并聯(lián)彈簧式準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的靜態(tài)分析與低頻隔振區(qū)間優(yōu)化

李 靜 時(shí)培成

(安徽工程大學(xué) 汽車新技術(shù)安徽省工程技術(shù)研究中心，安徽 蕪湖 241000)

1 問題研究現(xiàn)狀

隨著社會(huì)的發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，人類對(duì)于隔振設(shè)備的隔振性能要求越來越高，尤其是低頻隔振。被動(dòng)隔振系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，能耗很小，可靠性強(qiáng)，是最主要的隔振手段。由線性隔振理論可知，線性隔振的起始頻率為系統(tǒng)固有頻率的倍。要實(shí)現(xiàn)低頻、超低頻隔振，系統(tǒng)的固有頻率要很低，但系統(tǒng)固有頻率與系統(tǒng)的剛度呈正相關(guān)關(guān)系，減小系統(tǒng)的固有頻率會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的承載能力降低，會(huì)限制隔振系統(tǒng)的承載力、應(yīng)用場(chǎng)合。

大量的研究發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)具有“高靜低動(dòng)”特性，即具有較大的靜剛度和極低的動(dòng)剛度，克服了低頻隔振與承載力不足的矛盾。因此，在國(guó)際學(xué)術(shù)界，已成為重要的研究?jī)?nèi)容[1]。柴凱等[2]在綜述中詳細(xì)地的介紹了準(zhǔn)零剛度隔振器的隔振原理及其實(shí)現(xiàn)方法，以及對(duì)隔振器的應(yīng)用前景進(jìn)行了展望。徐道臨等[3]提出一種由五個(gè)線性彈簧并聯(lián)組成的準(zhǔn)零剛度隔振器，經(jīng)過試驗(yàn)研究結(jié)果表明，其低頻隔振性能明顯優(yōu)于相應(yīng)的線性系統(tǒng)。藍(lán)雙等[4]提出一種由拉伸彈簧作為負(fù)剛度機(jī)構(gòu)與正剛度線性彈簧并聯(lián)組成的隔振系統(tǒng)，其仿真結(jié)果表明，拉伸式準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在超低頻隔振中的性能優(yōu)于線性系統(tǒng)。聶高法等[5]設(shè)計(jì)一種新型可調(diào)節(jié)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，當(dāng)隔振物體質(zhì)量變化時(shí)，通過調(diào)節(jié)可使系統(tǒng)處于平衡位置附近，通過仿真驗(yàn)證，該系統(tǒng)能克服低頻隔振與系統(tǒng)剛度之間的矛盾。劉興天等[6]提出將有負(fù)剛度特性的歐拉屈曲梁與線性隔振器并聯(lián)使用，通過對(duì)隔振器進(jìn)行動(dòng)態(tài)建模，分析激勵(lì)幅值和載荷對(duì)隔振器性能的影響，其結(jié)果表明，隔振器具有低頻隔振能力。張建卓等[7]提出實(shí)現(xiàn)超低頻隔振的新方法，經(jīng)大量試驗(yàn)表明：隔振系統(tǒng)固有頻率從6Hz降低到0.75Hz，隔振能力顯著提高。趙強(qiáng)等[8]介紹正負(fù)剛度相消的原理，設(shè)計(jì)新型汽車座椅隔振系統(tǒng)，仿真試驗(yàn)證明，隔振系統(tǒng)內(nèi)加入負(fù)剛度元件，人體加速度減小，舒適度得到有效改善。

目前，絕大多數(shù),文獻(xiàn)都是對(duì)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)設(shè)計(jì)、研究其靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行討論，而準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化以獲得更優(yōu)的隔振特性并沒有給予過多的討論。

本文基于并聯(lián)彈簧機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)了一種準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，并對(duì)其進(jìn)行低頻隔振區(qū)間優(yōu)化。根據(jù)準(zhǔn)零剛度模型的特點(diǎn)，以及需要優(yōu)化的參數(shù)數(shù)量，采用均勻優(yōu)化設(shè)計(jì)法，確定試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)與因素水平，選取均勻設(shè)計(jì)表，獲得一組最優(yōu)解，經(jīng)matlab仿真驗(yàn)證，本文設(shè)計(jì)的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的準(zhǔn)零剛度區(qū)間長(zhǎng)度得到了有效拓展。

