔn)值需要進(jìn)行45組仿真實(shí)驗(yàn)，而根據(jù)田口法選則L25(54)交直表進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，只需進(jìn)行25組仿真實(shí)驗(yàn)。根據(jù)選取的優(yōu)化變量和優(yōu)化目標(biāo)建立交直實(shí)驗(yàn)表及仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表3所示。

表3 交直實(shí)驗(yàn)表與仿真結(jié)果

3.3 仿真結(jié)果分析

按式(7)分別求出每個(gè)變量在各個(gè)水準(zhǔn)下的平均值，計(jì)算結(jié)果如表4所示。

(7)

為了得到各優(yōu)化變量對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的影響比重，需進(jìn)一步求取方差進(jìn)行分析。計(jì)算公式如下：

(8)

(9)

式中：Gi為優(yōu)化目標(biāo)在第i次仿真實(shí)驗(yàn)的值。

表4 各優(yōu)化目標(biāo)平均值

表5 各優(yōu)化變量對(duì)目標(biāo)影響比重

從表5中可以看出，邊齒寬度對(duì)定位力影響比重最大；斜極長(zhǎng)度對(duì)定位力和反電勢(shì)的影響比重都排在第二位，但是斜極長(zhǎng)度對(duì)反電勢(shì)影響略大于對(duì)定位力的影響；磁鋼寬度對(duì)反電勢(shì)和磁鋼用量的影響比重最大，但磁鋼寬度對(duì)磁鋼用量的影響略大于對(duì)反電勢(shì)的影響；磁鋼厚度主要對(duì)磁鋼用量影響較大，而對(duì)定位力和反電勢(shì)的作用不大。當(dāng)以定位力最小為優(yōu)化目標(biāo)，則邊齒寬度應(yīng)選擇水準(zhǔn)B?？紤]在削弱定位力的同時(shí)盡量減小反電勢(shì)的損失，斜極長(zhǎng)度選擇水準(zhǔn)D。同樣考慮磁鋼用量最小時(shí)盡可能的增加反電勢(shì)，磁鋼寬度也選擇水準(zhǔn)D。以磁鋼用量最小為優(yōu)化目標(biāo)，則磁鋼寬度選者水準(zhǔn)A。最終得到優(yōu)化水準(zhǔn)組合為B、D、D、A。

表6 參數(shù)對(duì)比

圖7 定位力波形對(duì)比

圖8 定位力頻譜分析對(duì)比

根據(jù)優(yōu)化后的尺寸進(jìn)行有限元仿真計(jì)算。初始方案與優(yōu)化方案的參數(shù)如表6所示，定位力波形對(duì)比如圖7所示。經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)后，定位力峰-峰值減小了41.1%，反電勢(shì)增加了0.86%，單塊磁鋼減重4.3%。實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化目標(biāo)。圖8為初始方案與優(yōu)化方案定位力的頻譜分析對(duì)比，從中可以看出，初始方案中的定位力主要有2次和4次分量，經(jīng)過優(yōu)化后，2次分量和4次分量被很大程度地削弱，但6次分量有了一定的增加。

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)優(yōu)化方案設(shè)計(jì)并制作了樣機(jī)如圖9所示。測(cè)量定位力時(shí)，采用變頻器驅(qū)動(dòng)旋轉(zhuǎn)異步電機(jī)帶動(dòng)蝸桿推動(dòng)永磁直線電機(jī)鐵心低速平穩(wěn)運(yùn)動(dòng)，通過控制器顯示的光柵讀數(shù)標(biāo)定1個(gè)極距內(nèi)40個(gè)等距測(cè)量點(diǎn)，通過拉力傳感器記錄測(cè)量點(diǎn)拉力值，測(cè)量結(jié)果如圖10所示。在永磁直線電機(jī)平穩(wěn)低速運(yùn)動(dòng)過程中采用示波器記錄三相繞組的反電勢(shì)波形。

圖9 扁平永磁同步直線電機(jī)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)

圖10 樣機(jī)定位力波形

從圖10可知，有限元仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本一致，但由于機(jī)械結(jié)構(gòu)及樣機(jī)材料等因素的影響，使得結(jié)果存在著一定的誤差。定義永磁直線電機(jī)的電壓常量為反電勢(shì)幅值與速度的比值。通過反電勢(shì)波形可以得到反電勢(shì)幅值和頻率，并根據(jù)速度公式v=2f可計(jì)算出速度。根據(jù)仿真波形計(jì)算得到的電壓常量為88.43V·s/m，根據(jù)實(shí)驗(yàn)波形計(jì)算得到電壓常量為90.24V·s/m，兩者的誤差為2%。

5 結(jié) 語

本文從永磁直線電機(jī)的結(jié)構(gòu)入手解析了定位力的組成，并分析了影響端部力和齒槽力的關(guān)鍵參數(shù)。以1臺(tái)18槽21極永磁電機(jī)為優(yōu)化對(duì)象，通過對(duì)有限元物理模型的處理，將端部力與齒槽力進(jìn)行分離，通過對(duì)分析得到齒槽力可以削弱端部力，使得兩者疊加后的定位力小于端部力。然后結(jié)合田口法和有限元法，以邊齒寬度、斜極長(zhǎng)度、磁鋼寬度和磁鋼厚度為優(yōu)化變量，以定位力、反電勢(shì)和磁鋼用量為優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，仿真結(jié)果表明優(yōu)化后的定位力減小、反電勢(shì)增大、磁鋼用量減小，實(shí)現(xiàn)了優(yōu)化目標(biāo)。最后，根據(jù)優(yōu)化參數(shù)制作了樣機(jī)，通過對(duì)樣機(jī)的定位力與反電勢(shì)的測(cè)試來證明了優(yōu)化方法的有效性。研究結(jié)果對(duì)扁平永磁直線電機(jī)工程設(shè)計(jì)和應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。