計(jì)數(shù)原理與概率復(fù)習(xí)備考專(zhuān)題透視

周冬梅 尹承利

計(jì)數(shù)原理與概率是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是歷年高考命題的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，這部分內(nèi)容通常以實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題為背景，考查數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，也是培養(yǎng)學(xué)生從“解題”到“解決問(wèn)題”能力的良好載體，本文試圖從5個(gè)視角進(jìn)行全方位透視，供教師指導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)備考時(shí)參考。

1命題趨勢(shì)

1.1高考對(duì)計(jì)數(shù)原理的考查主要有兩個(gè)方面：

（1）以選擇、填空題為主，重在考查利用計(jì)數(shù)原理、排列組合知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的邏輯思維能力，并結(jié)合排列、組合數(shù)及概率的求法形成能力型題目。

（2）以選擇、填空題形式考查二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)、二項(xiàng)展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)、賦值法等并延伸一些計(jì)算、證明等問(wèn)題，如二項(xiàng)式定理與不等式證明結(jié)合、楊輝三角的研究等，題目難度不大但具有一定的靈活性，考查方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。

1.2概率與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系非常密切，是歷年高考的一大考點(diǎn)，高考對(duì)這部分內(nèi)容的考查形式與特點(diǎn)主要是：

（1）以選擇、填空題的形式主要考查分布列的性質(zhì)及應(yīng)用、古典概型、幾何概型、互斥事件的概率、條件概率、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的計(jì)算及正態(tài)分布。

（2）解答題中以應(yīng)用問(wèn)題的面目考查概率的計(jì)算，進(jìn)而利用概率得到離散型隨機(jī)變量及其分布列以及求均值和方差，這是高考命題的重點(diǎn)，幾乎每份試卷中都有一道這樣的題目，并常與函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何等知識(shí)交匯，以考查分析和解決問(wèn)題的能力。

（3）把高考內(nèi)容與國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)技術(shù)進(jìn)步、生產(chǎn)生活緊密結(jié)合，通過(guò)設(shè)置真實(shí)問(wèn)題情境考查學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，引導(dǎo)學(xué)生從“解題”走向“解決問(wèn)題”，是高考命題的一大趨勢(shì)，概率應(yīng)用問(wèn)題承載著這一重要“使命”，且難度有增加的趨勢(shì)，在高考命題中，概率應(yīng)用題部分還將數(shù)據(jù)準(zhǔn)備階段的步驟減少，給考生呈現(xiàn)比較規(guī)范的數(shù)據(jù)格式或數(shù)據(jù)的回歸模型，采取“重心后移”的策略，把考查的重點(diǎn)后移到對(duì)數(shù)據(jù)的分析、理解、找規(guī)律，減少?gòu)?fù)雜的運(yùn)算，突出對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的理解和運(yùn)用能力的考查。

2方法規(guī)律

2.1計(jì)數(shù)原理

（1）對(duì)于一些復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題，常借助列表、畫(huà)圖的方法來(lái)幫助分析。

（2）解排列組合應(yīng)用問(wèn)題有如下策略和方法：

對(duì)于無(wú)限制條件的問(wèn)題——直接法：

對(duì)于有限制條件的問(wèn)題：直接法、簡(jiǎn)介法

具體主要有以下題型和方法：

①優(yōu)先排列問(wèn)題：當(dāng)排列中有特殊元素或特殊位置時(shí)，采用“優(yōu)先安排”的策略，以元素為主時(shí)，先滿足特殊元素的要求：以位置為主時(shí)，先滿足特殊位置的要求。

②相鄰排列計(jì)算問(wèn)題：對(duì)于含有某幾個(gè)元素相鄰的排列問(wèn)題，可先將相鄰元素“捆綁”起來(lái)視為一個(gè)元素，與其他元素一起進(jìn)行全排列，然后再對(duì)相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行全排列，這就是處理相鄰問(wèn)題的“捆綁法”。

