基于邊界分析的最大實體要求和最小實體要求混合設計與標注

徐旭松，吳德輝

(1.江蘇理工學院 機械工程學院，江蘇 常州 213001； 2.浙江省先進制造技術重點實驗室，浙江 杭州 310027; 3.博世電動工具(中國)有限公司，浙江 杭州 310052)

0 引言

Requicha[3]提出以實效邊界為基礎研究含公差信息的CAD幾何模型和計算機輔助公差設計方法。為了將公差標準中的不易操作的語義和圖示形式的公差帶實用化，Jayaraman等[4-5]提出了用于公差描述的實效邊界要求(Virtual Boundary Requirements, VBRs)和狀態(tài)公差(Conditional Tolerances, CTs)的概念。Dantan等[6]在上述構想和理論的基礎上，采用實效邊界來表達產(chǎn)品裝配與功能的狀態(tài)，提出了“體內(nèi)可遷移”的虛擬量規(guī)的概念來約束零件的幾何變動，并以此虛擬量規(guī)來驗證MMR和LMR。Pariel等[7]提出了使用最大實體和最小實體要求的“虛擬配合量規(guī)”的概念模型，并研究出將其運用于尺寸計量的具體算法。Humienny等[8]采用動畫技術，對垂直度和位置度公差標注中的最大實體要求應用于被測要素和基準要素時的公差補償和基準偏移進行了可視化研究。Anselmetti等[9-10]基于實效邊界分析和虛擬量規(guī)研究了最大實體要求和最小實體要求在功能公差設計中的應用和標注，特別是針對復雜裝配節(jié)點公差設計中的應用及復雜曲面的最大實體要求/最小實體要求使用、補充定義、標注方法，完善了GPS標準，并指出最小實體要求在工程中應用未得到充分調(diào)研，其在工程中的價值仍未引起足夠重視和廣泛研究。國內(nèi)學者楊將新等[11]研究了基于最大實體要求和最小實體要求的同軸度公差數(shù)學模型。茅健等[12]將小位移矢量簇引入到公差數(shù)學建模中，系統(tǒng)地研究了軸/孔位置度公差在最大實體要求和最小實體要求下的不同約束條件及相應的位置度公差數(shù)學模型。潘淑清[13-14]探討了相關要求在結構設計中的應用，并對零件采用相關要求的評定方法進行了研究，李麗娟等[15]研究了采用最大實體要求、可逆要求下零件的合理評定方法。吳玉光等[16]研究了對基準要素采用最大實體要求時的幾何要素檢驗方法。黃美發(fā)等[17]研究了被測要素和基準要素使用最大實體要求的M-M同軸度誤差數(shù)學模型及評定方法。

綜上所述，最大實體要求在公差控制中的運用已得到廣泛研究，相對而言，最小實體要求在公差設計中的運用未得到廣泛重視和應用。本文在已有文獻研究的基礎上，以某鉸鏈組件公差設計為例，利用實效邊界分析方法研究最大實體要求和最小實體要求在被測要素和基準要素上的應用及其混合標注。

1 實效狀態(tài)邊界

邊界(Boundary)是由設計給定的具有理想形狀的極限包容面(極限圓柱面或兩平行平面)。該極限包容面的直徑(或距離)稱為邊界尺寸。當最大實體要求或最小實體要求應用于幾何公差規(guī)范時，就形成狀態(tài)公差，此時的公差帶邊界形成實效狀態(tài)邊界(Virtual Condition Boundary, VCB)，零件的實際要素(提取組成要素)不得超出實效狀態(tài)邊界。實效狀態(tài)邊界反映幾何功能要求，其本身就是相對于基準或基準系的一個理想幾何要素，它具備幾何要素的4大特征(大小、形狀、方向、位置)。實效邊界要求有2種類型[4-5,18]：①裝配要求；②材料體積要求。裝配要求是對零件材料增加量的限制；材料體積要求是對零件材料減少量的限制。實效狀態(tài)邊界(VCB)是尺寸公差和幾何公差共同形成的邊界，實際要素(提取組成要素)全部位于裝配要求或材料體積要求的實效邊界之內(nèi)則認為滿足功能要求，零件合格。例如，幾何公差規(guī)范到尺寸要素上、并使用最大實體要求，這將在尺寸要素的實體外部(非材料邊)附近形成一個實效狀態(tài)邊界，即最大實體實效邊界(Maximum Material Virtual Boundary, MMVB)，實際要素不得跨越最大實體實效邊界；而當使用最小實體要求時，將在尺寸要素的實體內(nèi)部(材料邊)建立起一個實效狀態(tài)邊界，即最小實體實效邊界(Least Material Virtual Boundary, LMVB)，實際要素不得跨越最小實體實效邊界[19]。實效狀態(tài)邊界計算見表1。

