貝葉斯估計(jì)在靜態(tài)傾角計(jì)算中的應(yīng)用

尹相國(guó)，趙永瑞，姜石錕，王明偉

(中國(guó)石油大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，山東 青島 266580)

在許多應(yīng)用中，如空間飛行器的慣性測(cè)量系統(tǒng)、設(shè)備安裝以及建筑、路面、港口等工程機(jī)械領(lǐng)域都需要進(jìn)行傾角的測(cè)量[1]，在靜態(tài)傾角測(cè)量中，需要對(duì)加速度計(jì)采集到的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理及解算，數(shù)據(jù)處理及解算算法的精密度對(duì)測(cè)量系統(tǒng)的精度起重要作用。

在靜態(tài)環(huán)境中對(duì)多傳感器數(shù)據(jù)進(jìn)行融合計(jì)算，貝葉斯估計(jì)算法是常用手段[2]。近年來，基于貝葉斯估計(jì)處理多傳感器數(shù)據(jù)的方法已經(jīng)有了較深層次的研究，在工程上得到了廣泛的應(yīng)用[3]：陳增瑞等人將該算法應(yīng)用于放入式電子測(cè)壓器準(zhǔn)靜態(tài)校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的處理，增強(qiáng)了測(cè)量結(jié)果的可靠性，使得測(cè)試精度進(jìn)一步提高[3]；張邦成等人將該算法應(yīng)用于軌道車輛Pt100溫度檢測(cè)系統(tǒng)中，有效篩選出發(fā)生故障的傳感器，測(cè)量溫度精準(zhǔn)[4]；譚龍飛等人將該算法應(yīng)用于土壤水含量估計(jì)中，將多傳感器測(cè)試數(shù)據(jù)的貝葉斯估計(jì)融合值與真實(shí)值對(duì)比，證明了貝葉斯理論融合算法估計(jì)值的可靠性[5]。本文提出用貝葉斯估計(jì)算法處理不同傾角計(jì)算方法得到的數(shù)據(jù)，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)對(duì)其優(yōu)化效果進(jìn)行驗(yàn)證。

1 傾角計(jì)算原理及誤差分析

1.1 傾角計(jì)算原理

三軸加速度計(jì)具有三個(gè)相互正交的加速度敏感軸，分別稱為X、Y、Z軸。圖1為傳感器示意圖。

圖1 三軸加速度傳感器示意圖Figure 1 Schematic diagram of triaxial acceleration sensor

傾斜角由三軸加速度傳感器對(duì)重力加速度敏感而獲得。當(dāng)加速度傳感器處于測(cè)量平衡狀態(tài)時(shí)，會(huì)受到重力加速度作用?？紤]加速度傳感器的輸出，與重力加速度的大小和方向建立關(guān)系，可以實(shí)現(xiàn)傾斜角度的測(cè)量[6-7]。通常將加速度傳感器的Z軸垂直于安裝平面，當(dāng)安裝平面與水平面重合時(shí)，Z軸與重力方向相同，重力加速度全部作用于Z軸，Z軸輸出值為重力加速度；當(dāng)安裝平面與水平面存在夾角θ時(shí)，Z軸方向隨之轉(zhuǎn)動(dòng)角度θ，如圖2。

圖2 加速度傳感器安裝示意圖Figure 2 Schematic diagram of acceleration sensor installation

設(shè)Z軸與重力加速度的夾角為θ，則

ZOUT=1g×cosθ。

(1)

式(1)中，ZOUT為Z軸輸出，g為重力加速度，θ為傾斜角度。

因此此時(shí)安裝平面的傾斜角度為

(2)

1.2 誤差分析

1.2.1 靈敏度非線性

根據(jù)前面對(duì)傾角解算算法的分析，可以看出計(jì)算公式中使用的是余弦函數(shù)。對(duì)于余弦函數(shù)，在傾角為0°時(shí)，靈敏度最??；而在傾角為90°時(shí)，靈敏度最大，如圖3。由此可以看出在傳統(tǒng)解算算法中存在靈敏度的非線性[8-9]。當(dāng)靈敏度比較小時(shí)，比較小的加速度計(jì)輸出值變化可計(jì)算達(dá)到比較大的角度變化，誤差相對(duì)較大。

圖3 余弦函數(shù)靈敏度變化Figure 3 Sensitivity changes of cosine function

1.2.2 噪聲

在測(cè)量過程中，一方面系統(tǒng)會(huì)受到來自外界的振動(dòng)等干擾，稱為機(jī)械噪聲；另一方面電路中電子元器件的本體噪聲引入到系統(tǒng)中，稱為電子噪聲，使測(cè)量結(jié)果存在誤差。通過良好的設(shè)計(jì)，在MMA8451中電子噪聲和機(jī)械噪聲都已經(jīng)最小化，并且在MMA8451的DSP中，數(shù)字濾波器可以進(jìn)一步濾除噪聲。

