從“雞兔同籠”聽(tīng)課中悟數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)

仇圣國(guó)

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，淺層化的概念解讀，學(xué)生是無(wú)法深切體會(huì)數(shù)學(xué)中的思想的，更無(wú)法促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的有效內(nèi)化，必然會(huì)影響到學(xué)生數(shù)學(xué)解題思維的發(fā)展。探索深度學(xué)習(xí)，應(yīng)該從哪些方面來(lái)著手？對(duì)于“雞兔同籠”問(wèn)題的學(xué)習(xí)，在小學(xué)階段多次出現(xiàn)。某次聽(tīng)課，課始，執(zhí)教老師提出“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，讓學(xué)生去回顧解題方法是什么？很多學(xué)生感到陌生，在追問(wèn)學(xué)生后，學(xué)生均表示“想不起來(lái)了”。這些看似“我聽(tīng)懂了”“我理解了”，但卻“我想不起來(lái)了”的表述，實(shí)則是學(xué)生淺層學(xué)習(xí)的真實(shí)寫照。數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，教師要強(qiáng)調(diào)深度學(xué)習(xí)，要提高學(xué)生的高階思維，就要走出淺層學(xué)習(xí)，讓深度學(xué)習(xí)自然發(fā)生。

一、聽(tīng)課中挖掘執(zhí)教老師的教學(xué)思維

“雞兔同籠”是古代數(shù)學(xué)的典型問(wèn)題，從小學(xué)低年級(jí)、中年級(jí)直到高年級(jí)都有接觸。在一次聽(tīng)課中，圍繞“雞兔同籠”問(wèn)題的課堂教學(xué)思路，從學(xué)生的“忘記了”，再到“明白了”，整個(gè)過(guò)程，執(zhí)教老師通過(guò)親自引導(dǎo)、示范和反饋，向我們展示了一堂貫穿深度學(xué)習(xí)的教法策略。

（一）學(xué)生“忘記了”，執(zhí)教老師面對(duì)課堂窘境

在課堂伊始，執(zhí)教老師提問(wèn)：雞兔共有7只，腳共有22只，問(wèn)雞、兔各幾只？對(duì)于“雞兔同籠”問(wèn)題，學(xué)生早已學(xué)過(guò)，但在課堂上，當(dāng)執(zhí)教老師提出問(wèn)題后，幾乎所有的學(xué)生都沉默了。執(zhí)教老師引導(dǎo)學(xué)生，回想過(guò)去是如何解讀該題的，在某學(xué)生大膽的發(fā)言中，其思路如下：7×2=14（只）;22-14=8（只）;4-2=2（只）;8÷2=4（只）;7-4=3（只）。當(dāng)問(wèn)及8÷2=4（只）代表是雞的數(shù)，還是兔的數(shù)時(shí)，學(xué)生的思維卡殼了。執(zhí)教老師鼓勵(lì)了學(xué)生的解題方法，但卻反映了課堂的事實(shí)，學(xué)生并未真正搞明白“雞兔同籠”問(wèn)題，或者說(shuō)，對(duì)于解題方法的應(yīng)用，還處于淺層理解上。更嚴(yán)重的是，對(duì)于課堂上的多數(shù)學(xué)生“沉默”的背后，折射出對(duì)該題的“一知半解”。很多學(xué)生表示“忘記了”，說(shuō)明在當(dāng)時(shí)的教學(xué)中，學(xué)生僅僅是記住了解法，做到了解題結(jié)果的正確，沒(méi)有失分，但對(duì)于該題的意義、內(nèi)涵，并未真正地掌握。

（二）挖掘教法要點(diǎn)，讓學(xué)生真正理解

對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的探析，不能停留在單一解法的照搬、照用上，更重要的是，讓學(xué)生能夠深刻理解題意，真正懂得并運(yùn)用不同的解法來(lái)解題。孤立的、淺層的教學(xué)，難以讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題形成深刻的建構(gòu)，更是無(wú)意義的教學(xué)。在對(duì)該題的求解方法上，執(zhí)教老師呈現(xiàn)了多種解法。第一種，以假設(shè)法來(lái)解。將雞、兔、腳作為三項(xiàng)，分別從雞為7只、6只、5只、4只、3只、2只、1只等情形下，計(jì)算出兔的腳數(shù)，看兩者之和，共計(jì)為22只時(shí)，雞為3只，兔為4只。第二種為畫圖法，將圓圈代表雞、兔的數(shù)量，分別進(jìn)行畫腳計(jì)數(shù)，湊出22只腳。第三種是方程法，列出未知數(shù)，求解出結(jié)果。第四種為上述的邏輯算法。在解“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵要讓學(xué)生去理解解題的要點(diǎn)。分析不同的解法，最直觀的是畫圖法和假設(shè)法，讓學(xué)生能夠從一步步地嘗試中，找準(zhǔn)解題思路，體驗(yàn)解題過(guò)程。這些不同的解法，看似不同，實(shí)則具有內(nèi)在關(guān)聯(lián)性。教師要引領(lǐng)學(xué)生觀察、品析、交流、探究，深化數(shù)學(xué)認(rèn)知，讓深度學(xué)習(xí)呈現(xiàn)出高階思維的狀態(tài)。

二、在數(shù)學(xué)教學(xué)中實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的有效路徑

