含運動分岔閉鏈的多運動模式并聯(lián)機構

王 艷， 許 勇， 董 飛， 張強強， 趙傳森

(上海工程技術大學 機械與汽車工程學院， 上海 201620)

運動分岔機構是指通過奇異位形前后，自由度特性(自由度數(shù)目或類型)及相應位形發(fā)生改變的機構[1]。運動分岔機構是新興的可重構機構，可作為變自由度可伸展機構、多軸聯(lián)動多面加工裝備和多步態(tài)靈活移動裝置的運動執(zhí)行機構，無疑具有很高的研究價值和廣闊應用前景[ 2-3]。課題組將機構的特定自由度及其相應位形稱為機構的運動模式。

奇異位形是運動分岔機構不同運動模式間的瞬時轉換位形[4]。通過在奇異位形中引入新的驅動副，運動分岔機構可離開瞬時奇異位形，切換為連續(xù)運動模式[5]。對運動分岔機構來說，奇異位形往往是自由度切換位形，而非需要避免的失控位置[6]。

課題組將運動分岔特性引入到并聯(lián)機構中，提出了新構型的運動分岔并聯(lián)機構。課題組認為，分岔機構在通過瞬時奇異位形前后自由度發(fā)生改變的根源，在于分岔機構支鏈中約束特性(約束螺旋數(shù)量或軸線方向)的改變，因而機構支鏈中必定存在著多個線性相關的約束螺旋，這通常由通過切換驅動副從而實現(xiàn)過約束的分岔閉鏈來實現(xiàn)[7]。所以可認為分岔機構的變自由度特性來自于分岔閉鏈。

目前研究者們已經(jīng)提出了一些運動分岔機構：LI等提出了具有不同schoenflies運動分岔特性的并聯(lián)機構[8];Galletti等提出了許多具有運動分岔特性的機構[9];ZENG等提出了一款4自由度混聯(lián)分岔機構[10]；LEE等提出一種廣義運動分岔機構是運動限定6R機構[11]58；葉偉等利用單環(huán)閉鏈的約束奇異特性提出一系列可重構并聯(lián)機構[12-14]。

課題組提出了一種URRC(萬向節(jié)-轉動副-轉動副-圓柱副)構型的運動分岔閉鏈，具有單自由度整體空間連續(xù)轉動或者單自由度平面連續(xù)運動2種運動模式。以此運動分岔閉鏈為核心單元，構建了具有5自由度和6自由度運動模式的混聯(lián)支鏈，及具有3轉3移、3轉2移、3轉1移和2轉1移共4種運動模式的并聯(lián)機構。基于螺旋理論[15]對分岔閉鏈、混聯(lián)支鏈及并聯(lián)機構的自由度進行了分析，驗證了多運動模式分岔閉鏈、支鏈和并聯(lián)機構構型設計的合理性。

1 運動分岔閉鏈自由度分析

1.1 運動分岔閉鏈奇異位形下瞬時自由度分析

課題組提出的具有運動分岔特性的閉鏈如圖1所示，閉鏈的構型為URRC(萬向節(jié)-轉動副-轉動副-圓柱副)。LEE[11]60所提出的運動限定6R機構由2個轉動副和2個萬向節(jié)連接的4桿組成，該機構可以執(zhí)行平面4桿運動和單軸轉動運動。課題組提出的閉鏈用圓柱副代替了LEE[11]61所述的一個萬向節(jié)，可以執(zhí)行平面曲柄滑塊連續(xù)運動和整體空間連續(xù)轉動。

機架與構件AS在A點通過圓柱副相連，構件AB與構件AS在A點以轉動副連接，構件AB與構件BG在B點以轉動副連接，機架與構件BG在G點通過萬向節(jié)相連，其中構件BG長度為a，AG長度為b，其中A,B,G為運動副形心。

選取圖1中構件AS為輸出構件，該輸出構件右端通過支鏈1(包含轉動螺旋SA1和移動螺旋SA2)，左端通過支鏈2(包含轉動螺旋SA3,SB,SG1和SG2)與機架連接。則支鏈1和支鏈2的運動螺旋分別為:

(1)

(2)

對式(1)和式(2)取反螺旋可得支鏈1和2的約束螺旋為：

(3)

(4)

由(3)和式(4)可得2條支鏈的在奇異位形下的公共約束為：

(5)

因此，奇異位形下的公共約束數(shù)λ=2，機構的階數(shù)d=6-λ=4。奇異位形不存在并聯(lián)冗余約束，由修正的G-K公式可得在奇異位形下閉鏈瞬時自由度為：

(6)

式中：M表示機構的自由度；n表示包含機架的構件數(shù)；g表示運動副的數(shù)；fi為第i個運動副的自由度數(shù);v代表并聯(lián)冗余約束數(shù)。

SB·SG1=sinα·sinβ=0。

(7)

由式(7)看出，α=0且β=0時即為奇異位形；α=0或β=0時為一般位形，且α=0和β=0不能同時存在。

1.2 運動分岔閉鏈模式Ⅰ自由度分析

(8)

(9)

(10)

由式(9)和(10)可得該閉鏈公共約束為0，機構的階d=6。2條支鏈共有6個約束螺旋線性相關其秩為5，存在并聯(lián)冗余約束v=1。在此位形下閉鏈的自由度數(shù)為:

M=6(4-4-1)+6+1=1。

(11)

對式(14)和(15)的約束螺旋系取反螺旋可得構件AS的運動螺旋為

(12)

由式(12)可見,當β=0，α為任意角時，構件AS的自由度為1，運動為繞x軸的連續(xù)運動。如圖2(b)所示，此時閉鏈整體被剛化稱為單自由度整體空間轉動連續(xù)運動模式。