2 準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)設(shè)計(jì)

本文設(shè)計(jì)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，如下頁(yè)圖1所示，由n+1個(gè)線性彈簧并聯(lián)組合，其中n個(gè)彈簧傾斜放置，1個(gè)彈簧豎直放置，彈簧兩端分別連接底座和隔振平臺(tái)。斜置線性彈簧在豎直方向上可呈現(xiàn)負(fù)剛度特性，由并聯(lián)彈簧的剛度計(jì)算公式可得，合理設(shè)計(jì)彈簧參數(shù)，可在豎直方向上構(gòu)成準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，即在靜平衡位置附近，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性。根據(jù)圖1所示的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，其主要由3個(gè)部分組成：支撐裝置(底座，支撐架)，減振裝置(水平彈簧、豎直彈簧，導(dǎo)桿，導(dǎo)向裝置，直線軸承)，被隔振對(duì)象(載物平臺(tái))。各個(gè)部分之間的連接關(guān)系為：底座固定水平放置，支撐架安裝于底座上，相對(duì)位置可以調(diào)節(jié)，即對(duì)應(yīng)圖2準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖上的尺寸a進(jìn)行調(diào)節(jié)，水平彈簧及其導(dǎo)向裝置分別與支撐架和載物平臺(tái)鉸接。為防止彈簧受力后發(fā)生失穩(wěn)，采用導(dǎo)向裝置引導(dǎo)其形變方向。直線軸承相對(duì)導(dǎo)桿的位置可以調(diào)節(jié)，調(diào)節(jié)豎直彈簧初始長(zhǎng)度，用以適應(yīng)質(zhì)量不同的被隔振對(duì)象，使系統(tǒng)在靜平衡位置工作。載物平臺(tái)同時(shí)受水平彈簧和豎直彈簧的力的作用。底座調(diào)整支撐架半徑大小軌跡上均刻有半徑大小刻度尺，以保證三支支撐架在同一圓周上，并且可以準(zhǔn)確調(diào)節(jié)上下平臺(tái)的半徑差。

本文設(shè)計(jì)的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，其力學(xué)平衡圖如圖2所示，載物平臺(tái)由n個(gè)剛度為k0的傾斜彈簧和一個(gè)剛度為kv的豎直彈簧支撐，其中傾斜彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)0，豎直彈簧的原長(zhǎng)為L(zhǎng)1，傾斜彈簧底部距離中心點(diǎn)的距離均為a，傾斜彈簧上端距離中心點(diǎn)的距離均為b，載物平臺(tái)與底座的距離為h。未加載時(shí)，即初始狀態(tài)傾斜彈簧與水平面的夾角均為β。

3 隔振系統(tǒng)力——位移、剛度——位移特性及部分選擇參數(shù)

3.1 隔振系統(tǒng)力-位移、剛度-位移特性

設(shè)y定義為系統(tǒng)從初始位置開始豎直向下位移，如圖2a、b所示，設(shè)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)在被隔振對(duì)象作用下產(chǎn)生位移y，則系統(tǒng)的力—位移之間的關(guān)系為：

則：

假設(shè)定義x為從平衡位置o點(diǎn)，即y=h處的位移，則有x=y-h,則上述力-位移方程(2)為：

為方便后續(xù)的分析與應(yīng)用，將力-位移方程(3)進(jìn)行無(wú)量綱化后得：

根據(jù)剛度的定義，可由力-位移方程式(4)對(duì) 微分，得到系統(tǒng)無(wú)量綱剛度-位移方程式：

3.2 確定平衡條件

當(dāng)傾斜彈簧處于水平位置時(shí)，即傾斜彈簧與水平面之間的夾角β=0時(shí)，隔振系統(tǒng)達(dá)到靜平衡狀態(tài)，水平彈簧對(duì)被隔振對(duì)象的作用相互抵消，被隔振對(duì)象完全由豎直彈簧支撐。當(dāng)載物平臺(tái)稍微偏離平衡位置時(shí)，傾斜彈簧的負(fù)剛度與豎直彈簧的正剛度在豎直方向上相互抵消，可實(shí)現(xiàn)在豎直方向上的準(zhǔn)零剛度，依此可求得實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的條件，即當(dāng)x=0時(shí)，k=0，則剛度比為：