③互不相鄰排列計(jì)算問(wèn)題：對(duì)于含有某幾個(gè)元素互不相鄰的排列問(wèn)題，可先將其他元素排成一排，然后將不相鄰的元素插入到這些排好元素之間及兩端的空隙中，這就是解決互不相鄰問(wèn)題的最為奏效的“插空法”。

④排列、組合混合計(jì)算問(wèn)題：對(duì)于排列、組合混合應(yīng)用問(wèn)題，常采用“先取后排”的策略求解。

⑤分組分配問(wèn)題：無(wú)次序分組問(wèn)題常有“均勻分組、部分均勻分組、非均勻分組”三種類(lèi)型，計(jì)數(shù)時(shí)常用下面結(jié)論：對(duì)于其中的“均勻分組”和“部分均勻分組”問(wèn)題，只需按“非均勻分組”列式后，再除以均勻分組數(shù)的全排列數(shù)。

（3）解決二項(xiàng)式有關(guān)問(wèn)題的方法有：

①求二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)，一般用通項(xiàng)公式、待定系數(shù)法。

②求解二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)和等問(wèn)題，一般用賦值法。

③證明某些組合恒等式（或求和問(wèn)題）常用構(gòu)造法，構(gòu)造一個(gè)生成相應(yīng)二項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù)或構(gòu)造同一問(wèn)題的不同解法，通過(guò)研究函數(shù)關(guān)系或變更命題來(lái)解決。

④證明不等式，通過(guò)二項(xiàng)式展開(kāi)，根據(jù)命題形式對(duì)展開(kāi)式中的若干項(xiàng)進(jìn)行放縮。

⑤證明整除問(wèn)題或求余數(shù)，應(yīng)先構(gòu)造二項(xiàng)式后再展開(kāi)研究。

2.2概率

（1）計(jì)算概率的常用方法：

①直接法：利用等可能事件的概率公式，

②問(wèn)接法：在求解“至少”、“至多”等事件的概率問(wèn)題時(shí)，若直接求解比較困難時(shí)，可以通過(guò)求這些事件的對(duì)立事件的概率來(lái)求解。

③方程思想：當(dāng)問(wèn)題給出的是隨機(jī)事件概率之間的關(guān)系時(shí)，可將概率看作未知數(shù)建立方程（組）求解。

④分類(lèi)求解：當(dāng)概率問(wèn)題中出現(xiàn)多種不同的情形時(shí)，可對(duì)所求概率的不同情形進(jìn)行分類(lèi)，最后由互斥事件概率和的公式求得結(jié)果。

（2）求隨機(jī)變量概率分布列、均值及方差的方法：

①對(duì)于一般的分布，根據(jù)定義求離散型隨機(jī)變量的均值和方差，其步驟是：1^o確定離散型隨機(jī)變量的取值;2^o寫(xiě)出分布列，并檢查分布列正確與否;3^o求出均值與方差，

②若隨機(jī)變量服從特殊的分布，如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布，如果經(jīng)過(guò)分析，題中的隨機(jī)變量服從以上分布，那么我們只需直接代入公式求其均值、方差即可。

（3）對(duì)于正態(tài)分布問(wèn)題，一般是數(shù)形結(jié)合，利用正態(tài)曲線的性質(zhì)（尤其是對(duì)稱(chēng)性）來(lái)求解。

3考點(diǎn)剖析

3.1計(jì)數(shù)原理與排列、組合

由于計(jì)數(shù)原理與排列、組合的應(yīng)用性概念強(qiáng)、并充滿思辨性和解法多樣性，易于考查考生的能力，所以以實(shí)際應(yīng)用為背景考查兩個(gè)原理、排列、組合或它們的綜合題，是高考命題的重點(diǎn)，主要以選擇、填空題的形式出現(xiàn)，也可與概率結(jié)合出現(xiàn)在解答題中。

例1某校暑假舉行“義教活動(dòng)”，現(xiàn)從6名老師中選派4人分別參加8月9日至8月12日四天的義教值班，若其中甲、乙兩名老師不能參加8月12日的值班，則選派方案共有（）種。

