基于傅里葉熱傳導(dǎo)定律[1]關(guān)于高溫工作服裝的設(shè)計(jì)

高藝倩

（三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌443000）

隨著科技的發(fā)展，人們生活水平的提高離不開(kāi)各個(gè)崗位的工作人員的付出。再艱巨的環(huán)境都要完成任務(wù)，比如在高溫環(huán)境中工作時(shí)，人體會(huì)出現(xiàn)一系列的生理功能改變，這些功能在一定范圍內(nèi)可有幅變化，但若超過(guò)限度就會(huì)產(chǎn)生不良影響，所以熱防護(hù)服就成為了防護(hù)高溫的重要方法之一。熱防護(hù)服是指在高溫中穿的促進(jìn)人體散發(fā)熱量的、防止熱中暑、燒灼傷等的具有防護(hù)功能的服裝，除了要有較好的阻燃性，而且要有較高的隔熱性能。其原理是減緩熱量的轉(zhuǎn)移速度，使熱量在人體皮膚上盡少積聚，以保證不被燒灼傷。

1 基于傅里葉熱傳導(dǎo)定律的算法

在dt 時(shí)間內(nèi)，沿著某面積元ds 的外法線的方向流過(guò)的熱量dq→和這個(gè)面積元兩側(cè)的溫度的變化率?u/?n 成正比，兩者的比例系數(shù)為W。由于在自然條件下的溫度是處于減少的趨勢(shì)，故在等式的右邊有個(gè)負(fù)號(hào)，如下所示：

在上述式子中間的W 為導(dǎo)熱系數(shù)（單位為W/m2），e→n是該面積元的外法向量。

在對(duì)于一個(gè)封閉的體積元Ω 的時(shí)候，dt 時(shí)間內(nèi)它內(nèi)部的熱量變化為dQ 通過(guò)對(duì)體積元的閉合面積分，得到以下式子：

得到上述式子之后，再進(jìn)一步地對(duì)時(shí)間進(jìn)行積分，這樣就可以得到從t1到t2時(shí)刻流入體積元內(nèi)部的熱量Q1，再由高斯公式可以的得到以下式子：

我們?cè)诔踔械臅r(shí)候?qū)W過(guò)類(lèi)似的熱力學(xué)公式，為某一物體吸收的熱量等于這個(gè)物體的質(zhì)量、比熱容和溫度增量的乘積。根據(jù)上述熱力學(xué)公式我們可以得到以下公式：

變形得到上述式子之后可以根據(jù)熱量守恒得到化簡(jiǎn)以后的式子：

如果在物體的內(nèi)部是存在熱源的，那么在dt 的時(shí)間內(nèi)，在（x，y，z）地方的體積元內(nèi)所產(chǎn)生的熱量就是F（x，y，z，t），所以同樣地，我們很容易地就得到了含有熱源的熱傳導(dǎo)的Poisson 方程，如下所示：

但卻存在一種情況，就是在邊界絕熱的條件下，如果內(nèi)部有不滅的熱源是沒(méi)有辦法達(dá)到熱平衡的。如此以來(lái)，我們的熱傳導(dǎo)方程便全部都建立起來(lái)了。

三維轉(zhuǎn)一維化思想

在實(shí)際生活中，熱量的傳遞是沿著各個(gè)方向的，但是在解決問(wèn)題的時(shí)候，為方便分析計(jì)算問(wèn)題，就會(huì)將三維的空間轉(zhuǎn)換為一維以后再進(jìn)行分析。

圖1 將三維流動(dòng)過(guò)程一維化

將三維流動(dòng)的過(guò)程一維化思想的核心就是利用等效的方法，直接對(duì)截面進(jìn)行研究，將界面的各個(gè)因素都統(tǒng)一地歸到一個(gè)點(diǎn)的地方，由此得到整個(gè)流體的模型其實(shí)就為線性分布的點(diǎn)集，這樣就能夠由研究點(diǎn)和點(diǎn)之間的關(guān)系而得到整個(gè)為柱形的流體的實(shí)際濕度分布情況了。