（一）激發(fā)學(xué)生參與意識(shí)，體驗(yàn)深度學(xué)習(xí)的愉悅感

認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)需要特定的學(xué)習(xí)情境，積極、活潑、自主的學(xué)習(xí)態(tài)度是增進(jìn)一個(gè)人全身心投入學(xué)習(xí)的必要條件。在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂中，打造樂(lè)學(xué)、善學(xué)的學(xué)習(xí)情境，教師要從引領(lǐng)學(xué)生的參與學(xué)習(xí)性入手。學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)得到調(diào)動(dòng)，才能夠更積極地參與學(xué)習(xí)，才能夠從學(xué)習(xí)中獲得良好的體驗(yàn)，才能強(qiáng)化積極學(xué)習(xí)的心理。

首先，師生間要有良性互動(dòng)。在教學(xué)中，教師要積極、言語(yǔ)要幽默，要營(yíng)造活潑的教學(xué)氛圍，激發(fā)學(xué)生的求知欲，增進(jìn)師生的情感共鳴。學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助于教師的激勵(lì)，去展開(kāi)思考，大膽發(fā)現(xiàn)、敢于質(zhì)疑，善于合作，師生互動(dòng)才是最良好的狀態(tài)。

其次，教師要引入挑戰(zhàn)性“問(wèn)題鏈”。在課堂師生互動(dòng)中，對(duì)話是必不可少的，而“問(wèn)題鏈”是教學(xué)主線。教師要能夠?qū)?shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換為學(xué)生探究的問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題來(lái)引領(lǐng)學(xué)生去回憶、去思考、去分析、去合作。挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)問(wèn)題，能夠喚醒學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，能夠增進(jìn)學(xué)生從問(wèn)題探究中獲得成就感。

再次，教師要把控學(xué)生的學(xué)習(xí)“情感”。課堂教學(xué)是有情的，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，教師要積極評(píng)價(jià)，讓學(xué)生獲得積極體驗(yàn)。如“現(xiàn)在你覺(jué)得該題難嗎？”“現(xiàn)在，你會(huì)做了嗎？”“剛才同學(xué)一交流，很快就明白了”。這些以情感來(lái)分享學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，更能讓學(xué)生內(nèi)心形成強(qiáng)大的學(xué)習(xí)動(dòng)力。

（二）關(guān)注學(xué)生質(zhì)疑批判，增進(jìn)學(xué)生理性認(rèn)知數(shù)學(xué)

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，思辨能力是重要的學(xué)習(xí)品質(zhì)。面對(duì)數(shù)學(xué)，要敢于發(fā)問(wèn)，勇于質(zhì)疑，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，要保持批判精神。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要注重對(duì)學(xué)生科學(xué)精神的發(fā)展。深度學(xué)習(xí)，建立在對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解基礎(chǔ)上，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，批判質(zhì)疑，豐富和習(xí)得數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之間具有多元連接性，教師要摒棄傳統(tǒng)的單一講法，更要從對(duì)數(shù)學(xué)算理的剖析及數(shù)學(xué)算法的質(zhì)疑中，讓學(xué)生理性的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。如遇到學(xué)生疑惑點(diǎn)，要適時(shí)追問(wèn)，對(duì)于做錯(cuò)的地方，要反問(wèn)學(xué)生，當(dāng)時(shí)是怎樣理解的。以畫圖法為例，對(duì)于“雞兔同籠”中，每個(gè)圓圈代表一個(gè)動(dòng)物，如果都是雞，則需要畫兩只腳，共計(jì)16只腳，腳的數(shù)目，與22相比是少了。說(shuō)明還需要增加兔的數(shù)目，增加多少？讓學(xué)生思考這個(gè)問(wèn)題。再者，對(duì)學(xué)生的不解，教師要鼓勵(lì)學(xué)生表達(dá)出來(lái)。面對(duì)數(shù)學(xué)，要保持質(zhì)疑精神。在“雞兔同籠”中，教師讓學(xué)生展開(kāi)交流，提出各自的看法，總結(jié)不同的解法，談一談還有哪些問(wèn)題。這種以疑為引，讓學(xué)生從疑問(wèn)中去批判思考。隨后，延遲評(píng)價(jià)。對(duì)學(xué)生的想法，教師并不需要直接進(jìn)行評(píng)價(jià)，通過(guò)延遲評(píng)價(jià)，給學(xué)生提供更廣闊的思考空間。放手讓學(xué)生自己去思考，對(duì)不同的解法進(jìn)行交流，哪種解法更有效。讓學(xué)生展開(kāi)經(jīng)驗(yàn)分享，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)批判意識(shí)。

（三）突出知識(shí)的關(guān)聯(lián)建構(gòu)，提升學(xué)生高階思維

在學(xué)習(xí)過(guò)程中，知識(shí)的習(xí)得往往是通過(guò)認(rèn)知聯(lián)結(jié)起來(lái)，逐漸建構(gòu)成知識(shí)體系。同樣，數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，也需要從不斷的積累、獲取中慢慢建構(gòu)。數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)圖式等信息，并非是靜止的、孤立的，而是相互關(guān)聯(lián)的。教師要通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的梳理，將之整合起來(lái)，促進(jìn)學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系。在“雞兔同籠”問(wèn)題探究中，不同解法，看似視角不同，但卻都是揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效方法。教師要把握知識(shí)的精準(zhǔn)切入，讓學(xué)生能夠聯(lián)系自我經(jīng)驗(yàn)，從觀察、實(shí)踐、操作中辨析和判斷，在“畫”與“算”之間，逐漸抓住“雞兔同籠”問(wèn)題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的關(guān)聯(lián)建構(gòu)。

深度學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生而言，除了關(guān)注顯性知識(shí)的學(xué)習(xí)，更要關(guān)注隱性思想、方法、策略的融入。教師要充分依托數(shù)學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生間的交流、探究，從數(shù)學(xué)課堂體驗(yàn)到有溫度、有深度的學(xué)習(xí)情感。