部分線性模型中的廣義差分混合Liu型估計

葉義琴，李 榮，張筑秋

(貴州民族大學 數(shù)據(jù)科學與信息工程學院，貴陽 550025)

0 引言

在計量經(jīng)濟學的研究中，單一的線性關(guān)系往往不能準確地刻畫自變量與因變量之間的關(guān)系，這個時候若仍用線性回歸模型來擬合研究，顯然模型的解釋度不高.為了更好地刻畫自變量和因變量不是單一線性關(guān)系的情況，針對氣候與電力關(guān)系的研究，Engle等[1]引入了部分線性模型，此后部分線性模型被廣泛研究，如王咪咪等[2]為了研究金融市場中股市交易日的上證指數(shù)數(shù)據(jù)，提出了函數(shù)型部分線性自回歸模型,并用剖面最小二乘方法求解了該模型的參數(shù)估計，這使得部分線性模型的研究不斷深入、不斷豐富.

更進一步，考慮實際問題中往往已有回歸系數(shù)向量的一些經(jīng)驗信息，當經(jīng)驗信息為線性約束時，文獻[10]基于差分的方法，提出廣義差分約束嶺估計.當經(jīng)驗信息為隨機約束時，Akdeniz等[11]給出了廣義差分混合估計、廣義差分加權(quán)混合幾乎無偏兩參數(shù)估計.按上述條件，本文結(jié)合Liu型估計方法和差分估計方法，先定義廣義差分Liu型估計，再提出回歸系數(shù)向量附帶隨機約束的一類新估計，即下文提到的廣義差分混合Liu型估計.

1 估計的提出

帶隨機約束的部分線性模型的一般形式是：

(1)

其中：y為n維的隨機向量，X為n×p的設(shè)計矩陣，f為n維的非參數(shù)函數(shù)向量，ε～N(0,σ2V)為n維的隨機誤差向量，V為已知的正定矩陣，r為q維的隨機向量，H為已知的q×p維的行滿秩矩陣,η～N(0,σ2U)為q維的隨機誤差向量，U為已知的正定矩陣.記f=(f(t1),f(t2),…,f(tn))′，我們假定f存在一階導且一階導函數(shù)有界，ti,i=1,2,…,n滿足0≤ti≤1.同時，假定ε與η不相關(guān).

參考Yatchew的差分方法[6]，對模型(1)中第一式左右兩邊同時左乘差分矩陣D，可得:

Dy=DXβ+Df+Dε,

(2)

其中:

(3)

這里，d0,d1,…,dm表示差分權(quán)重，m表示差分的階數(shù)，式(3)中的d0,d1,…,dm滿足下列條件:

(4)

由于f的一階導數(shù)有界,則式(4)使得式(2)中的Df≈0.

若記yD=Dy,XD=DX,εD=Dε，則帶隨機約束的部分線性模型可簡寫成：

(5)

其中εD～N(0,σ2DVD′).

(6)

則根據(jù)最小二乘法，式(6)的廣義差分最小二乘估計為:

(7)

特別是，當式(7)中的V=I時，可得由Yatchew提出的差分最小二乘估計:

(8)

為了下面討論的方面，更進一步，可將模型(6)和式(1)的第二式化為如下典則形式：

(9)

(10)

要得到該估計，所運用的目標函數(shù)為：

(11)

(12)

對式(12)進行最小化，計算得到廣義差分Liu型估計的定義為：

(13)

現(xiàn)在考慮帶隨機約束的情形.根據(jù)文獻[11]，廣義差分混合估計為：

(14)

要得到該估計，其目標函數(shù)為：

(15)

綜合式(12)和式(15)建立以下目標函數(shù)：

(16)

最小化式(16)，求解得到廣義差分混合Liu型估計：

(17)

通過定義該估計有：

2 估計的優(yōu)良性

(18)

現(xiàn)在計算式(17)可得：

(19)

記ΛH=Λ+J′U-1J,ΛdH=ΛH+dI,ΛkH=ΛH+kI,Λd=Λ+dI,Λk=Λ+kI.

當式(19)中H=0,k=d時，可得到式(10)的MSEM為

(20)

當式(19)中k=d時，可得到公式(14)的MSEM為：

(21)

當式(19)中H=0時，可得到式(13)的MSEM為：

(22)

于是經(jīng)過計算之后得到如下定理：

下面分別證明定理1、2、3.

證明將式(21)和式(19)作差得：

(23)

由于(Λ+J′U-1J)-1=Λ-1-Λ-1J′(U+JΛ-1J′)-1JΛ-1，結(jié)合式(20)、(21)，有：

(24)

對于式(19)等同于：

(25)

故定理3得證.

注當k=1時，在模型(1)的形式下，定理1～3和Wu[14]提出的廣義差分混合Liu估計中的定理相符.

3 數(shù)值模擬

為了知道估計的優(yōu)良性，本節(jié)通過對估計的均方誤差MSE(MSE=tr(MSEM))進行具體的數(shù)據(jù)分析，數(shù)據(jù)來源于文獻[14].

帶隨機約束的部分線性模型為：

解釋變量xij可通過文獻[15]的方法產(chǎn)生，方法如下：

其中的zij表示獨立標準正太偽隨機數(shù)，指定γ使得任意兩個解釋變量之間的相關(guān)性給定為γ2.對于非參數(shù)函數(shù)：f(ti)=1+4(e-550(ti-0.2)2+e-200(ti-0.5)2+e-950(ti-0.8)2)；對于V,H,U分別為:

取n=100,γ=0.9,0.99,0.999.當p=4時，與估計相關(guān)的差分矩陣為:

表1 當n=100、σ2=0.10、γ=0.9時，估計的MSETab.1 MSE of estimators when n=100,σ2=0.1,γ=0.9

表2 當n=100、σ2=0.10、γ=0.99時，估計的MSETab.2 MSE of estimators when n=100,σ2=0.1,γ=0.99

表3 當n=100、σ2=0.10、γ=0.999時，估計的MSETab.3 MSE of estimators when n=100,σ2=0.1,γ=0.999

由表1～3可知：

4 結(jié)語

針對部分線性模型帶隨機約束的有偏估計問題，首先定義廣義差分Liu型估計并提出廣義差分混合Liu型估計.其次，在均方誤差矩陣意義下討論了所提出估計的優(yōu)良性.最后，進行模擬實驗并發(fā)現(xiàn)：提出的新估計廣義差分混合Liu型估計在均方誤差準則下優(yōu)于廣義差分最小二乘估計、廣義差分Liu型估計、廣義差分混合估計,從而表明新估計能處理模型存在復共線性的問題并消除隨機誤差相關(guān)的影響.