基于數(shù)學(xué)建模思想的高等數(shù)學(xué)案例教學(xué)研究*

宋長明，張建林

(中原工學(xué)院 理學(xué)院，河南 鄭州 450007)

習(xí)近平總書記在全國教育大會(huì)上指出，培養(yǎng)什么人是教育的首要問題，并強(qiáng)調(diào)要在增強(qiáng)學(xué)生綜合素質(zhì)上下功夫。教育部在《關(guān)于加快建設(shè)高水平本科教育 全面提高人才培養(yǎng)能力的意見》中指出：要堅(jiān)持學(xué)生中心，全面發(fā)展，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和潛能，增強(qiáng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。教育部部長陳寶生提出“要著力推動(dòng)課堂革命”，課堂革命可以看作是大學(xué)數(shù)學(xué)改革的深化，而課堂革命必須落實(shí)在每一門課堂教學(xué)中去才具有現(xiàn)實(shí)意義[1]。因而，有必要在高等數(shù)學(xué)課程中融入數(shù)學(xué)建模思想[2- 4]，將高等數(shù)學(xué)與專業(yè)知識(shí)相結(jié)合，從而改革課堂教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣，提高課堂教學(xué)質(zhì)量，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)、創(chuàng)新能力和實(shí)踐能力[5]，進(jìn)一步提升人才培養(yǎng)質(zhì)量。目前，隨著高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)的興起，加上對于環(huán)境保護(hù)的考慮，對利用高新技術(shù)開發(fā)紡織品，也提出了更高的要求，而紡織學(xué)科與其他工程學(xué)科的聯(lián)系日益緊密，因此進(jìn)一步提升紡織專業(yè)的人才培養(yǎng)質(zhì)量，有利于服務(wù)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展。

一、以紡織科學(xué)與工程專業(yè)為例，看數(shù)學(xué)建模思想

數(shù)學(xué)建模的思想主要體現(xiàn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法解決實(shí)際生活中遇到的問題。對實(shí)際問題進(jìn)行建模的主要思路是：1) 用精煉的數(shù)學(xué)語言把實(shí)際問題化簡為數(shù)學(xué)問題；2)通過建立數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行求解，來獲得相應(yīng)實(shí)際問題的解決方案。以紡織學(xué)科為例，近年來，數(shù)學(xué)建模在紡織科學(xué)與工程研究方面得到了廣泛的應(yīng)用，已經(jīng)成為人們從事生產(chǎn)實(shí)踐的重要手段之一。在紡織配棉方面，將線性規(guī)劃模型用于配棉方案和設(shè)計(jì)洗呢工藝的優(yōu)化，將線性回歸方法用于描述紗線的品質(zhì)與支數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系，將層次分析法用于紡紗工藝配置方案的優(yōu)化，將人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于預(yù)測成紗質(zhì)量[6]；在紡絲設(shè)計(jì)方面，將流體力學(xué)、空氣動(dòng)力學(xué)、氣泡動(dòng)力學(xué)等交匯融合，設(shè)計(jì)新的紡絲工藝——?dú)馀蒽o電紡絲，這成為生產(chǎn)納米纖維的重要方法[7]；根據(jù)紡織品的多孔介質(zhì)特性，采用“平行圓柱孔”結(jié)構(gòu)特征的紡織熱濕傳遞模型，預(yù)測設(shè)計(jì)效果、形狀和功能等[8]；通過研究織物的起毛起球過程的特征模式，并結(jié)合主要的影響因素，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，從而研究織物起球質(zhì)量的變化趨勢[9]；在紡織品紋樣設(shè)計(jì)方面，利用分形數(shù)學(xué)模型，對面料紋理的圖像進(jìn)行分析，進(jìn)一步構(gòu)建新的公式、配制著色方案以及調(diào)整相關(guān)公式參數(shù)，再創(chuàng)作生成分形藝術(shù)品[10]；將微生物對水中污染物降解過程進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，揭示這些生物化學(xué)反應(yīng)的基本規(guī)律，這不僅有助于對污水生物處理原理的深入理解，而且是優(yōu)化設(shè)計(jì)和運(yùn)行條件的有效工具[11]。

高等數(shù)學(xué)作為理工科學(xué)生的重要公共必修課，隨著科技信息技術(shù)的飛速發(fā)展，要求施教者在教學(xué)內(nèi)容和體系上必須有所創(chuàng)新。在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中融入建模思想和方法，對培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和解決實(shí)際問題的能力，以及進(jìn)一步拓展學(xué)生的學(xué)習(xí)思維有著非常重要的意義。然而，在實(shí)際教學(xué)中，融入數(shù)學(xué)建模思想的精髓需要任課教師下一番功夫。原因在于數(shù)學(xué)建模往往與具體的問題和方法緊密相連，如何將實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)原理抽象出來，使得它既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能將與所學(xué)專業(yè)的相關(guān)案例融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，這將成為施教者所面臨的重要問題[12]。