經(jīng)過(guò)對(duì)問(wèn)題一的分析后能夠知道，高溫作業(yè)專(zhuān)用服裝（也就是防熱服）的結(jié)構(gòu)有四層，分為Ⅰ層、Ⅱ?qū)印ⅱ髮雍廷魧?，外界的溫度一直?48.15K 不變，服裝的初始溫度為最開(kāi)始的298.15K，高溫工作專(zhuān)用衣服各層材料的溫度會(huì)通過(guò)熱傳導(dǎo)的方式改變溫度。

每個(gè)材料層都有熱傳導(dǎo)率Wi（i=1，2，L，5）。在問(wèn)題一中，需要分析當(dāng)外界溫度傳入擁有四層不同材料的防熱衣的規(guī)律，需要求各個(gè)層的溫度分布[2]。

由于在服裝里面各層的材料是均勻的，所以，將需要分析的熱傳導(dǎo)方程從三維歸為一維的方程來(lái)進(jìn)行研究。所以每層材料都能夠化為一維熱傳導(dǎo)方程，如下所示：

其中，ui為需要求解的第i 個(gè)材料層的溫度分布；Wi、ci、ρi為此層材料的傳熱系數(shù)、比熱和密度，以上幾者都為已知的常數(shù)，并且：

由模型假設(shè)二可知在層與層界面之處的傳導(dǎo)率處于平衡的狀態(tài)，并且溫度相等，即：

以上述分析為基礎(chǔ)，將第Ⅳ層假設(shè)為空氣層（W5是其傳熱系數(shù)）的情況下，所建立的熱傳導(dǎo)微分方程模型為：

當(dāng)i=1，2，3（也就是在分析前三層）的時(shí)候，由于溫差較小，所以不需要考慮到熱對(duì)流的影響。當(dāng)i=4（也就是在第Ⅳ層）的時(shí)候，由于溫差較大所以要考慮到熱對(duì)流的影響。并且在上式中的q 表示的是熱對(duì)流產(chǎn)生的影響。運(yùn)用附件二中測(cè)得的每一秒中的假人皮膚表面的動(dòng)態(tài)溫度作為每一秒皮膚的溫度。

對(duì)于傅里葉熱傳導(dǎo)定律我們采用的是傅里葉變換法[2]，也就是對(duì)方程和初始條件做關(guān)于x 的值取傅里葉的正弦變換，記為：

再次對(duì)上述式子的兩端取傅里葉正弦逆[3]變化，對(duì)于原問(wèn)題的解就如下所示：

2 基于傅里葉熱傳導(dǎo)定律算法的結(jié)果

經(jīng)過(guò)了以上的問(wèn)題分析、模型建立與算法實(shí)現(xiàn)，我們可以得到0.1-15.2mm 每一小段在0-5400s 中每一秒時(shí)間的溫度。在此取每種材料之間的零界點(diǎn)作為例子在下列表格中列舉出來(lái)，在5400s 中以900s 為間隔時(shí)間，取得在7 個(gè)時(shí)間點(diǎn)的溫度，問(wèn)題一具體的結(jié)果如表1 所示。

上面的表格就為問(wèn)題一最終答案中的4 個(gè)節(jié)點(diǎn)在7 個(gè)時(shí)間點(diǎn)的溫度。由表中的數(shù)據(jù)可以知道材料層越靠里，溫度達(dá)到穩(wěn)定需要的時(shí)間就越少、溫度越低、更容易趨于穩(wěn)定。將上述表格中的結(jié)果用圖表的形式表示出來(lái)，如下圖2 所示。

表4 問(wèn)題一結(jié)果表示表

圖2 節(jié)點(diǎn)溫度變化趨勢(shì)折線圖

將上述表格里的數(shù)據(jù)用圖表表示出來(lái)，如上圖所示，當(dāng)時(shí)間為0s 的時(shí)候，服裝內(nèi)部的溫度都為常溫25℃，四條折線分別代表的是四個(gè)節(jié)點(diǎn)，距離越大溫度越低，達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間越小。

將一維熱傳導(dǎo)方程解的圖像擬合出來(lái)，得到溫度、時(shí)間與空間這三者之間的關(guān)系與不同時(shí)間段空間與溫度之間的關(guān)系曲線。擬合出來(lái)的圖像如圖3 所示。