另外在ADC過程中還會(huì)引入量化噪聲。由于MMA8451內(nèi)置過采樣技術(shù)，在實(shí)際應(yīng)用中，可以提高過采樣率，從而提高信噪比，增加有效位數(shù)。

2 基于貝葉斯估計(jì)的融合計(jì)算方法

貝葉斯估計(jì)算法作為數(shù)據(jù)融合計(jì)算的手段之一，為靜態(tài)環(huán)境中的多傳感器數(shù)據(jù)融合提供了一種有效方法。該算法有著嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)，其信息描述為概率分布，能夠較好地處理具有可加高斯噪聲(概率密度函數(shù)服從高斯分布)的不確定數(shù)據(jù)[2]。

假設(shè)xi和xj分別表示第i個(gè)和第j個(gè)傳感器的數(shù)據(jù)，定義置信距離為:

(3)

(4)

式(3)(4)中：pi(x|xi)和pj(x|xj)分別為xi和xj的概率密度曲線；dij為xi對(duì)xj的置信距離；dji為xj對(duì)xi的置信距離。由于Xi和Xj均服從正態(tài)分布，于是有：

(5)

(6)

dij與dji反映了兩個(gè)傳感器之間相互支持的程度，置信距離的值越小，數(shù)據(jù)的支持程度越高。將多傳感器測(cè)量系統(tǒng)中任意兩個(gè)傳感器的置信距離求解并建立置信距離矩陣Dm：

(7)

得到置信距離矩陣后，為劃分置信距離需選擇一個(gè)合適的臨界值，用來判斷兩個(gè)傳感器的輸出數(shù)據(jù)之間的相互支持情況。設(shè)βij為置信距離的臨界值，即認(rèn)定當(dāng)dij≤βij時(shí)認(rèn)為第i個(gè)傳感器的輸出值支持第j個(gè)傳感器的輸出數(shù)據(jù)；反之則認(rèn)定為不支持。定義二值變量表達(dá)式

(8)

將二值變量表達(dá)式代入置信距離矩陣Dm，得到關(guān)系矩陣Zm

(9)

關(guān)系矩陣用以清晰明確的表達(dá)傳感器之間的支持情況。這樣需要選擇第二個(gè)臨界值m。當(dāng)多于m個(gè)傳感器支持某個(gè)傳感器的輸出時(shí)，認(rèn)為其輸出數(shù)據(jù)是有效的。由此依據(jù)關(guān)系矩陣選擇傳感器的輸出結(jié)果，得到l個(gè)有效數(shù)據(jù)作為最佳融合數(shù)。為描述方便，將其表示為(x1，x2，……，xl)。在測(cè)得一組測(cè)量數(shù)據(jù)(x1，x2，……，xl)的條件下，被測(cè)參數(shù)的條件概率密度函數(shù)為

(10)

(11)

(12)

融合結(jié)果為

(13)

用μN(yùn)來表示被測(cè)參數(shù)μ的貝葉斯估計(jì)結(jié)果。

3 應(yīng)用貝葉斯估計(jì)融合數(shù)據(jù)

3.1 三軸加速度計(jì)的傾角計(jì)算方法

對(duì)于三軸加速度計(jì)的傾角計(jì)算，有三種計(jì)算方法：

方法一：根據(jù)Z軸加速度與重力加速度。

根據(jù)Z軸的輸出與重力加速度之間的關(guān)系式，可以計(jì)算出Z軸與重力之間的夾角，即傾斜角θ1，關(guān)系式為

ZOUT=1g×cosθ1。

(14)

方法二：根據(jù)X、Y軸加速度矢量和與重力加速度。

根據(jù)X、Y軸的輸出值，計(jì)算矢量和，然后可以根據(jù)矢量和與重力加速度之間的關(guān)系求出傾斜角θ2，關(guān)系式為

XYOUT=1g×sinθ2。

(15)

式(15)中，XYOUT為X、Y軸輸出值的矢量和。

方法三：根據(jù)X、Y軸加速度矢量和與Z軸加速度。

根據(jù)X、Y軸的輸出值，計(jì)算矢量和，然后可以根據(jù)矢量和與Z軸加速度之間的關(guān)系求出傾斜角θ3，關(guān)系式為

XYOUT=ZOUT×tanθ3。

(16)

