發(fā)展學生數(shù)學思維之策略談

□蔣依寶

小學數(shù)學的教學內(nèi)容，是小學生數(shù)學思維培養(yǎng)的載體。學生在解決問題時，存儲在頭腦中的知識會被激活，并根據(jù)需要被提取出來，參與到當前的思維活動之中。不同的學生有著不同的認知結(jié)構(gòu)，如果其認知結(jié)構(gòu)的區(qū)分度、清晰度高，就能方便知識的提取。所以，小學數(shù)學教學的一個非常重要的任務就是不斷完善學生的認知結(jié)構(gòu)，優(yōu)化學生的數(shù)學思維活動。教師在教學中要重視思維材料的組織和動態(tài)展現(xiàn)，適配學生的思維過程。

一、合適的過程促學生全程參與

由于結(jié)果性的數(shù)學知識在教材中占有很大的比例，教師如果對教材不做教法的加工處理，直接呈現(xiàn)給學生，就不利于學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。因此，教師應該深入鉆研教材，把“教本”變?yōu)椤皩W本”，把“靜態(tài)”的數(shù)學知識變成“動態(tài)”的數(shù)學教學。如“兩位數(shù)乘法”的教學，教師這樣安排：

1.呈現(xiàn)情境，引出算式。提問：今天是3 月27日，三月有31天，三月有幾小時？

2.問題驅(qū)動，自主探究。①提出挑戰(zhàn)性的問題：31×24 是兩位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法，我們沒有學過，誰能用盡可能多的方法來計算？②組織探究：個體探究→小組交流→班內(nèi)展示。形成多種算法：同數(shù)連加、連乘、兩積之和、兩積之差、列豎式。

3.引導比較，優(yōu)化算法。①從解決問題的角度看，這些算法有何共同點？②從適用范圍、計算是否方便的角度看，哪些算法比較好？

4.溝通聯(lián)系，教學豎式。①比較“兩積之和”與“列豎式”，后者是前者的另一種表示形式，前者是后者的算理。②借助算理，簡化豎式。

教學中教師提供的過程性學習材料發(fā)揮了重要作用，在探索算法的過程中，學生參與度高，組內(nèi)交流基本形成解題方法，班內(nèi)展示產(chǎn)生了多種方法。從反饋情況看，不同學生的算法體現(xiàn)思維的差異性與層次性，通過比較“兩積之和”與“豎式計算”，明白了豎式的算理。學生也由此悟出了解題策略——把“新”問題轉(zhuǎn)化為“舊”問題來解決。

二、合適的材料促學生自主探究

教材為教師提供了“教”材，而學生是探究的主體，所以需將“教”材轉(zhuǎn)化成供學生探索的“學”材。教學中教師要給學生留有時空，讓他們經(jīng)歷探究的過程，使其明白：數(shù)學是如何提出問題的？數(shù)學又是怎樣得到結(jié)論的？如教學“三角形面積”，有教師這樣安排：

1.提供格子圖，初步探究。①呈現(xiàn)方格圖（各類型三角形各1個），提出問題：如果每個小方格的邊長是1厘米，你能求這三個三角形的面積嗎？請把想法畫在圖上，并將算式寫在旁邊。②引導探究：個體探究→小組交流→班內(nèi)展示。反饋交流：數(shù)格法；剪拼法，如何剪拼？擴倍法，為何這樣補？初步得出：三角形面積=底×高÷2。

2.特殊到一般，深入探究。①提問：是否所有三角形都這樣？沒有了格子圖，能驗證嗎？②組織探究，上臺展示。一是說方法和操作過程，說轉(zhuǎn)化的圖形與原三角形的關系；二是重點反饋銳角三角形的各種轉(zhuǎn)化；三是適當借助課件幫助理解；四是找與底對應的高，從而明確面積公式。③比較分析：上面的驗證方法有什么共同特點？（“新”轉(zhuǎn)化為“舊”）在實際操作時往往無法剪拼，怎么辦？（腦中想象）④歸納結(jié)論：對不同材料采用不同操作方法進行驗證，得到同一結(jié)論。

教學中，教師通過創(chuàng)設問題情境，引發(fā)學生“新”“舊”認知的沖突，推動其不斷探索。第一個環(huán)節(jié)，借助格子圖，讓學生初步認識三角形面積計算方法。第二個環(huán)節(jié)，學習材料為任意三角形，從特殊到一般，學生“八仙過海，各顯神通”，上臺展示有話可說。學生活躍的思維，來自教師提供的開放探究型問題。隨著交流的深入，學生取長補短，從群體中獲得自己所需要的信息，形成新認知。

三、合適的問題完善學生的知識表征

許多學生在應用數(shù)學解決問題時感到很茫然，不知道如何運用學到的知識去解決問題。教學材料喪失“活力”使學生的知識逐漸僵化。因此，教師在教學時要讓學生知道知識的來龍去脈，將所學知識與該知識應用的條件聯(lián)結(jié)起來。

如人教版三年級上冊的“歸一問題”：媽媽買3個碗用了18 元。如果買8 個同樣的碗，需要多少錢？大多數(shù)教師這樣教學：先完整地呈現(xiàn)問題，再借助線段圖等直觀手段表征問題，分析數(shù)量關系。但學生中出現(xiàn)了共性問題——為什么要先算出一個碗多少錢？因此，有必要在教學中創(chuàng)設生活情境，以增強知識的“活性”，采用動態(tài)的方式呈現(xiàn)學習材料，讓學生在頭腦中建立起數(shù)學知識與應用問題的聯(lián)系，提高數(shù)學知識在解決問題中的“適用性”。一位教師這樣教學：

