明理悟法
——運算能力提升的根基

□胡艷霞 曹 艷

在小學階段，有關運算的內容貫穿數學教學始終，這是因為運算能力的培養(yǎng)關系著數學學習的基礎，同時也是對學生邏輯思維以及非智力因素的一種培養(yǎng)。有關運算教學的重難點，每一位教師都會脫口而出，即掌握算法、理解算理。在實際教學中一線教師又是如何處理好算法和算理的關系的呢？筆者結合課堂教學談談如何幫助學生明理悟法，從而培養(yǎng)學生的運算能力。

一、情境中明理悟法

人教版教材中有關計算的教學都安排在情境中，這樣的編排充分體現了數學與生活的密切聯系，同時也能夠借助情境幫助學生理解算理。如教學三年級下冊“口算除法”時，教材創(chuàng)設了平均分手工紙的情境（如圖1）。教師借此幫助學生理解60張紙即60 個一，同時也可以表示6 個一沓即6 個十。學生依據情境就可以進行直觀理解：把6沓紙平均分給3個人，每個人得到2沓紙即20張。也可以用6 捆小棒代替6 沓紙，平均分給3 個人，每人2捆，就是2 個10。而6 沓紙和6 捆小棒雖然實物不同，但背后的道理是相通的。有了對情境的理解、自主的操作，學生再用數學語言表達算理就變得水到渠成了。

圖1

二、經驗中明理悟法

學生在學習相關知識時必會積累一定的經驗，教師在進行計算教學時可充分利用學生的已有經驗來促進學習的遷移。如在學習“小數加減法”之前，學生已經有了整數加減法的經驗：①相同數位對齊。②滿十向前一位進“一”。③從個位加起。對于小數加減法的學習來說，第①、第②條經驗可以遷移；而第③條經驗對于小數來說不再適用。那該從哪兒加起呢？小數加減法怎樣做到“相同數位對齊”呢？教師創(chuàng)設了去新華書店買書的生活情境，以此喚醒學生已有的經驗：小紅買一本故事書花了8.67 元，買一本科技書花了5.9 元，帶15 元夠嗎？學生體會到元和元相加，角和角相加，分和分相加，就是相同數位對齊。只要小數點對齊了，就能滿足相同數位對齊，也就是“8 個1+5 個1；6 個0.1+9個0.1；7個0.01”合起來就是14.57元。

三、操作中明理悟法

在計算教學中教材依據學生的年齡特點呈現了各種學具，如實物原型、直觀模型等，其中直觀模型有小棒、計數器、第納斯方塊、點子圖等。這些直觀學具能夠幫助學生更好地理解算理。然而在實際教學中，有些教師沒有認識到直觀學具的重要性，忽略了直觀學具所發(fā)揮的作用。

例如人教版三年級下冊“筆算除法”的教學，這是學生第一次學習除法豎式，教材呈現的是分小棒的情境，借助分小棒的實際操作，幫助學生理解除法豎式的算理。有位教師是這樣展開教學的。

師：你們能通過畫一畫小棒圖來說明42除以2的算理嗎？

圖2

一學生畫了這樣一張圖（如圖2）。

圖3

師：這名同學是用畫圖的方法得到42除以2等于21 的。除了用畫圖可以得到結果，有的同學還用了列除法豎式計算的方法，我們一起來看看（教師課件呈現圖3）。

師：你們都是這么寫的嗎？

生（答）：是。

師：你們寫的除法豎式跟你們畫的小棒圖的意思一樣嗎？

生：一樣。

執(zhí)教教師認為三年級學生已經能夠通過畫小棒圖理解算理，相對于畫圖，借助學具擺一擺不僅耽誤課上的時間，而且比較麻煩。而筆者認為：由于學生已經學完了口算除法，他們利用口算就可以直接計算出結果。這時讓學生畫圖呈現計算過程，學生更多地還是呈現了結果，沒有把分的過程直觀、形象地呈現出來。而借助小棒呈現分的過程，能幫助學生建立表象，進而讓他們一下子就理解筆算除法的算理以及書寫格式。在與教師溝通之后，我們又重新設計了本節(jié)課，先讓學生獨立筆算，教師呈現學生的各種算法。接著讓學生借助小棒擺一擺，并對比辨析哪種筆算寫法與自己分小棒的過程是一致的。這樣一來，學生借助分小棒的過程真正理解了兩位數除以一位數的算理，并最終形成運算能力。

