淺談初中數(shù)學(xué)分類討論思想

黃國云

摘要：分類討論思想實(shí)際上是一種化整為零、分別對(duì)待、各個(gè)擊破的思維方式在數(shù)學(xué)解題中的體現(xiàn)。是一種弱化問題，強(qiáng)化條件，以退為進(jìn)的策略，簡化了原問題的難度。

關(guān)鍵詞：分類討論思想;整合突破

在我們所遇到的數(shù)學(xué)問題中，有些問題的結(jié)論不是唯一確定的;有些問題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究;還有些問題的已知量是含參形式給出的，因?yàn)閰?shù)的取值不同必然會(huì)影響問題的結(jié)論。我們將問題分解成幾個(gè)相互獨(dú)立的子問題來處理，最后綜合這些子問題的解答，得到對(duì)整個(gè)原問題的解答。這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想稱之為分類討論思想。分類討論思想是數(shù)學(xué)解題中的一種重要的解題方法，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的思維能力的綜合性、探索性、條理性具有重要的作用。

在教學(xué)過程中，教師可以根據(jù)中學(xué)生邏輯思維的特征，有意識(shí)的對(duì)需要用分類討論思想解決的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w類，對(duì)各類型分類問題進(jìn)行探究，歸納。則有可能突破分類討論這一教學(xué)重難點(diǎn)。筆者在本文中歸納說明幾種常見的分類討論的熱點(diǎn)類型，以供參考。

1 含參變量根據(jù)數(shù)學(xué)定義而進(jìn)行的分類討論

例：若關(guān)于x的方程mx2m-1+（m-1）x-2=0是一元一次方程，則m為 。

分析：根據(jù)一元一次方程的定義，含一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1次的整式方程是一元一次方程。因含參變量m的取值會(huì)導(dǎo)致不同的結(jié)果的產(chǎn)生，因此所求解的問題分三種情況討論：①x的指數(shù)2m-1=1，解得m=1;②x的指數(shù)2m-1=0，解得m=0.5;③未知數(shù)x的系數(shù)m=0。

2 在實(shí)數(shù)的計(jì)算中的分類討論

例：若x2=4則x= ;若| x |=4，則x= 。

在實(shí)數(shù)計(jì)算中，絕對(duì)值，平方根等問題，經(jīng)常要分類討論。

3 因動(dòng)點(diǎn)位置不確定而產(chǎn)生的分類討論

例：如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=12cm ，AC=20cm，點(diǎn)P從頂點(diǎn)A沿AB以3cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CA以5cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)△APQ是等腰三角形時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值。

分析：因雙動(dòng)點(diǎn)P、Q位置不確定產(chǎn)生等腰的三種情況：

①AP=AQ;②當(dāng)QP=QA;③AP=PQ。還可以把原題進(jìn)行如下變式：

變式1：當(dāng)△APQ直角三角形，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值。

變式2：當(dāng)△APQ與△ABC相似時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值。

4 與等腰三角形有關(guān)的分類討論

4.1 與角有關(guān)的分類討論

例：已知等腰三角形中一個(gè)角的度數(shù)為40°，則底角的度數(shù)為 。

分析：在等腰三角形中，無論邊還是頂角、底角不確定的情況下，要分情況

求解：①當(dāng)頂角為40°時(shí)，底角的度數(shù)是70°;②當(dāng)?shù)捉菫?0°時(shí)，頂角的度數(shù)是100°。

4.2 與邊有關(guān)的分類討論

例：等腰三角形一邊長9cm，另一邊長4cm，它的第三邊是多少？

分析：這里的“一邊”可以是等腰三角形的腰，也可以是底。分兩類情況討論：①當(dāng)?shù)诪?時(shí)，三邊長為4，4，9，∵4+4<9，∴不能構(gòu)成三角形;②當(dāng)腰長為9時(shí)，三邊長為9，9，4，滿足三角形三邊關(guān)系，第三邊長為9。

通過這個(gè)問題，進(jìn)一步說明對(duì)分類討論的結(jié)果要根據(jù)相關(guān)的定理，進(jìn)行正確取舍，整合出原問題的答案。

5 與直角三角形有關(guān)的分類討論

例：在直角三角形ABC中，若2AB=AC，則cosC= 。

分析：在直角三角形中，如果沒有指明哪條邊是直角邊、斜邊，這需要根據(jù)實(shí)際情況討論;當(dāng)然，在不知哪個(gè)角是直角時(shí)，有關(guān)角的問題也需要先討論后求解.本題中，較長邊AC可以是直角邊，也可以是斜邊，所以分兩類情況討論。

①當(dāng)AC是直角邊時(shí)，cosC=AC∶BC=2∶

5

;②當(dāng)AC是斜邊時(shí)，cosC=BC：AC= 2：

3

6 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系不確定的分類討論

例：平面上，有一個(gè)點(diǎn)到與已知圓各點(diǎn)所連的所有線段中，最短為6cm，最長為9cm，則該圓的半徑為 。

分析：點(diǎn)在圓內(nèi)，還是點(diǎn)在圓外不明確，所以需要分類討論：①當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在圓外時(shí)，該圓的半徑為（9-6）÷2=1.5cm;②當(dāng)這個(gè)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，該圓的半徑為（9+6） ÷2=7.5cm.故答案為：1.5厘米或7.5厘米.

分類討論是一種數(shù)學(xué)思想，更是一種邏輯思維習(xí)慣，屬于綜合性比較強(qiáng)的問題，難度比較大。想突破分類討論問題難點(diǎn)，需要我們?cè)诮虒W(xué)過程中需要不斷滲透分類討論的思想，循序漸進(jìn)地通過解決一些典型的常見的分類問題中，給學(xué)生足夠思考的空間，抓住圖形的特征及圖形的變換，體會(huì)分類的原因，明確分類的標(biāo)準(zhǔn)，感悟分類基本原則----不重復(fù)，不遺漏。培養(yǎng)正確的分類技巧，并會(huì)對(duì)結(jié)果進(jìn)行合理整合，逐步引導(dǎo)，不斷歸納，才能提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 操斌.循序漸進(jìn)整合突破[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2019（07）.

[2] 殷曼曼.厘清分類，正確討論[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2019.

[3] 陳長明.平面幾何分類討論問題探源[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（下旬），2019（09）.

（作者單位：福建省羅源第三中學(xué)）