師：三年級在下周舉行拍球比賽，我班要預測成績。老師想很快地測算出全班41 個同學在1 分鐘內(nèi)大約能拍幾下，應該怎么做？

生：先測出每個同學1分鐘拍的數(shù)量，再相加。

生：這樣太麻煩。只要測出一個同學1分鐘拍的數(shù)量，再乘41就行了。

生：這樣不準確！因為這個同學可能拍得很快，也可能拍得很慢。

師：請想出一個既快又可靠的辦法。

經(jīng)過討論，一學生建議：先測算出一組同學（5人）1分鐘拍的數(shù)量，算出平均每人拍的數(shù)量，再乘41。

組織拍球后統(tǒng)計數(shù)據(jù)，編出問題：5個同學在1分鐘內(nèi)共拍球150下。照這樣計算，全班41人1分鐘大約能拍幾下？

解題后，教師引導小結(jié)，引發(fā)聯(lián)想：用這種方法推算，能預測并解決日常生活和生產(chǎn)中的許多問題，如……

以上教學，結(jié)合熟悉的情境，動態(tài)呈現(xiàn)學習材料，能讓學生了解數(shù)學知識的實際應用背景，使知識條件化，得出解題思路和方法也就水到渠成了。

四、合適的認知結(jié)構(gòu)促學生思維發(fā)展

在解決問題時，學生要在數(shù)以萬計的知識“聯(lián)系組合”中找出與眼前問題相匹配的“條件”，有一定難度。因此對知識塊再次進行組合，形成一個系統(tǒng)，對學生而言十分必要，學生可借助系統(tǒng)中部分與整體、部分與部分的聯(lián)系提高檢索效率，促進思維發(fā)展。

如“20 以內(nèi)進位加法”這一教學內(nèi)容，教材將36 道計算題分布在不同課時，要求學生在看到或聽到算題后，就能夠脫口而出得數(shù)，分散的學習使學生很難達到要求。但“20以內(nèi)進位加法”是小學數(shù)學知識體系中的子系統(tǒng)，一個系統(tǒng)就是一個整體，任何整體都是由各部分按照其本身所固有的規(guī)律構(gòu)成的。因此，教師可設計一節(jié)復習課，讓這一板塊發(fā)揮整體結(jié)構(gòu)的功能。

1.自主梳理知識：20以內(nèi)進位加法有哪些？你想按怎樣的順序把算式寫在空表內(nèi)？

2.班內(nèi)展示匯報，說出整理的思路。

3.出示下表，引導找規(guī)律，從而溝通聯(lián)系。①從得數(shù)與加數(shù)的比較中找出9 加幾……的規(guī)律。②橫著看、豎著看、斜著看，找出規(guī)律。③從分析數(shù)的奇偶性（單、雙數(shù)）入手，找出規(guī)律。④根據(jù)“兩數(shù)相加，交換位置，得數(shù)不變”的規(guī)律找出得數(shù)相同的式子，去掉重復的，剩下20道。

9+9 8+9 7+9 6+9 5+9 4+9 3+9 2+9 9+8 8+8 7+8 6+8 5+8 4+8 3+8 9+7 8+7 7+7 6+7 5+7 4+7 9+6 8+6 7+6 6+6 5+6 9+5 8+5 7+5 6+5 9+4 8+4 7+4 9+3 8+3 9+2

4.組織練習。一是看算式說得數(shù)，說說是怎么想的，從而強化規(guī)律；二是對易錯的7+6 和7+5 重點練；三是同桌合作練習。

五、合適的策略性知識培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)

教師要重視對學生解決問題策略的指導，使學生具有一定的策略性知識。這種“策略”的教學要結(jié)合具體學習情境有意傳授、訓練，持之以恒，使學生能有意識地運用策略性知識。

一要遵循“由外到內(nèi)”的教學規(guī)律。即先由教師有目的地根據(jù)具體教學情境，引導學生把策略性知識運用到問題解決之中，再激勵學生在類似的情境中應用練習。如當學生在運用割拼轉(zhuǎn)化得出平行四邊形面積公式后，教師要及時提出：把一個圖形轉(zhuǎn)化為與它面積相等的另一個圖形，叫作等積變形，等積變形是一種解決數(shù)學問題的策略，在學習中會經(jīng)常用到，請密切關注。學生掌握了這一策略性知識，在三角形、梯形面積計算的學習中就會自覺地運用。

二要讓學生評價自己所運用的策略的優(yōu)劣，同學之間互相啟發(fā)，逐步完善策略。如“兩位數(shù)乘法”教例中，用多種方法計算31×24后，教師留下時空，引導學生進行比較，從解決問題的角度尋找各種算法的共性，從適用范圍、簡易程度等角度，對所有方法進行評估，優(yōu)化算法。

三要根據(jù)學生年齡特征逐步培養(yǎng)。不同年齡段學生的認知水平是不相同的。各年級問題解決策略的培養(yǎng)要有側(cè)重點，從低年級開始逐步培養(yǎng)，使學生漸漸地感受應用問題解決策略的“好處”。同一策略須在不同年級進行螺旋式應用，以便學生切實掌握。