1.3 運動分岔閉鏈模式Ⅱ自由度分析

(13)

式中：(xA,yA,zA)表示A點坐標。

(14)

(15)

由式(14)和(15)可得該閉鏈公共約束為0，機構的階d=6。2條支鏈共有6個約束螺旋線性相關其秩為5，存在并聯(lián)冗余約束v=1。在此位形下閉鏈的自由度數(shù)為

M=6(4-4-1)+6+1=1。

(16)

對式(9)和(10)的約束螺旋系取反螺旋可得構件AS的運動螺旋為:

(17)

由式(17)可見，當α=0，β為任意角時，構件a的自由度為1，運動為沿x軸的平移運動。如圖3(b)所示，此時整個機構稱為單自由度平面運動連續(xù)運動模式。

2 運動分岔混聯(lián)支鏈自由度分析

2.1 混聯(lián)支鏈5自由度模式

(18)

對式(18)運動螺旋求其反螺旋，可得混聯(lián)支鏈的約束螺旋為：

(19)

式中：(xD,yD,zD)表示D點坐標;(xE,yE,zE)表示E點坐標;(xF,yF,zF)表示F點坐標。

如用該混聯(lián)支鏈組裝得到并聯(lián)機構，由式(19)表明，模式Ⅰ時混聯(lián)支鏈對動平臺施加一個約束力線矢，該力線矢與固定坐標系x方向相同且通過球面副所在的F點，此時混聯(lián)支鏈為5自由度模式。

2.2 混聯(lián)支鏈6自由度模式

(20)

由式(20)可見，模式Ⅱ時混聯(lián)支鏈的運動螺旋秩為6，則混聯(lián)支鏈無約束作用于動平臺，混聯(lián)支鏈模式為6自由度模式。

3 運動分岔并聯(lián)機構運動模式自由度分析

如圖6所示，利用3條對稱布置的URRC-RRS混聯(lián)支鏈組裝為運動分岔并聯(lián)機構?；炻?lián)支鏈的運動分岔閉鏈與定平臺相連，混聯(lián)支鏈的球面副與動平臺相連。建立定坐標系o0-x0y0z0于定平臺的幾何中心，x0方向與混聯(lián)支鏈1的機架方向平行，y0垂直于定平臺，z0由右手定則確定。建立動坐標系o1-x1y1z1在動平臺的運動中心，其方向與定坐標系一致。

3.1 3轉3移運動模式

若并聯(lián)機構的3條混聯(lián)支鏈都工作在6自由度模式，此時將無約束作用于動平臺。該運動模式下并聯(lián)機構的自由度為6，可實現(xiàn)圖7所示的3轉3移運動模式。

3.2 3轉2移運動模式

(21)

式中：P1,Q1和R1為常數(shù)。

由式(21)可知，該約束力線矢作用于混聯(lián)支鏈1球面副F1上且與動平臺x1正方向平行，它約束了運動平臺沿x1方向的移動。在該模式下可實現(xiàn)圖8(b)3轉2移運動模式。

3.3 3轉1移運動模式

(22)

式中：Pi,Qi和Ri(i=1,2)為常數(shù)。

3.4 2轉1移運動模式

(23)

式中：Pi,Qi和Ri(i=1,2,3)為常數(shù)。

由式(23)和圖10(b)可知，3個約束力線矢共面、不平行也不匯交一點，它們約束了動平臺沿x1和z1的移動及繞y1的轉動?？梢娫谠撃Ｊ较驴蓪崿F(xiàn)2轉1移運動模式。

4 支鏈輸入副選取合理性分析

根據(jù)輸入選取原理[17]，鎖死所有輸入運動副后，若動平臺約束螺旋的秩為6，則動平臺將失去全部6個自由度，選取合理。鎖死奇異位形下每一支鏈的2個輸入運動副，每一支鏈的機構被剛化，如將混聯(lián)支鏈的定坐標系o-xyz平移至轉動副D的形心，此時混聯(lián)支鏈的運動螺旋為:

(24)

對式(24)取反螺旋得混聯(lián)支鏈的約束螺旋為:

(25)

式中：Δy=yF-yE;Δz=zF-zE。

由式(25)可見，剛化輸入副后，動平臺將受到每條混聯(lián)支鏈2個約束力線矢的作用。一個約束力線矢與定坐標系x軸平行；另一約束力矢平行于構件EF。

在定坐標系下，并聯(lián)機構的約束螺旋為:

(26)

式中：d為定平臺中心o0到等邊三角形各邊的距離。

由式(26)可見，在定坐標系下，動平臺約束螺旋的秩為6。如輸入副被剛化，并聯(lián)機構的動平臺將失去6個自由度，所以輸入方案選取是合理的。

5 結論

1) 課題組提出一種構型為URRC運動分岔閉鏈，閉鏈具有2自由度奇異位形下的瞬時運動，一般位形下有單自由度整體空間連續(xù)轉動或者單自由度平面連續(xù)運動2種互斥運動模式。

2) 將運動分岔閉鏈與5自由度RRS開鏈串聯(lián)得到一種混聯(lián)支鏈。該混聯(lián)支鏈具備2種獨立運動模式，輸入副不同可使得混聯(lián)支鏈在5自由度模式和6自由度模式切換。

3) 利用3條對稱布置的URRC-RRS混聯(lián)支鏈得到運動分岔并聯(lián)機構?；炻?lián)支鏈模式選取不同，運動分岔并聯(lián)機構具有3轉3移、3轉2移、3轉1移和2轉1移4種不同運動模式。