A，336 B，408 C，264 D，240

解析由題意知甲、乙兩名老師不能參加8月12日的值班，可以分不選甲乙，同時(shí)選甲乙，或選甲乙中的一個(gè)。

第一類(lèi)：不選甲乙時(shí)，有A⁴4=24種;

第二類(lèi)：同時(shí)選甲乙時(shí)，甲乙只能從其余三天選兩天，剩下的2天再?gòu)氖Ｏ碌?人選2人即可，有A3²A4²=72種;

第三類(lèi)，選甲乙中的一個(gè)時(shí)，甲或乙只能從其余三天選1天，剩下的3天再?gòu)氖Ｏ碌?人選3人即可，有2A3¹A4³=144種，

根據(jù)分類(lèi)計(jì)數(shù)原理得，24+72+144=240.所以D選項(xiàng)是正確的。

一題多解：先排12號(hào)，有4種選擇，前三天從5位老師中任選3人排列即可得C4¹A5³=4×5×4×3=240.

點(diǎn)評(píng)本題考查兩個(gè)原理與排列組合的綜合應(yīng)用，考查邏輯推理、運(yùn)算能力等數(shù)學(xué)素養(yǎng)，考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力。

例2將2020年師大畢業(yè)的5名大學(xué)生安排到某中學(xué)高一的1、2、3班實(shí)習(xí)，每個(gè)班至少安排1名大學(xué)生，其中甲大學(xué)生不能安排到l班，則不同的安排方案種數(shù)是（）。

A7R R100 C112 D120

點(diǎn)評(píng)本題考查計(jì)數(shù)原理與排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)據(jù)處理能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，考查應(yīng)用意識(shí)。

分組問(wèn)題有完全非均勻分組、完全均勻分組和部分均勻分組三種，完全非均勻分組無(wú)需考慮有重復(fù)現(xiàn)象，利用組合知識(shí)分步求解，完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)都相等，部分均勻分組，部分組的元素個(gè)數(shù)相等，對(duì)于均勻分組（包括完全均勻分組和部分均勻分組）問(wèn)題，求解時(shí)應(yīng)注意不要出現(xiàn)重復(fù)，一般地，n個(gè)不同元素分成m組，若每組內(nèi)元素個(gè)數(shù)相等的有k組，那么分組方法數(shù)為：取法數(shù)除以Ak^k

3.2二項(xiàng)式定理

二項(xiàng)式定理基本上是每年必考內(nèi)容，但屬于容易題，主要以選擇、填空題形式考查展開(kāi)式、通項(xiàng)公式、二項(xiàng)式系數(shù)（或項(xiàng)系數(shù)）、賦值法、楊輝三角的應(yīng)用與研究等方面，同時(shí)關(guān)注二項(xiàng)式定理與不等式證明結(jié)合、楊輝三角的研究等。

點(diǎn)評(píng)本題考查二項(xiàng)式定理求展開(kāi)式特定項(xiàng)的系數(shù)知識(shí)，涉及二項(xiàng)式所有項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1。

3.3概率初步

點(diǎn)評(píng)

本題結(jié)合組合數(shù)公式考查了列舉法在求解古典概型概率中的應(yīng)用，并體現(xiàn)了概率與集合、橢圓方程的交匯應(yīng)用，

3.4條件概率、相互獨(dú)立事件的概率和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

條件概率、相互獨(dú)立事件、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容，在選擇、填空題主要考查概率的計(jì)算，在解答題中重點(diǎn)考查相互獨(dú)立事件及獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率的實(shí)際應(yīng)用，條件概率會(huì)在選擇題或滲透在解答題的一問(wèn)中考查，

例6甲、乙兩人做游戲，甲勝一次的概率為0.75.甲連續(xù)勝兩次的概率為0.6.已知第一次甲勝，則第二次甲也勝的概率為（ ）。

A0.8 B0.75 C0.6 D0.45

點(diǎn)評(píng)

求事件積的概率必須注意事件的獨(dú)立性，運(yùn)用公式P（AB）=P（A）·P（B）時(shí)，一定注意只有當(dāng)A、B相互獨(dú)立時(shí)，公式才成立，