3.2 數(shù)據(jù)融合計(jì)算

通過上述分析可以看出，三種計(jì)算方法均存在非線性誤差，但是不同計(jì)算方法的非線性分布不同。所以本文提出方法四，即將前面三種計(jì)算方法的計(jì)算數(shù)據(jù)看作是三個(gè)傳感器對(duì)同一物理量采集到的數(shù)據(jù)，應(yīng)用貝葉斯估計(jì)算法來進(jìn)行數(shù)據(jù)的融合計(jì)算。具體步驟可以總結(jié)如下：首先，應(yīng)用MMA8451的FIFO采集到X、Y、Z軸的連續(xù)輸出值；其次，應(yīng)用三種計(jì)算方法對(duì)傾斜角進(jìn)行計(jì)算，得到多個(gè)θ1、θ2、θ3，分別計(jì)算其均值與方差；再次，對(duì)三個(gè)計(jì)算值進(jìn)行貝葉斯估計(jì)的數(shù)據(jù)融合[4]。

4 試驗(yàn)系統(tǒng)及測(cè)試方案

4.1 硬件系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

為了對(duì)誤差修正后的傾角解算算法進(jìn)行驗(yàn)證，本文搭建了基于KL25Z微控制器和MMA8451三軸加速度傳感器的硬件平臺(tái)；采用C語(yǔ)言編寫算法，實(shí)現(xiàn)嵌入式系統(tǒng)的程序設(shè)計(jì)。圖4為系統(tǒng)框圖。

圖4 傾角測(cè)量系統(tǒng)Figure 4 Inclination measurement system

4.2 測(cè)試方案

為檢驗(yàn)傾角測(cè)量系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，將傾角測(cè)量系統(tǒng)平放在靜止平面上，使用角度校準(zhǔn)裝置測(cè)量其與靜止平面夾角。固定系統(tǒng)開發(fā)板一端，使其在某一軸依次傾斜0°～150°，每間隔10°測(cè)量并記錄一次數(shù)據(jù)。由于靜止平面并非絕對(duì)的零度，因此測(cè)量出的結(jié)果，應(yīng)該都與參考值有個(gè)穩(wěn)定的誤差，即零度偏移，所以數(shù)據(jù)處理時(shí)還要進(jìn)行零度校準(zhǔn)。

選擇置信距離的臨界值為βij=0.8，臨界值m=0。在程序中將三種計(jì)算方法的計(jì)算結(jié)果與貝葉斯估計(jì)的融合結(jié)果同時(shí)輸出到OLED顯示屏上，以利于進(jìn)行對(duì)比。

5 數(shù)據(jù)分析

5.1 試驗(yàn)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)

對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，可以得到誤差分布圖，如圖5。

圖5 不同方案下誤差隨測(cè)量角度變化Figure 5 Error changes with measurement angle under different schemes

對(duì)于不同計(jì)算方法的平均誤差與最大誤差進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，得到數(shù)據(jù)如表1。

表1 不同方案的誤差Table 1 Errors of different schemes (°)

5.2 試驗(yàn)數(shù)據(jù)分析

從圖5可以看出，方法一和方法三在0°到90°變化時(shí)誤差減小，而在90°以后誤差逐漸變大。對(duì)于方法二，在0°到90°變化時(shí)，誤差增大，而在90°以后誤差減小。而方法四也就是數(shù)據(jù)融合方案的誤差分布均勻。同時(shí)綜合圖5和表1可以看出，方法四的誤差值總體較小，融合計(jì)算結(jié)果的平均誤差相比單一計(jì)算方法減小了77%以上。通過數(shù)據(jù)對(duì)比，可以看出，基于貝葉斯估計(jì)的數(shù)據(jù)融合計(jì)算有效解決了靈敏度非線性問題。

6 結(jié) 語(yǔ)

本文通過對(duì)基于三軸加速度計(jì)的傾角解算算法進(jìn)行理論研究，在數(shù)據(jù)噪聲以及靈敏度非線性兩個(gè)方面深入分析。在此基礎(chǔ)上根據(jù)貝葉斯估計(jì)算法的特點(diǎn)提出改進(jìn)方案，同時(shí)搭建以KL25Z及MMA8451為核心的傾角測(cè)量系統(tǒng)，對(duì)改進(jìn)后的算法進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證。試驗(yàn)表明，經(jīng)貝葉斯估計(jì)處理后的測(cè)量結(jié)果與被校準(zhǔn)數(shù)據(jù)的相關(guān)性得到提高，可靠性增強(qiáng)。說明使用該方法進(jìn)一步提高了測(cè)試精度，此方法應(yīng)用于三軸加速度計(jì)傾角計(jì)算數(shù)據(jù)處理的思路合理可行。本文提出的改進(jìn)方案有效提高了傾角測(cè)量精度，為高精度傾角測(cè)量提供了有效理論支撐。