二、基于數(shù)學(xué)建模思想的高等數(shù)學(xué)案例

以實(shí)際問題為導(dǎo)向，尤其是以所學(xué)專業(yè)中的實(shí)際問題為導(dǎo)向，是目前高校教學(xué)改革的一個(gè)重要方向。在對基礎(chǔ)理論知識(shí)的講述中，要積極采用以學(xué)生為主體的啟發(fā)式教學(xué)方式，設(shè)計(jì)一系列問題促使學(xué)生思考，使他們拓展思路[13]。下面以紡織科學(xué)與工程專業(yè)為例，探討將建模思想融入到高等數(shù)學(xué)教學(xué)的案例。

(一)案例一：函數(shù)極限問題

在函數(shù)極限教學(xué)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對函數(shù)極限的概念和求解比較難掌握。高等數(shù)學(xué)課程中在描述函數(shù)極限時(shí)，主要分為兩種情形：一種是自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的變化趨勢，另一種是自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的變化趨勢。對紡織專業(yè)學(xué)生的實(shí)際教學(xué)中，可以選取紡織印染廢水生物處理方面的案例對此部分進(jìn)行分析講解。例如，微生物的生長速度和底物的濃度之間存在下列關(guān)系式[14]：

(1)

其中μ為微生物的生長速度，μmax為微生物的最大生長速度，x為底物的濃度，k為半飽和常數(shù)。當(dāng)x→∞時(shí)，μ→μmax，此時(shí)該反應(yīng)相對于底物是零級反應(yīng)，增加底物濃度不能提高反應(yīng)速度；當(dāng)x→0，μ→0，此時(shí)反應(yīng)相對于底物是一級反應(yīng)，增加底物濃度可以提高反應(yīng)速度。

在實(shí)際教學(xué)中，引入此案例，并結(jié)合圖形，利用專業(yè)術(shù)語數(shù)學(xué)思想來解釋，使學(xué)生了解了函數(shù)的變化趨勢，學(xué)會(huì)了函數(shù)極限的計(jì)算方法，并且體會(huì)解決這類專業(yè)問題時(shí)所用到的極限的思想與精髓。

(二)案例二：定積分問題

在定積分的實(shí)際教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)大多學(xué)生較難掌控，主要體現(xiàn)在不會(huì)應(yīng)用定積分解決實(shí)際問題以及后續(xù)學(xué)習(xí)中不理解多重積分的概念。在對紡織專業(yè)學(xué)生的實(shí)際教學(xué)中，可以選取紡織科學(xué)方面的實(shí)際問題對此部分進(jìn)行分析，具體案例如下：

(水污染問題)某紡織印染工廠排出大量廢水，造成了嚴(yán)重的水污染問題，于是工廠通過減產(chǎn)來控制廢水的排放量。若第t年廢水的排放量為C(t)(為連續(xù)函數(shù))，則該廠在t=0到t=5年間排出的總廢水量是多少？

模型假設(shè)：由于C(t)為連續(xù)函數(shù)，故在很小的時(shí)間區(qū)間上，C(t)可以近似地看做一常量，把區(qū)間[0,5]細(xì)分為n個(gè)小區(qū)間[ti-1,ti]，Δti=ti-ti-1,i=1,2,…,n。

≈10.694

在教學(xué)中，利用此專業(yè)案例，可以使學(xué)生了解定積分在專業(yè)中的應(yīng)用背景，理解定積分“分割、近似、求和、取極限”的重要思想，更能使學(xué)生掌握處理問題的方法，從而更好地把所學(xué)知識(shí)應(yīng)用到專業(yè)問題及實(shí)際問題中。

(三)案例三：微分方程求解問題

在高等數(shù)學(xué)中，微分方程的定義引入是通過幾何及物理學(xué)中的函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系式進(jìn)行的。下面這個(gè)案例是紡織專業(yè)領(lǐng)域中運(yùn)用微分方程解決的一類實(shí)際問題。

設(shè)U(t)為時(shí)刻t時(shí)織物的質(zhì)量，那么織物的瞬時(shí)變化率為

(2)

其中k表示織物上毛羽的抽撥率，如果在t=0時(shí)織物質(zhì)量為U0，則方程(1)的解為U=U0exp(-kt)。對于織物起毛的初始階段，即t→0時(shí)，U→U0，可將U=U0exp(-kt)等價(jià)于U=U0(1-kt)；當(dāng)t→∞時(shí)，U→0。注意到，模型(2)中毛羽的變化率為常數(shù)，然而在現(xiàn)實(shí)生活中毛羽的變化率往往與時(shí)間有關(guān)，從而得到如下的修正模型

(3)

求解得

在教學(xué)中，可通過模型的一步步修正或考慮因素的增多，引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)建模思維來思考專業(yè)問題。通過此案例，學(xué)生不僅了解了微分方程的概念，學(xué)會(huì)了方程的求解方法，了解了指數(shù)函數(shù)的線性近似方法，對提高學(xué)生的專業(yè)學(xué)習(xí)興趣、拓寬學(xué)習(xí)思維模式大有裨益。

三、結(jié)束語

理工科高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中不僅需要教師有數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，還需要教師對數(shù)學(xué)在所教專業(yè)中的應(yīng)用有較為深刻的理解，并對該專業(yè)最新相關(guān)研究成果有所了解。此外，如何結(jié)合不同的專業(yè)特點(diǎn)和要求，在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中選擇合適的教學(xué)內(nèi)容和案例,也是開展數(shù)學(xué)建模的“融入”教學(xué)的一個(gè)重要研究方向[15]。