表1 實效狀態(tài)邊界及計算

最大實體要求(最小實體要求)是指提取組成要素應遵守最大實體實效邊界(最小實體實效邊界)，且局部尺寸應處于極限尺寸之內(nèi)。最大實體要求(最小實體要求)適用于導出要素(中心要素)有幾何公差的綜合要求的情況。最大實體要求和最小實體要求既可用于被測要素，也可用于基準要素。

2 最大實體要求應用于被測要素與公差補償

2.1 最大實體要求應用于被測要素實例分析

如圖1所示的鉸鏈結構組件裝配，它由上板、下板、鉸鏈銷和擋圈組成。裝配過程為：先將上板和下板用螺釘連接，然后插入鉸鏈銷子，最后安裝擋圈。上板和下板之間的定位采用定位面、定位槽和定位孔/銷。圖2和圖3為上板和下板的尺寸與公差標注初步方案。

上板和下板中鉸鏈孔的公差標注SP1/SP3均采用位置度公差控制、公差值相同，由于與鉸鏈銷裝配為間隙裝配，為保證間隙裝配，對被測要素采用最大實體要求。SP1/SP3幾何規(guī)范要求無論該實際鉸鏈孔的尺寸和位置如何變動，應始終確保一空間不得被侵犯，該空間即是孔的最大實體實效邊界。最大實體實效邊界具備2個特點：①該邊界以內(nèi)沒有任何材料；②該邊界與基準的方向和位置關系理想，如圖4所示。

最大實體實效邊界的尺寸用下式計算：

DMMVB=DMMC-t位置度

=φ15.95-0.05=φ15.90。

(1)

式中：DMMVB為鉸鏈孔的MMVB尺寸，DMMC為鉸鏈孔的最大實體尺寸，t位置度為位置度公差。

2.2 公差補償

對于幾何規(guī)范SP1/SP3，當且僅當被測要素(被測孔)處于最大實體狀態(tài)(Maximum Material Condition, MMC)時，被測要素的導出要素(軸線)允許的最大位置度誤差為φ0.05；同時，被測孔的實際直徑須處于最大實體尺寸MMS(φ15.95)和最小實體尺寸LMS(φ16.05)之間。而當被測孔遠離最大實體狀態(tài)時，有額外的公差補償(Bonus Tolerance)產(chǎn)生。位置度公差補償可由下式計算出：

tbonus=Da-DMMC。

(2)

式中：Da為孔的實際尺寸，DMMC為孔的最大實體尺寸。則允許的最大位置度誤差為

t位置度/允許=t位置度+tbonus。

(3)

式中t位置度為幾何公差框格中的位置度公差值。

圖5為幾何規(guī)范SP1的動態(tài)公差示圖，從中可看出，隨著被測孔的實際尺寸變大，允許的位置度公差也隨之變大，從而使零件的合格率提高。

2.3 可裝配性設計

設計鉸鏈銷的尺寸時，要求鉸鏈銷的體外作用尺寸小于等于φ15.90才能保證其100%順利穿過上/下板的鉸鏈孔。因此，鉸鏈銷的直徑可標注成圖6所示，并采用包容要求，此時銷軸的體外作用尺寸不超出φ15.90，滿足裝配要求。

上/下板鉸鏈孔的最大實體實效邊界以內(nèi)可認為是相對基準系的理想位置而存在的一個空間，要使鉸鏈銷能夠同時裝入上/下板鉸鏈孔中，須要求上/下板鉸鏈孔的最大實體實效邊界同軸。此時，理應要求上/下板的定位槽/板或定位孔/銷之間采用“緊配合”來保證上/下板最大實體實效邊界同軸。但是，為了提高在流水線上的裝配成功率，一般在定位槽/板之間或定位孔/銷之間留有裝配間隙，以允許由此間隙來調(diào)整上/下板之間相對位置來保證鉸鏈孔最大實體實效邊界對齊。在考慮“允許利用定位特征之間的間隙來調(diào)整相配件之間的方向或位置”的情形下，圖2和圖3的幾何公差規(guī)范方案需進行調(diào)整。

