帶線性紅利的非齊次復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型

韓孟云

(河海大學(xué)理學(xué)院，南京 200098)

風(fēng)險(xiǎn)理論是當(dāng)前精算學(xué)界和數(shù)學(xué)界研究的熱門(mén)課題。自古典的風(fēng)險(xiǎn)模型被提出后，許多研究人員對(duì)此進(jìn)行了推廣，以使其更符合保險(xiǎn)公司的實(shí)際經(jīng)營(yíng)情況。但很多研究只考慮了索賠到達(dá)的復(fù)合齊次泊松過(guò)程，并沒(méi)有考慮資金的時(shí)間價(jià)值以及投資收益等其他資金活動(dòng)的影響，這具有一定的局限性。

近幾年來(lái)，大量文獻(xiàn)對(duì)經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行了研究，并取得了有關(guān)破產(chǎn)概率方面的結(jié)果［1－3］。經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型是假設(shè)保險(xiǎn)公司按照單位時(shí)間常數(shù)速率(每張保單的保費(fèi)為常數(shù)c)，但任何風(fēng)險(xiǎn)事業(yè)都是在隨機(jī)環(huán)境中進(jìn)行的，因此，保費(fèi)收取過(guò)程應(yīng)是一隨機(jī)過(guò)程。文獻(xiàn)［4－6］利用Poisson過(guò)程對(duì)此進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)［7］又把線性紅利因素引入了風(fēng)險(xiǎn)模型。本文在文獻(xiàn)［7］的基礎(chǔ)上把索賠過(guò)程推廣為非齊次復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型，使得模型更貼近實(shí)際。

1 模型的建立

定義1 設(shè) u≥0，給定概率空間(Ω，F(xiàn)，P)，t≥0。令

對(duì)模型(1)作如下假設(shè):

1){Xi，i≥1}，{Yj，j≥1}是均值分別為 λ，μ 的非負(fù)獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，其分布函數(shù)分別為F(x)，H(x)。

2){M(t)，t≥0}，{N(t)，t≥0}分別是參數(shù)為 A(t)、B(t)的非齊次泊松過(guò)程。

3){Xi，i≥1}，{Yj，j≥1}，{M(t)，t≥0}，{N(t)，t≥0}相互獨(dú)立。

定義2 設(shè)定一個(gè)線性紅利界限z=b+qt，其中b為初值(u≤b)，q為遞增速率(0＜q＜ λ2μ2)，只要盈余在紅利界限以下，便不發(fā)放紅利，若盈余在紅利界限以上，每單位時(shí)間發(fā)放λA(t)－q的紅利，直至下一次索賠發(fā)生，于是有如下關(guān)系式:

定義3 保險(xiǎn)公司最終破產(chǎn)概率ψ(a，b)=P{T＜∞，R(0)=u};T=min{t:t≥0且R(t)＜0}表示破產(chǎn)概率。

定義4 令

2 主要結(jié)果

由文獻(xiàn)［2］中式(3.(6.3))可知，只要 ν(z，，t)滿足式(4)，它便為一鞅。

定理1 當(dāng)dR(t)=dS1(t)－dS2(t)時(shí)，滿足式(5)的 ν(z，t)能使 ν(R(t)，t)為一鞅。

由此可知ν(R(t)，t)只要滿足式(5)它便滿足式(4)，就為一鞅。所以在帶線性紅利的非齊次Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型中，要找 ν(z，t)使得 ν(R(t)，t)為一鞅，ν(z，t)只要滿足:

這樣，轉(zhuǎn)而尋找這樣一個(gè)函數(shù)，使得方程(6)所有的z和t皆成立，并滿足

即為滿足式(6)和(8)的ν(z，t)，其中R是方程

的非平凡正解，S為方程

的唯一正解。

3 最終破產(chǎn)概率

定理2 在帶線性紅利的非齊次復(fù)合Poisson過(guò)程下的最終破產(chǎn)概率為

證明 假設(shè)T為破產(chǎn)時(shí)刻，對(duì)固定的時(shí)刻t，可證得TΛt是有界停時(shí)，利用有界停時(shí)定理知，由式(9)所確定的鞅{ν(R(t)，t)}有

將ν代入式(16)即得到式(12)，至此得出了帶線性紅利的非齊次復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率上界。

［1］GRANDEL L J.Aspects of risk theory［M］.New York:Spring-Verlag，1991.

［2］GERBER H U.數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)引論［M］.成世學(xué)，嚴(yán)穎，譯.北京:世界圖書(shū)出版發(fā)行公司，1997.

［3］成世學(xué).破產(chǎn)論研究綜述［J］.數(shù)學(xué)進(jìn)展，2002，31(5):403 －422.

［4］方世祖，羅建華.雙復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)，2006，22(2):271－278.

［5］楊善朝，馬翀，譚激揚(yáng).保費(fèi)隨機(jī)收取的風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2004，21(1):1－5.

［6］鐘朝艷，何樹(shù)紅，黑韶敏.古典模型的一個(gè)推廣［J］.云南民族大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2006，15(1):25－27.

［7］江五元，武坤.帶線性紅利的雙復(fù)合過(guò)程風(fēng)險(xiǎn)模型的破產(chǎn)概率［J］.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，2005，22(3):276－278.

［8］肖碧海.幾類非齊次復(fù)合泊松風(fēng)險(xiǎn)模型的研究［D］.長(zhǎng)沙:中南大學(xué)，2006.

［9］趙金娥，王貴紅，龍瑤，等.線性紅利下帶干擾的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型［J］.重慶理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2010(3):115－120.