3.5隨機(jī)變量的分布列、均值和方差

隨機(jī)變量的分布列、均值和方差與實(shí)際問(wèn)題的聯(lián)系非常密切，是古典概率的重要應(yīng)用，也是歷年高考的重要考點(diǎn)，有關(guān)隨機(jī)事件概率的計(jì)算是基礎(chǔ)，而求隨機(jī)變量的均值和方差，關(guān)鍵是確定其分布列，尤其是超幾何分布、二項(xiàng)分布是考查的重點(diǎn)，

例8

某校高三年級(jí)共有1000名學(xué)生，將其按專(zhuān)業(yè)發(fā)展取向分成普理、普文、藝體三類(lèi)，下圖是這三類(lèi)的人數(shù)比例示意圖，為開(kāi)展某項(xiàng)調(diào)查，采用分層抽樣的方法從這1000名學(xué)生中抽取一個(gè)容量為10的樣本。

（I）試求出樣本中各個(gè)不同專(zhuān)業(yè)取向的人數(shù);

（Ⅱ）在樣本中隨機(jī)抽取3人，并用ζ表示這3人中專(zhuān)業(yè)取向?yàn)樗圀w的人數(shù)，試求隨機(jī)變量ζ的分布列，

解析（I）由題意，可得該校普理生、普文生、藝體生的人數(shù)比例為2：2：1.所以10人的樣本中普理生、普文生、藝體生的人數(shù)分別為4.4.2.

4易錯(cuò)警示

4.1計(jì)數(shù)原理

（1）在求解排列、組合實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，若不注意區(qū)分是否與與順序有關(guān)，則容易犯排列、組合混淆的錯(cuò)誤。

（2）在求解排列、組合混合應(yīng)用題時(shí)，若審題分析不到位，容易出現(xiàn)重復(fù)或遺漏的錯(cuò)誤情形，在解題時(shí)應(yīng)當(dāng)注意避免，可用不同的方法求解來(lái)獲得檢驗(yàn)，

（3）二項(xiàng)式定理中含有比較多容易混淆的概念：二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)最大與系數(shù)最大、項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)、奇數(shù)項(xiàng)與奇次項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)與偶次項(xiàng)等，以及二項(xiàng)展開(kāi)式中一些相關(guān)的概念，往往容易出現(xiàn)概念混淆，要理解清楚。

4.2概率

（1）計(jì)算概率常出現(xiàn)的錯(cuò)誤有：①混淆基本概念，比如混淆互斥事件與相互獨(dú)立事件、用混其概率公式，弄不清相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)之問(wèn)的關(guān)系，弄錯(cuò)條件概率公式和相互獨(dú)立事件概率公式的轉(zhuǎn)化關(guān)系等：②用錯(cuò)排列、組合公式導(dǎo)致計(jì)算概率出錯(cuò)：③弄混“有放回”與“無(wú)放回”。

5備考建議

5.1對(duì)計(jì)數(shù)原理考查和掌握的重點(diǎn)是基本知識(shí)和基本方法，在復(fù)習(xí)中首先要根據(jù)課本要求，立足基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法的復(fù)習(xí)與落實(shí)，通過(guò)對(duì)典型例題的剖析，構(gòu)建思維模式，總結(jié)解題規(guī)律，進(jìn)而提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

5.2概率（隨機(jī)變量及其分布）從內(nèi)容到方法都是較為獨(dú)特的，復(fù)習(xí)時(shí)，應(yīng)重視對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，注意理解變量的多樣性：要弄清一些基本概念，充分注意一些概念的實(shí)際意義：要把握基本題型，如條件概率、相互獨(dú)立事件的概率、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率，求離散型隨機(jī)變量分布列、均值、方差，正態(tài)分布等，并注意解題步驟規(guī)范性的訓(xùn)練，特別是概率及隨機(jī)變量應(yīng)用題的分析和解答：要理解和運(yùn)用處理問(wèn)題的基本思想方法，如數(shù)學(xué)建模思想、整體思想，以不斷提升處理問(wèn)題的能力。