3 最大實體要求應用于基準要素與基準偏移

3.1 最大實體要求應用于基準要素實例分析

在圖1例中，若上板定位孔與下板定位銷遠離最大實體實效狀態(tài)時，它們之間裝配存在間隙，即上板可在下板上左右移動、晃動。為了放松鉸鏈孔的公差要求，應允許“當上/下板鉸鏈孔的最大實體實效邊界和定位孔C之間的距離偏離理論正確尺寸40時，利用定位孔/銷之間存有的配合間隙，沿X向調(diào)整上/下板的相對位置來使得鉸鏈銷(圖6)裝配成功”，即應對SP1/SP3的基準要素C采用最大實體要求。這種因基準要素(定位特征)之間為間隙配合，允許被測要素的方向或位置有一定偏差的定義稱之為基準偏移(Datum Shift，DS)[20]。基準偏移同樣適用于SP1/SP3幾何規(guī)范中的基準B(定位槽/板)。因此，圖2和圖3中的SP1/SP3幾何規(guī)范更改為圖7所示。

圖2和圖3對定位孔/定位銷C的幾何規(guī)范SP2/SP4中的被測要素采用了最大實體要求，要求定位孔/定位銷C的體內(nèi)存在一個最大實體實效邊界(Datum Maximum Material Virtual Boundary, DMMVB)，邊界尺寸分別為

(4)

以上板為例，根據(jù)ISO5459:2016[21]，被測要素的最大實體實效邊界和基準要素的最大實體實效邊界若滿足以下2個條件：①被測要素的最大實體實效邊界和基準要素的最大實體實效邊界之間保持理想的位置關系(理論正確距離為40)；②被測要素最大實體實效邊界空間和基準要素最大實體實效邊界空間同時不受侵犯，則被測要素的位置度公差要求合格，如圖8所示。

3.2 檢具設計

綜合量規(guī)是邊界的現(xiàn)實“代表”，驗證最大實體實效邊界和DMMVB能否滿足上述2個條件的最常用方法采用檢具(綜合量規(guī))檢測。圖9為一種檢測上板的檢具設計方案示圖，其中檢測銷的基本尺寸為φ15.90(反映被測要素最大實體實效邊界占用的空間)，檢具定位銷的直徑為φ5.54(反映基準要素C的DMMVB占用空間)，檢測銷和檢具定位銷之間的距離為理論正確尺寸40。檢測銷、檢具定位銷及它們之間的距離40均應在檢具精度范圍內(nèi)。檢測流程為：先將上板零件1置于檢具體3上，由其定位面(基準A)、定位板(中心平面為基準B)、定位孔(基準C)定位，再用檢測銷2穿過被測鉸鏈孔4。在檢測過程中，若上板零件的定位孔5和檢具上的定位銷6之間存有間隙，允許上板零件在檢具上晃動來調(diào)整相對位置來使得檢測銷穿過被檢測孔；若檢測銷2能順利通過上板鉸鏈孔4，SP1位置度合格。從圖9可以看出，若上板定位孔的體外作用尺寸增大，配合間隙也增大，上板在檢具上調(diào)整的空間越大，允許上板鉸鏈孔的軸線在X向的距離偏差也就越大。

3.3 基準偏移

基準偏移是零件基準要素與檢具模擬基準之間允許的松動(偏移)，基準偏移放松了被測要素的公差要求。事實上，允許被測要素在X向的超差(X向的基準偏移)和基準要素的體外作用尺寸存在如圖10所示的關系。當基準要素的體外作用尺寸遠離其DMMVB時，被測要素的幾何公差可以獲得來自基準要素(定位孔/銷)的補償DSH/DSS：

(5)

4 基準要素不能應用MMR的情況

4.1 基準要素不能應用MMR實例分析

焊接是汽車白車身制造中最常見的一種裝配工藝，圖11為某汽車鈑金件焊裝現(xiàn)場圖，先將其在工裝上采用“一面兩銷”定位，然后焊接(激光焊或點焊)，同時要求保證焊后相關過孔同軸。盡管所采用的定位孔/銷之間存在裝配間隙，但裝配連接工藝并不允許利用定位特征之間的間隙來調(diào)整相配件之間的方位關系，需要討論此種情形下能否對基準要素(定位孔)應用MMR。

為研究方便，仍以圖1所示鉸鏈組件裝配為例進行分析，其裝配工藝變更為：上板和下板之間仍用A/B/C基準定位，用定位孔/銷對上/下板進行定位后即行點焊，最后插入鉸鏈銷。點焊連接的定位孔/銷在裝配后必然存在間隙，導致上板或下板的鉸鏈孔相對于理想中心出現(xiàn)隨機的軸線錯位，如圖12所示。