后續(xù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)時(shí)，所選取的a、b、n、y值，均要滿足(6)式

3.3 選擇隔振系統(tǒng)部分參數(shù)

在滿足準(zhǔn)零剛度條件前提下，選取不同的n值，利用matlab編制程序，可得出相應(yīng)的無(wú)量綱力-位移和無(wú)量綱剛度-位移曲線，如圖3和下頁(yè)圖4所示。由圖3可見，當(dāng)傾斜彈簧數(shù)量n分別取2、3、4、5、6時(shí)，并且系統(tǒng)其他參數(shù)取值滿足準(zhǔn)零剛度條件，系統(tǒng)在靜平衡位置可以實(shí)現(xiàn)一段穩(wěn)定的剛度為零的區(qū)間，即準(zhǔn)零剛度區(qū)間。由下頁(yè)圖4系統(tǒng)的剛度—位移曲線，可以得到 ： 當(dāng)傾斜彈簧數(shù)量n分別取2、3、4、5、6時(shí)，并且系統(tǒng)其他參數(shù)取值滿足準(zhǔn)零剛度條件時(shí)，均可使系統(tǒng)在平衡位置實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度，但隨著傾斜彈簧數(shù)量的增加，準(zhǔn)零剛度有效區(qū)間隨之減小，這對(duì)于系統(tǒng)對(duì)低頻和超低頻的隔振是不利的，應(yīng)盡力避免。由上述分析可見，傾斜彈簧數(shù)量n為2時(shí)，系統(tǒng)具有最大的零剛度區(qū)間，考慮當(dāng)傾斜彈簧數(shù)量小于3個(gè)時(shí)，系統(tǒng)在豎直方向的振動(dòng)可能會(huì)產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象，故選用傾斜彈簧的數(shù)量n=3，則可確定系統(tǒng)無(wú)量綱力-位移、無(wú)量綱剛度-位移和剛度比表達(dá)式為：

圖3 無(wú)量綱力—位移曲線

圖1 a準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)初始位置模型圖

圖1 b準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)平衡位置模型圖

圖2 a準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)初始位置結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 b準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)平衡位置結(jié)構(gòu)示意圖

圖4 無(wú)量綱剛度—位移曲線

能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)產(chǎn)生準(zhǔn)零剛度特性的幾何參數(shù) 和剛度比y的組合見圖5。

圖5 幾何參數(shù)與系統(tǒng)剛度比關(guān)系曲線

4 剛度、力特性的近似表達(dá)

由上頁(yè)圖3可以看出，該準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的力—位移特性曲線符合三次曲線的特征。在選擇適合系統(tǒng)的前提下，可使用某個(gè)三次曲線來近似擬合該隔振系統(tǒng)的力—位移特性曲線。由于該隔振系統(tǒng)彈性恢復(fù)力在平衡位置附近具有(n+1)階導(dǎo)數(shù)，故式(7)可用泰勒展開，僅取前三階。

根據(jù)前述條件可得：F(0)=0、F｀(0)=0、F"(0)=0，則式(10)可以化簡(jiǎn)為：

則，系統(tǒng)經(jīng)簡(jiǎn)化的剛度—位移表達(dá)式為：

將式(11)、(12)確定的系統(tǒng)的近似力—位移、剛度—位移表達(dá)式與其精確表達(dá)式比較，如圖6 、圖7所示。從圖6、圖7中可以看出，在平衡位置 附近的小范圍內(nèi)滿足精度要求，因此，在下文計(jì)算中均以此近似解代替精確解。

圖6 系統(tǒng)剛度—位移曲線精確解與近似解比較

圖7 系統(tǒng)力—位移曲線精確解與近似解比較

由圖6可知，剛度表達(dá)式近似解與精確解的誤差在平衡位置附近隨著系統(tǒng)位移的增加而逐漸增加，精確剛度與近似剛度之間的誤差可用相對(duì)誤差來衡量。定義相對(duì)誤差表達(dá)式為：