四、模型中明理悟法

對數學運算法則、運算定律的理解和掌握是培養(yǎng)學生運算能力的基礎，因此在教學中要讓學生充分經歷運算法則、運算定律的形成過程，對運算定律、運算法則有清晰的認識，并能夠靈活運用其解決問題。如人教版四年級下冊第三單元“運算定律”中的乘法分配律是教學的重點也是難點。直到六年級，學生依然在應用上會出現如圖4 中這樣的錯誤。歸結這兩種典型錯誤的原因，都是學生對乘法意義、運算含義理解不清造成的。這不僅說明機械化記憶不能對學習產生深遠的影響，還反映出一部分學生對抽象的意義難以理解。以生活意義為基點、依托具體的數量關系建構的乘法分配律的模型并不能夠讓所有的學生都加以靈活應用。

圖4

在乘法分配律教學時，筆者采用了具有面積模型特征的情境，情境一為實物直觀模型，情境二在情境一的基礎上增加了圖示的作用，使之變成矩陣模型（圖形直觀），情境三是在矩陣模型的基礎上繼續(xù)抽象變成面積模型（圖形直觀）。學生先依次解釋三個直觀圖式情境，依據兩種思路得到兩個算式，再根據算式的意義與計算結果使學生建立起兩個算式之間相等的聯系，從而得到三個形式相同的等式，為第二環(huán)節(jié)發(fā)現規(guī)律做好充分的準備。教師通過多樣化的數學活動，充分調動學生感官，豐富其感性認識，從而幫助學生更容易感知、理解乘法分配律，提高學生的幾何直觀能力，建立模型化思想。把運算從操作的層面提升到思維的層面，這是運算能力發(fā)展的重要內容。

點子圖其實也是一種圖形，它和長方形的作用相同。借助點子圖，可以幫助學生區(qū)分結合律和分配律的本質特征。如教師設計了學生參加運動會入場式表演的情境：同學們要站成15×18的長方形隊形，如果用一個黑點來代表一名學生，站好的隊形就成了點子圖這樣的方陣。學生四人一小組合作，看哪個小組能用盡量多的方法來進行巧算，并把列式計算的想法在點子圖上圈一圈。學生在匯報時一共出現了7種計算方法（見圖5）。結合點子圖與算式各部分之間的聯系，通過交流、觀察、歸納等數學活動，學生感悟到結合律是把數等分成相同的幾組，所以連乘；而分配律是不等分，把數分成幾個不同的塊，所以乘加或者乘減。

圖5

由于在教學中采用了形象化的點子圖，直觀地展示了兩種運算定律的區(qū)別，枯燥的數學知識變得生動有趣，隱秘的特征變得清晰簡明，學生不僅提高了計算的正確率，也喜歡上了數學，同時產生了積極的情感。

在課堂教學中，教師既要依據學生的年齡特點借助直觀學具幫助學生理解算理，還要處理好算理與算法的關系，將算理與算法有機融合，為學生搭起理解的橋梁，這樣學生才能由算理直觀化過渡到算法抽象化，才能在“理”中形成“法”，在“法”中蘊含“理”，理法交融對于提高學生的計算能力具有重要的作用。將“講理”與“明法”有機結合，學生在理解算理的基礎上總結算法，能更深入地理解數學核心概念，更好地實現“培養(yǎng)學生根據法則和運算律正確地進行運算的能力”的目標。