巧用面積法突破幾何題

覃秀芬

[摘要]面積法是幾何中較為特殊的思想方法，該方法可用于解決一些與線段相關(guān)的幾何問(wèn)題，探討面積法的解題思路及技巧，可以提高學(xué)生的解題能力。

[關(guān)鍵詞]面積法，幾何題，轉(zhuǎn)化

[中圖分類號(hào)]G633.6[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2020）11-0014-02

面積法是利用面積之間的相互轉(zhuǎn)化或利用面積與邊、角之間的關(guān)系來(lái)求解的一種方法，面積法在幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用，

一、用面積法求線段長(zhǎng)

面積法可用于求線段長(zhǎng)，求解時(shí)一般結(jié)合題干信息采用兩種思路：一是若圖形的面積已知，則可以結(jié)合面積公式直接轉(zhuǎn)化為關(guān)于線段長(zhǎng)的乘積;二是若圖形中存在等面積關(guān)系，則可以利用等面積法完成線段乘積關(guān)系構(gòu)建，

[例1]如圖1所示的△ABC為等腰三角形，其中AB=AC=13.BC=10.點(diǎn)D是腰AB上的中點(diǎn)，現(xiàn)過(guò)點(diǎn)D作AC上的垂線，垂足為點(diǎn)E，則線段DE的長(zhǎng)為_(kāi)___，

分析：題干表明點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，若過(guò)點(diǎn)B再作AC的垂線，令垂足為點(diǎn)F，則DE就為△ABF的中位線，DE長(zhǎng)就為BF長(zhǎng)的一半，此時(shí)可利用面積法求出BF的長(zhǎng)，

評(píng)析：上述面積法用到了等量轉(zhuǎn)化思想，該面積模型構(gòu)建的思路是建立在對(duì)幾何三角形面積模型的充分認(rèn)識(shí)上，也是等面積求線段長(zhǎng)的常用方式，

二、用面積法證明線段和差問(wèn)題

[例2]如圖3所示，△ABC為等邊三角形，設(shè)h表示其中一邊上的高，已知點(diǎn)P為三角形內(nèi)的任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)P作三角形三邊上的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、E、F試證明：PE+PF+PD=h。

分析：過(guò)點(diǎn)P作了三條垂線，若連接PA、PB、PC，則可以將△ABC分割為三個(gè)小的三角形：△APC、△APB和△BPC，三個(gè)小三角形的面積和等于△ABC的面積，

三、用面積法證明定理

幾何定理和公式之間存在一定的關(guān)聯(lián)，實(shí)際上也可以用面積法與角平分線判定定理之間的關(guān)聯(lián)完成相關(guān)問(wèn)題解答，

[例3]如圖4所示的△ABM中，AE和BD分別是底邊BM和AM上的高，AE與BD相交于點(diǎn)C，已知AE=BE，且BD是∠ABM的角平分線，試證明∠BDE=∠MDE

分析：證明∠BDE=∠MDE就是證明ED是∠BDM的平分線，根據(jù)角平分線的判定定理可知，只需要證明點(diǎn)E到角兩邊的距離相等即可，

四、用面積法求最值

求最值是平面幾何常見(jiàn)的問(wèn)題類型，對(duì)于一些線段、面積最值問(wèn)題有時(shí)也可以采用面積法來(lái)求解，

[例4]如圖5所示的等腰△ABC中，已知AB=AC=5.BC=6.點(diǎn)P是邊AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，試分析線段BP的最小值，

分析：本題看似是幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，但結(jié)合“垂線段最短”知識(shí)可直接確定BP最短時(shí)的情形，即BP是邊AC上的垂線時(shí)就可以滿足條件，△ABC為等腰三角形，題干給出了三邊長(zhǎng)，可以通過(guò)面積法來(lái)求解，

五、用面積法求比例

利用面積法可以構(gòu)建關(guān)于線段長(zhǎng)的比例關(guān)系，因此可以將面積法推廣到求證線段比例問(wèn)題中，

分析：如圖6所示的三條直線為平行關(guān)系，需求證對(duì)應(yīng)的線段比例式，實(shí)際上就是要證明平行線分線段的成比例，證明線段比例式一般有兩種思路：一是構(gòu)建相似三角形，利用相似性質(zhì)完成;二是借用面積法，通過(guò)等面積轉(zhuǎn)化來(lái)完成，本問(wèn)題采用面積法。

評(píng)析：上述在求證比例式時(shí)將等面積作為中介，借用面積公式完成了比例式轉(zhuǎn)化證明，面積法的使用是建立在幾何圖形上的，因此，在求解線段比例問(wèn)題時(shí)首先需要構(gòu)建圖形，然后利用面積關(guān)系來(lái)轉(zhuǎn)化。