勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系*

張永立 ，黃 芳 ，王學(xué)軍 ，范志勇

(1焦作師范高等?？茖W(xué)校 數(shù)學(xué)學(xué)院， 河南 焦作 464000；2山西大學(xué) 計(jì)算機(jī)與信息技術(shù)學(xué)院 ，山西 太原 030000)

黎曼積分[1-2](下文簡稱“R積分”) 和勒貝格積分[3-4](下文簡稱“L積分”)是近代分析數(shù)學(xué)的最基本概念之一，L積分是想克服R積分的一些缺陷，使得微分與積分的運(yùn)算更加完善，但他們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系.Corporation H P[5],Henstock R[6]等分別從不同的角度闡述了這兩種積分的聯(lián)系與區(qū)別. 近年來，國內(nèi)一些學(xué)者也從不同的視角比較了兩種積分的優(yōu)劣[7-10]，那么，僅從函數(shù)的范圍來看，L積分要比R積分廣泛得多，同時(shí)L積分也比R積分優(yōu)越許多，利用L積分來研究R積分的許多概念，可以得到許多更深刻的結(jié)果，提出了R積分本身無法解決的一些問題的理論依據(jù).

本文從積分的定義出發(fā)，對(duì)可積的充要條件、可積函數(shù)的連續(xù)性、積分的可加性、積分極限定理以及兩種積分的區(qū)別與聯(lián)系進(jìn)行了比較，同時(shí)對(duì)魯津定理做了一個(gè)小推論，并證明了該推論，說明了L可積函數(shù)是R可積的條件.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 R積分的定義

設(shè)f(x)在[a,b]上有界，T表示[a,b]上的任一分劃

a=x0

將區(qū)間[a,b]分成n個(gè)小區(qū)間，設(shè)Mi,mi分別是f(x)在每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]上的上、下確界，

則稱f(x)在[a,b]上R可積，記為

1.2 勒貝格積分的定義

設(shè)f(x)是可測(cè)集E?Rq(mE<∞)上的有界勒貝格可測(cè)函數(shù)，對(duì)于可測(cè)集E的任一分劃T={E1,E2,…,En}，記

f(x)在可測(cè)集E上的上、下積分分別為

如果

則稱它為f(x)在E上關(guān)于勒貝格測(cè)度的積分，即L積分，記作

我們知道Dirichler函數(shù)

1.3 兩種積分定義的比較

2 主要的區(qū)別與聯(lián)系

2.1 R可積與L可積的充要條件

定理1 函數(shù)f(x)在[a,b]上的有界函數(shù)，則函數(shù)f(x)在[a,b]上黎曼可積的充要條件是f(x)在[a,b]上不連續(xù)點(diǎn)集構(gòu)成一個(gè)零測(cè)度集.

定理2 設(shè)f(x)是可測(cè)集E?R(m(E)<∞)上的有界函數(shù)，則f(x)在E上勒貝格可積的充要條件是f(x)在E上勒貝格可測(cè).

定理1告訴我們，對(duì)于區(qū)間[a,b]上的有界函數(shù)，其黎曼可積性并非由該函數(shù)在不連續(xù)點(diǎn)處的狀態(tài)所致，而是取決于他的不連續(xù)點(diǎn)集的測(cè)度.

事實(shí)上，對(duì)于僅僅在所有的無理點(diǎn)是連續(xù)，但在所有的有理點(diǎn)不連續(xù)的黎曼函數(shù)

同時(shí)，定理2表明對(duì)于Rq中測(cè)度有限的可測(cè)集上的有界函數(shù)可測(cè)和勒貝格可積是同一回事.

現(xiàn)在再來看R可積與L可積具有什么樣的性質(zhì).

2.2 可積函數(shù)的連續(xù)性

定理3 設(shè)f(x)是定義在集合E上的連續(xù)R可積函數(shù)，則對(duì)任意的δ>0,存在閉子集Eδ?E，使f(x)在Eδ是連續(xù)函數(shù)，且

m(EEδ)=0.

定理4 設(shè)f(x)是可測(cè)集E上幾乎處處有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意的δ>0,存在閉子集Eδ?E，使f(x)在Eδ是連續(xù)函數(shù)，且

m(EEδ)<δ.

定理3表明，對(duì)于黎曼可積函數(shù)的情形，在集合E?Rn上，若有界函數(shù)f(x)最多有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則函數(shù)f(x)為一個(gè)幾乎處處連續(xù)的函數(shù).同時(shí)，如果一個(gè)函數(shù)是幾乎處處連續(xù)的，那么這個(gè)函數(shù)就幾乎處處等于一個(gè)連續(xù)函數(shù)，即是說它也是E?Rn上的可測(cè)函數(shù).

定理4表明，幾乎處處可測(cè)的函數(shù)是“基本上連續(xù)”的函數(shù).