圖像中顏色的漸變代表著溫度的變化，顏色越暖則溫度越高，顏色越冷，則溫度越低。圖像中不同顏色的線代表的是不同的時(shí)間段，曲線越高溫度越高。由上面的圖像能夠得到隨著時(shí)間的增長(zhǎng)溫度增高、隨著厚度的增加溫度降低。

3 基于傅里葉熱傳導(dǎo)定律算法的改進(jìn)

在比較復(fù)雜的物理系統(tǒng)中，為了描述出系統(tǒng)的穩(wěn)定性，我們通常采用微分代數(shù)方程組去實(shí)現(xiàn)，在文中我們給出了某系統(tǒng)的微分代數(shù)方程組，并且運(yùn)用MATLAB 仿真系統(tǒng)，利用文中的局部參數(shù)化的微分變換法，就可對(duì)方程進(jìn)行求解。

在給定的某物理系統(tǒng)的微分代數(shù)方程組，分別將其編號(hào)為1-5，運(yùn)用文中局部的參數(shù)化微分變換法進(jìn)行運(yùn)算，比較在仿真的實(shí)驗(yàn)中的計(jì)算結(jié)果（y1，y2，y3）和文中的方法算出的數(shù)據(jù)結(jié)果（y1，y2，y3）的差異。

利用局部參數(shù)化微分變換法對(duì)文中的5 組微分代數(shù)方程組進(jìn)行計(jì)算，并且將計(jì)算出來(lái)的數(shù)值結(jié)果和仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比后就能夠觀察出每一組的數(shù)據(jù)的誤差肯定是非常的微小，基本上和實(shí)驗(yàn)出來(lái)得到的結(jié)果是一樣的，如果最后算出來(lái)的數(shù)據(jù)是符合誤差范圍的，那么那個(gè)結(jié)果就是有效的。

4 于傅里葉熱傳導(dǎo)定律算法改進(jìn)的效果

圖4 給出的是局部參數(shù)化微分變換法計(jì)算出來(lái)的數(shù)值和仿真實(shí)驗(yàn)中計(jì)算出來(lái)的數(shù)值吻合的程度曲線圖。

圖4 方程組計(jì)算數(shù)吻合率

由圖4 可以觀察出，在比較了用局部參數(shù)化[4]的微分變換法[5]得出的數(shù)據(jù)之和用仿真實(shí)驗(yàn)計(jì)算出來(lái)的數(shù)據(jù)之后，可以觀察到用兩種方法計(jì)算后得到的結(jié)果相符程度幾乎接近95%，則說(shuō)明兩者均為有效方法。

在同樣的情況下運(yùn)用仿真實(shí)驗(yàn)進(jìn)行求解，求解后的結(jié)果如表2 所示。

表2 仿真結(jié)果結(jié)果表示表

上表表示的是由仿真實(shí)驗(yàn)算出的最終結(jié)果，經(jīng)過(guò)對(duì)結(jié)果的分析，同樣地能夠得到當(dāng)厚度為9.2mm 的時(shí)候最先符合題目條件并且保證在符合約束條件的情況中厚度為最薄。

將改進(jìn)之后得到的結(jié)果與之前的局部參數(shù)微分變換法得到的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，得圖5 兩個(gè)對(duì)比圖。

圖5 兩種模型結(jié)果對(duì)比圖

5 結(jié)論

為了最后結(jié)果的準(zhǔn)確性，將逐個(gè)分析厚度為0.1mm 的小段，最初四層的初始溫度都等于室溫。利用傅里葉熱傳導(dǎo)定律將熱傳導(dǎo)轉(zhuǎn)換為方便計(jì)算的方程，再進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算方法為：將接觸外界的小段在0-5400s 中每一秒的溫度求出，將求出的每一秒的溫度當(dāng)作是第二個(gè)小段的最開(kāi)始接觸的溫度，求出第二個(gè)小段在每一秒的溫度，依次類(lèi)推。注意在計(jì)算層與層之間的臨界點(diǎn)的溫度時(shí)需要變換材質(zhì)的密度。由上述計(jì)算方法便可以得到四整層中每個(gè)小段分別在90 分鐘內(nèi)每一秒的溫度分布，最后對(duì)結(jié)果進(jìn)行準(zhǔn)確度檢驗(yàn)。