4.2 裝配實效邊界的提出

如圖13所示，由于定位孔/銷之間配合間隙δ的存在，上板鉸鏈孔的MMVB隨機左/右移動(假定下板不動)，最終形成了一不被侵犯的無材料公共空間，將該空間的邊界定義為實際裝配實效邊界(Actual Assemble Virtual Boundary，AAVB)。定位孔/銷的配合間隙δ本身也在一定范圍內(nèi)隨機變動，δ越大、AAVB越小。實際裝配實效邊界實際裝配實效邊界尺寸的計算式為：

DAAVB=Dfe-δ。

(6)

式中：Dfe為鉸鏈孔的體外作用尺寸，δ為定位孔/銷之間的配合間隙。

考慮可能對裝配最不利的極限情況，上板出現(xiàn)在左/右極限位置(假定下板不動)，則始終存在一個固定不變的空間不被侵犯，如同最大實體實效邊界形成的原理一樣，鉸鏈孔的最大實體實效邊界隨機平移最終形成一個永遠無材料的最小公共空間，該最小公共空間的邊界定義為最小裝配實效邊界(Minimum Assemble Virtual Boundary，MAVB)。

根據(jù)式(6)，當δ最大、且Dfe處于最小時，實際裝配實效邊界等于最小裝配實效邊界，最小裝配實效邊界分析計算如下：

(1)如圖14所示，上/下板定位孔/定位銷之間的配合間隙δ為：

(7)

而定位孔/銷的體外作用尺寸的計算式為

(8)

由式(7)和式(8)可知，對于一批產(chǎn)品而言，滿足以下條件：

(9)

則δ最大，最大值為

=φ5.63-φ5.45=0.19。

(10)

(2)鉸鏈孔的體外作用尺寸Dfe的最小允許值為DMMVB；

(3)最小裝配實效邊界MAVB的形成如圖15所示，其尺寸為

DMAVB=DMMVB-δmax

=φ15.90-0.19=φ15.71。

(11)

式中：DMMVB為兩個鉸鏈孔的最大實體實效尺寸，δmax為上板定位孔和下板定位銷之間的最大配合間隙。

4.3 可裝配性設計

若要使鉸鏈銷穿過上/下鉸鏈孔，保證裝配互換，鉸鏈銷的體外作用尺寸不得超出上/下板鉸鏈孔的最小裝配實效邊界，即鉸鏈銷的體外作用尺寸不超出φ15.71，才能保證100%不發(fā)生裝配干涉。鉸鏈銷尺寸及公差更改標注如圖16所示。

5 LMR應用于基準要素與基準偏移

5.1 SP1/SP3的優(yōu)化標注

如圖17和圖18所示，其中SP1/SP3標注對被測要素采用最大實體要求，對基準要素B/C則采用最小實體要求，屬MMR和LMR混合標注情形。有3點需要說明：①因SP1/SP3中定位孔/銷(基準C)的作用是裝配定位，起作用的邊界是孔的最大內(nèi)切圓柱/軸的最小外接圓柱，根據(jù)ISO5459:2016[21]，SP1中的C基準附加[X]符號，表示擬合算法采用

5.2 優(yōu)化后的檢具檢測方案

由于對基準要素采用最小實體要求，最小實體要求與最大實體要求的性質(zhì)不同，最小實體要求的臨界邊界是從最小實體狀態(tài)向體內(nèi)方向疊加而形成，這與綜合量規(guī)的檢驗原理不一致。原理上設計不出能夠隨內(nèi)特征尺寸減小或體外要素尺寸增大、允許位置度誤差增大的綜合量規(guī)。但圖17和圖18采用的是體外約束的最小實體要求，它是一種特殊的要求，雖然SP1/SP3基準要素的LMVB在材料內(nèi)部，但仍可采用檢具檢測。

以檢測上板SP1為例，其檢具設計方案如圖19所示，檢具操作方法和常規(guī)檢具操作方法有所區(qū)別：首先將零件置于檢具基座上，使檢具上A基準定位面5和零件的A面緊貼，檢具上的B基準定位板6插入零件B基準槽，檢具上的C基準定位銷4插入零件C基準孔；通常情況下，檢具的定位特征和零件的定位特征之間存有間隙(零件在檢具上可活動)，此時需將零件推向任意極限位置，然后保持零件不動、插入檢測銷，若檢測銷1的工作部分能夠順利通過被測孔，則SP1位置度合格。將零件推向任意極限位置模擬了零件在裝配時(點焊之前)可能出現(xiàn)的極限位置，若在極限位置檢測銷1的工作部分能通過，則在非極限位置檢測銷1的工作部分也能通過，SP1位置度合格。

