弱導(dǎo)數(shù)與弱解的一個(gè)注記

王 躍,索洪敏,吳徳科，彭林艷,蔡梅梅

(1.貴州民族大學(xué) 數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院,貴陽(yáng) 550025；2.貴州大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴陽(yáng) 550025；3.遵義師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,貴州 遵義 563002)

0 引言

格林公式在數(shù)學(xué)工程物理等相關(guān)專業(yè)中為人們所熟知.然而當(dāng)在一維空間中，格林公式又叫做分部積分法，在涉及到定積分的問(wèn)題中，分部積分法扮演著不可或缺的角色，給各種復(fù)雜的積分計(jì)算帶來(lái)便利.在定義區(qū)間上任意給出兩個(gè)連續(xù)函數(shù)u(x)與v(x)，那么根據(jù)分部積分法就有如此下的結(jié)果：

引理1和引理2可以在相關(guān)的《數(shù)學(xué)分析》[1]教材中找到.更一般地，由于定積分描述的是積分函數(shù)圖形與坐標(biāo)軸以及邊界所圍成的測(cè)度，因此對(duì)任意區(qū)間，可以進(jìn)行相關(guān)的推廣，亦即如果u(x)與v(x)均具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則其中與[u(x)v(x)]|Ω這三者的值可能會(huì)出現(xiàn)無(wú)窮大的情形，而如果其中兩個(gè)的值有界，則第三個(gè)必然有界.這樣就可以將閉區(qū)間推廣到開(kāi)區(qū)間甚至整個(gè)實(shí)數(shù)軸上.這在Sobolev空間D1,2(rN)便有所體現(xiàn).

引理3至引理5所給出的結(jié)果稱為格林公式.不難看出，格林公式已經(jīng)包含了分部積分法.在上述所給出的式子中，所涉及的導(dǎo)數(shù)均比較強(qiáng)，因此，在某些問(wèn)題的計(jì)算中，研究者們對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念進(jìn)行擴(kuò)充，定義了弱導(dǎo)數(shù).顧名思義，弱導(dǎo)數(shù)比實(shí)際導(dǎo)數(shù)要少一些性質(zhì).文獻(xiàn)[2]給我們提供了弱導(dǎo)數(shù)的定義動(dòng)機(jī)：

(1)

這是因?yàn)樵诙x域上函數(shù)φ(x)具有緊湊性，從而使得邊界上的值已經(jīng)消失為零，以至于沒(méi)有了邊界項(xiàng).而更一般地，假設(shè)k是一個(gè)正整數(shù)，函數(shù)u∈Ck(Ω)，重指標(biāo)α=(α1,…,αN)的階為|α|=α1+…+αN=k，那么對(duì)任意的有:

(2)

1 弱導(dǎo)數(shù)的注記

本文的主要注記立足于弱導(dǎo)數(shù)的定義及其性質(zhì)，同時(shí)也需要給出已有的一些性質(zhì).

推論2 如果連續(xù)函數(shù)函數(shù)u(x)在上存在α階弱導(dǎo)數(shù)v(x)，那么除去一個(gè)零測(cè)集外v(x)是唯一的.

證明假設(shè)v1(x)和v2(x)都是u(x)在上存在α階弱導(dǎo)數(shù)v(x)，那么對(duì)任意的有:

注記1 有界域上的連續(xù)函數(shù)都存在弱導(dǎo)數(shù).

證明在有界域上的連續(xù)函數(shù)必然一階H?lder連續(xù)，因此根據(jù)性質(zhì)1可知必然存在弱導(dǎo)數(shù).

推論3 無(wú)界域上在無(wú)窮遠(yuǎn)處具有零漸進(jìn)性的連續(xù)函數(shù)都存在弱導(dǎo)數(shù).

注記2 不連續(xù)函數(shù)不一定存在弱導(dǎo)數(shù).

(3)

0≤φn(x)≤1，φn(1)=1，且當(dāng)x≠1時(shí)φn(x)→0.

2 邊值問(wèn)題弱解的偏導(dǎo)數(shù)不一定連續(xù)

設(shè)Ω?rN是具有光滑邊界的區(qū)域，考慮邊值問(wèn)題:

(4)

(5)

注記3 考慮邊值問(wèn)題弱解的存在性時(shí)，通常意義下的弱解不一定具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).對(duì)同一變量的二階弱導(dǎo)數(shù)之和滿足問(wèn)題右端的限定條件時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)也不一定是弱解.

證明為了說(shuō)明以上結(jié)論，要用到相關(guān)的例子，在實(shí)際問(wèn)題中只要獲得不一定具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，問(wèn)題便可迎刃而解.不妨在區(qū)間Ω=[0,2]上考慮問(wèn)題(4)，如果f(x,u)≡0，則原問(wèn)題變成:

(6)

直接可以驗(yàn)證u(x)=sin(πx)是方程(6)的解.另外，考慮函數(shù):

顯然u(x)在[0,2]上是連續(xù)函數(shù)且u(0)=u(2)=0，下證v(x)是u(x)的弱導(dǎo)數(shù)并且u(x)是問(wèn)題(6)的弱解.

從而證明了u(x)是問(wèn)題(6)的弱解.

3 邊值問(wèn)題弱解的多重性

命題1 在具有光滑邊界的區(qū)域上考慮如下邊值問(wèn)題弱解的多重性問(wèn)題：

(7)

從而u±(x)=u+(x)+u-(x)也是問(wèn)題(7)的非平凡弱解并且是變號(hào)解.

例3 考慮如下問(wèn)題多重弱解的存在性：

(8)

例4 設(shè)λ>0,2

(9)

例5 對(duì)具有對(duì)稱性的邊值問(wèn)題而言，如文獻(xiàn)[10]在Neumann邊值條件下考慮問(wèn)題(4)，通過(guò)建立等價(jià)模來(lái)獲得弱解存在的充要條件；文獻(xiàn)[11]考慮量子效應(yīng)Zakharov方程iut+uxx+u|u|p=h2(uxxxx-u(u2)xx)的初邊值問(wèn)題，獲得整體弱解u(x,t)的存在性，如果滿足命題1的假設(shè)，則同樣可以得出多個(gè)弱解的存在性.

推論4 如果在問(wèn)題(4)中f(x,u)關(guān)于u是奇函數(shù)，那么當(dāng)它有一個(gè)變號(hào)解時(shí)必然還有另外三個(gè)解.

4 結(jié)語(yǔ)

本文主要通過(guò)例子說(shuō)明變分問(wèn)題的弱解不一定具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所有的推導(dǎo)嚴(yán)格按照定義進(jìn)行，不僅有助于怎樣去理解和區(qū)分古典解與弱解之間的關(guān)系，對(duì)于二階橢圓型問(wèn)題多重弱解的存在性判斷方面也提供了一種可行的方法.