圖8 剛度精確解與近似解相對(duì)誤差隨位移變化圖

由圖8可知，當(dāng)無(wú)量綱位移較小時(shí)，剛度近似解與精確解的誤差較小，因此，利用剛度近似表達(dá)式來分析系統(tǒng)特性是合理的。但當(dāng)系統(tǒng)位移量較大時(shí)，相對(duì)誤差迅速增大，在此情況下，近似解則不能代替精確解。該準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用中，其振動(dòng)位移均為小位移，所以，可以應(yīng)用三階泰勒展開式代替精確解。

5 基于均勻設(shè)計(jì)法的隔振系統(tǒng)優(yōu)化

5.1 確定試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)與因素水平

如上頁(yè)圖3所示，該準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)在其平衡位置附近有一段穩(wěn)定的剛度極低的區(qū)間。根據(jù)振動(dòng)理論可知，當(dāng)被隔振對(duì)象的振幅位于這一段區(qū)間內(nèi)時(shí)，該隔振系統(tǒng)可對(duì)頻率極低的振動(dòng)進(jìn)行隔離。當(dāng)振幅超過這段區(qū)間，隔振系統(tǒng)的剛度值就會(huì)大幅度地增大，無(wú)法對(duì)低頻和超低頻振動(dòng)有效隔離。一個(gè)性能優(yōu)良的隔振器應(yīng)具有一個(gè)較大的低頻隔振區(qū)間，以適應(yīng)不同工作環(huán)境對(duì)隔振器不同的要求。因此，在滿足準(zhǔn)零剛度條件下，盡可能地增大準(zhǔn)零剛度的位移區(qū)間很有必要。

由式(12)可以得到優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為：

由式(12)可知，當(dāng)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)無(wú)量綱剛度值確定時(shí)，系統(tǒng)的有效隔振區(qū)間隨之確定。由于當(dāng)前對(duì)準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的剛度值沒有明確規(guī)定，考慮到準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)相比較于線性隔振系統(tǒng)的優(yōu)勢(shì)在于其低頻及超低頻隔振性能。為獲得性能最好的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，應(yīng)使準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)準(zhǔn)零剛度區(qū)間盡可能大，即準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的低剛度區(qū)間盡可能大，因此，本文將隔振系統(tǒng)無(wú)量綱剛度值 對(duì)應(yīng)的區(qū)間 值作為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行尋優(yōu)設(shè)計(jì)。

設(shè)無(wú)量綱剛度值 對(duì)應(yīng)的位移區(qū)間長(zhǎng)度為：

為了準(zhǔn)確對(duì)該準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)中各參數(shù)值進(jìn)行優(yōu)化，應(yīng)取有量綱剛度—位移表達(dá)式對(duì)應(yīng)的位移長(zhǎng)度值：

將式(16)等號(hào)右邊的4個(gè)參數(shù)：剛度比、傾斜彈簧原長(zhǎng)L0(mm)、隔振基座半徑a(mm)、隔振平臺(tái)半徑b(mm)作為優(yōu)化變量。由這四個(gè)參數(shù)即可確定該類型準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，因此，通過對(duì)這四個(gè)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，即可得到性能最優(yōu)的準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)，即準(zhǔn)零剛度區(qū)間值最大的隔振系統(tǒng)。選取不同的3組參數(shù)值，可得到不同的目標(biāo)函數(shù)值，如圖9所示。

圖9 不同L值的比較，其中

由圖9可以看出，其中 ，隨著目標(biāo)函數(shù)取值的不斷增大，曲線越來越趨于平坦，曲線位于無(wú)量綱剛度值小于1的部分越大，準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的準(zhǔn)零區(qū)間越大，即準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)低頻和超低頻隔振性能越優(yōu)越。

與正交試驗(yàn)法相比，均勻設(shè)計(jì)減少了實(shí)驗(yàn)次數(shù)，可以適當(dāng)增加試驗(yàn)參數(shù)的復(fù)雜性。選擇無(wú)量綱剛度值 對(duì)應(yīng)的位移區(qū)間長(zhǎng)度作為試驗(yàn)優(yōu)化目標(biāo)，使該區(qū)間最大。適當(dāng)增大因素取值范圍，增大試驗(yàn)因素水平，使試驗(yàn)結(jié)果更接近于最優(yōu)結(jié)果，所選因素范圍和步長(zhǎng)，如表1所示。試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)為系統(tǒng)無(wú)量綱剛度 對(duì)應(yīng)的位移區(qū)間長(zhǎng)度的極大值，在其他條件相同的情況下，影響試驗(yàn)?zāi)繕?biāo)的因素有：彈簧剛度比γ，傾斜彈簧L0， 隔振平臺(tái)半徑b， 隔振系統(tǒng)基座半徑a四個(gè)變量。