5.3 基準偏移補償量

圖17和圖18中的SP1/SP3對基準要素C采用最小實體要求，當基準要素C體外作用尺寸遠離LMC時，被測要素的幾何公差可以得到來自基準要素定位孔/軸的偏移補償DSH/DSS：

(12)

式中：DSH表示上板定位孔的基準偏移，DSS為下板定位軸的基準偏移。

基準偏移與基準要素的體外作用尺寸呈現(xiàn)關系如圖20所示。以上板零件標注(圖17)為例，鉸鏈孔的SP1位置度可從基準C得到偏移補償量為：

(13)

5.4 上板鉸鏈孔允許的位置度公差及其合格判據(jù)

上板鉸鏈孔SP1位置度公差對被測要素采用MMR、對基準要素C采用LMR(只討論基準C的基準偏移)。當鉸鏈孔的實際狀態(tài)處于MMC時，允許的位置度為：

=φ0.05+DSH。

(14)

而當鉸鏈孔的實際尺寸遠離最大實體狀態(tài)MMC時，實際允許的位置度有額外的公差補償產(chǎn)生

tBonus=Da-DMMC。

(15)

該額外的位置度公差補償可疊加入式(14)中：

t位置度/允許=t位置度+tBonus+DSH

=t位置度+(Da-DMMC)+DSH

=φ0.05+(Da-DMMC)+DSH。

(16)

根據(jù)式(16)，若鉸鏈孔SP1位置度合格，須滿足以下不等式：

f位置度≤t位置度/允許=φ0.05+

(Da-DMMC)+DSH。

(17)

式(15)～式(17)中：Da為鉸鏈孔的實際尺寸，f位置度為鉸鏈孔的實際位置度誤差。

SP1鉸鏈孔的體外作用尺寸計算式為：

Dfe=Da-f位置度。

(18)

當Da=DMMC、且f位置度=t位置度/允許時，鉸鏈孔合格、Dfe最小，最小值為：

Dfe/min=DMMC-t位置度/允許

=DMMC-[t位置度+(DMMC-DMMC)+DSH]

=DMMC-t位置度-DSH

=DMMVB-DSH。

(19)

因此，鉸鏈孔SP1合格判據(jù)為：

(20)

5.5 驗證裝配實效邊界

圖17和圖18中的SP1/SP3幾何規(guī)范對基準要素C采用最小實體要求，與上一節(jié)采用獨立原則相比，其實際裝配實效邊界AAVB的計算發(fā)生了變化。

根據(jù)式(6)，實際裝配實效邊界的尺寸為：

DAAVB=Dfe-δ

(21)

將不等式(17)代入式(21)，則有：

DAAVB≥Da-[φ0.05+(Da-DMMC)+

(22)

整理得：

(23)

又因DMMVB=DMMC-φ0.05，代入式(23)：

(24)

再整理：

(25)

(26)

結合不等式(25)和式(26)，有

(27)

DAAVB≥DMMVB-δmax。

(28)

由式(11)，DMAVB=DMMVB-δmax，得出：

DAAVB≥DMMVB。

(29)

式(29)表明，當對SP1/SP3中的基準要素C采用最小實體要求時，上/下板裝配形成的裝配實效邊界不小于最小裝配實效邊界(MAVB)，即按圖16制造的鉸鏈銷也能100%順利裝配，不會發(fā)生干涉。但因為基準偏移DS的存在，放松了對鉸鏈孔的位置度公差要求，增加了零件的合格率，從而實現(xiàn)了設計優(yōu)化。

6 結束語

在幾何公差設計時，對被測要素采用最大實體要求可使被測要素的幾何公差可從尺寸公差獲得補償；對基準要素使用最大實體要求可使被測要素的幾何公差帶從基準要素獲得基準偏移補償。而當實際裝配過程中無法利用定位特征的配合間隙來調(diào)整相配件之間的位置或方向時，為防止或減弱因零件錯位而導致的裝配干涉，不應對幾何規(guī)范中的基準要素采用最大實體要求。

本文提出了裝配實效邊界和最小裝配實效邊界的概念，研究了實際裝配實效邊界的形成，指出為了保證裝配互換性，零件的幾何特征(或幾何要素)因裝配而形成的最小裝配實效邊界在任何工況下均不得被超出。若因為裝配工藝的原因導致零件之間的方向和位置無法在裝配過程中進行調(diào)整，對基準要素采用獨立原則不是最優(yōu)設計，設計人員可在權衡零件合格率和檢驗成本之后，再選擇對基準要素采用獨立原則或體外約束的最小實體要求。

鉸鏈組裝配實例中的研究對象為非成組要素，而成組要素的最大實體要求/最小實體要求混合應用與標注需進一步分析和研究。