從而由定理3和定理4我們可以知道黎曼可積函數(shù)是幾乎處處連續(xù)，勒貝格可積函數(shù)是“基本上連續(xù)”的函數(shù)，故黎曼可積函數(shù)必是勒貝格可積函數(shù).

2.3 積分的可加性

由于黎曼可積函數(shù)是建立在約當(dāng)測(cè)度的基礎(chǔ)之上，那么由定理5，對(duì)于黎曼可積函數(shù)的情形只有有限可加性.反觀建立在勒貝格測(cè)度之上的勒貝格積分，具有可數(shù)可加性，克服了黎曼積分一些缺陷。

2.4 積分極限定理

定理7 若函數(shù)列{fn(x)}在E上一致收斂，且每一項(xiàng)都連續(xù)，則

定理8 設(shè)

(1){fn(x)}是可測(cè)集E上的可測(cè)函數(shù)列；

(2)|fn(x)|≤F(x)幾乎處處于E，n=1,2,…，且F(x)在E上可積，稱{fn(x)}為F(x)所控制，而F(x)叫做控制函數(shù)；

(3)fn(x)?F(x)，則f(x)在E上可積，且

定理7給出了黎曼積分與極限交換的條件，要求被積函數(shù)必須一致收斂，此條件限制極強(qiáng)，不僅使得條件的檢驗(yàn)不方便，而且運(yùn)算難度大.

定理8表明了勒貝格積分與極限交換的條件，要求存在控制函數(shù)F(x)，且使得|f(x)|

比較定理8和定理9，我們不難發(fā)現(xiàn)黎曼可積的積分與極限的交換條件較為嚴(yán)格，但是勒貝格積分的交換條件較弱，相較而言具有一定優(yōu)越性。

3 結(jié)論

3.1 L積分與R積分的關(guān)系

定理9 設(shè)f(x)在[a,b]上R可積，則它必同時(shí)L可積，且有相同的積分值

另一方面，卻存在有R不可積，但卻L可積的函數(shù)，例如我們已經(jīng)提到過的Dirichler函數(shù)就是R不可積，但它卻是L可積的. 但值得注意的是，我們知道L可積是一種絕對(duì)收斂積分，而R反常積分不一定絕對(duì)收斂，可見L積分是R積分的推廣但卻不是R反常積分的推廣.

那么，具備什么樣性質(zhì)的L可積函數(shù)類是R可積的.我們借助魯津定理來證明如下定理.

定理10 設(shè)E?Rn，f(x)是E上a.e有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意的δ>0，存在閉子集F和Rn上的連續(xù)函數(shù)g(x)，使得：

(1)m({x∈E:f(x)≠g(x)})<δ；

(2)f(x)為F上幾乎處處連續(xù)的函數(shù).

證明 據(jù)魯津定理，f(x)是E上a.e有限的可測(cè)函數(shù)，則對(duì)任意δ>0，存在閉子集Fδ?E與Rn上的連續(xù)函數(shù)g(x)，使得m(EFδ)<δ，且f(x)=g(x)，x∈Fδ,又({x∈E:f(x)≠g(x)})?m(EFδ)，從而：

m({x∈E:f(x)≠g(x)})<δ.

(1)式得證，為了達(dá)到證明(2)式的目的，我們構(gòu)造Rn上的連續(xù)函數(shù)列g(shù)n(x)，使得當(dāng)x∈Fδ時(shí)，有g(shù)n(x)=f(x).所以對(duì)任意的η>0，有

E[|f-gn|≥η]?EFδ，

由此即得

mE[|f-fn|≥η]≤m(EFδ)<δ，

因此

注：1).我們的定理10建立在魯津定理的基礎(chǔ)之上，因此可以看成是魯津定理的推論；

2).我們知道R可積必L可積，但L可積不R可積，定理10給出了L可積函數(shù)是R可積的條件.

3.2 L積分優(yōu)點(diǎn)與R積分的缺點(diǎn)

我們知道，若f(x)是R可積的，則|f(x)|也R可積，但若|f(x)|R可積，那么f(x)不一定R可積，相反，對(duì)于L可積而言,若函數(shù)f(x)在集合E上可測(cè)，函數(shù)f(x)是L可積的充分必要條件是|f(x)|是L可積的.

無論是可積的充要條件、可積函數(shù)的連續(xù)性、可加性、積分極限定理還是二重積分化成累次積分的計(jì)算，黎曼積分的條件都是比較嚴(yán)苛的，運(yùn)算復(fù)雜，條件驗(yàn)證難度大，然而，勒貝格可積條件寬松易于驗(yàn)證，運(yùn)算復(fù)雜度低等特點(diǎn)，同時(shí)黎曼積分中的一些結(jié)論也必須借助于勒貝格積分才能得到，用L積分可以解決R積分中比較困難的問題，這也是我們以后研究的一個(gè)方向.