表1 所選因素范圍和步長(zhǎng)

5.2 選取均勻設(shè)計(jì)表

根據(jù)選擇的因素單一優(yōu)化目標(biāo)等制定均勻設(shè)計(jì)表。共4個(gè)因素，取13個(gè)水平，在均勻設(shè)計(jì)手冊(cè)中查找通用的均勻設(shè)計(jì)表。通過查表可得，供選擇的均勻設(shè)計(jì)表有和。因4因素試驗(yàn)殘差分別為0.2076和0.3107.，應(yīng)優(yōu)選帶*號(hào)的均勻設(shè)計(jì)表，即選擇殘差較小的均勻設(shè)計(jì)表。表和使用表見表2、表3所示。

5.3 試驗(yàn)與分析

將所選的水平和因素按照均勻設(shè)計(jì)表 的順序填入，可以得到13種不同的試驗(yàn)方案，對(duì)13種不同的情況分別計(jì)算，可得到13個(gè)不同的最大區(qū)間值，如表4所示。

綜合考慮隔振器結(jié)構(gòu)與參數(shù)的關(guān)系，根據(jù)準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)中零部件的空間布局及系統(tǒng)總體尺寸的約束，確定約束條件，試驗(yàn)3、9的試驗(yàn)參數(shù)不符合要求，符合條件的試驗(yàn)4獲得的優(yōu)化目標(biāo)位移區(qū)間值最大，最大值為51.328mm，對(duì)應(yīng)參數(shù)值γ、L0、a、b的值分別為：0.749、43.25、101.669、61.667。對(duì)此組優(yōu)化值進(jìn)行修正得：0.75、44、101、62，此修正參數(shù)下系統(tǒng)目標(biāo)位移區(qū)間為：49mm，相對(duì)誤差為：4.5%，符合精度要求，可以使用。

表2 均勻設(shè)計(jì)表

表3 使用表

5.4 對(duì)比優(yōu)化前后結(jié)果

將經(jīng)優(yōu)化后的取值結(jié)果與初選值(初選彈簧剛度比γ=1，傾斜彈簧原長(zhǎng)L0=40mm，隔振平臺(tái)半徑b=70mm, 隔振系統(tǒng)基座半徑a=100mm)比較，初選值對(duì)應(yīng)的目標(biāo)位移區(qū)間長(zhǎng)度為：30mm，經(jīng)修正優(yōu)化后的目標(biāo)位移區(qū)間長(zhǎng)度49mm，增大比例超過60%，優(yōu)化效果明顯。下頁(yè)圖11所示為優(yōu)選方案與初選方案的隔振區(qū)間值曲線，由下頁(yè)圖10可知，經(jīng)均勻設(shè)計(jì)法優(yōu)化后，系統(tǒng)準(zhǔn)零剛度區(qū)間明顯變大，說明低頻隔振性能顯著增強(qiáng)。

表4 終選均勻設(shè)計(jì)表

圖10 優(yōu)化前后無(wú)量綱剛度—位移曲線對(duì)比

6 結(jié)語(yǔ)

(1)本文提出基于并聯(lián)彈簧的準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)，對(duì)該隔振系統(tǒng)進(jìn)行靜力分析，得出系統(tǒng)在平衡位置附近具有準(zhǔn)零剛度的特性，并給出系統(tǒng)在平衡位置處實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度的條件。

(2)對(duì)系統(tǒng)的傾斜彈簧數(shù)量進(jìn)行優(yōu)化，獲得系統(tǒng)具有最大的準(zhǔn)零剛度區(qū)間和最好穩(wěn)定性的傾斜彈簧數(shù)量。

(3)基于均勻優(yōu)化設(shè)計(jì)的適用范圍及本系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，優(yōu)化本準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的參數(shù)。根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)和因素水平，確定均勻設(shè)計(jì)表，試驗(yàn)結(jié)果表明，經(jīng)優(yōu)化后的參數(shù)能使系統(tǒng)獲得更大的準(zhǔn)零剛度區(qū)間，更好的低頻隔振性能。