“概念”的生成過程

□郜舒竹

我國(guó)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)的傳統(tǒng)，通常把課程內(nèi)容的教學(xué)分為概念教學(xué)、計(jì)算教學(xué)、解題教學(xué)等。其中的概念通常指的是用某詞匯表達(dá)的對(duì)象或關(guān)系，比如分?jǐn)?shù)概念、比的概念、平行的概念、周長(zhǎng)的概念、面積的概念等?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2011課標(biāo)》）中，類似于此的表述共出現(xiàn)38處。

這樣的表述，表達(dá)的是概念在語(yǔ)言和內(nèi)容方面的意義，是把概念視為前人“既定（Pre-given）”的、寫在教科書里的知識(shí)，處于認(rèn)知主體身外、等待獲取或“被教（Be Taught）”的“對(duì)象（Object）”。

事實(shí)上，“概念”一詞除了這種“外在（External）”的意義，還有“內(nèi)在（Internal）”的、思維的意義。概念是認(rèn)知主體在認(rèn)知過程中逐漸形成的思維形式，是一種生成（Enactive）或建構(gòu)（Construction）。為了把這樣的認(rèn)識(shí)用于數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中學(xué)習(xí)活動(dòng)的設(shè)計(jì)，首先需要梳理這種生成的過程。

一、感知生成意義

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程實(shí)質(zhì)是“認(rèn)知（Cognition）”的過程，自然也是認(rèn)知主體提升認(rèn)知能力的過程。研究認(rèn)知過程的科學(xué)叫作“認(rèn)知科學(xué)（Cognitive Science）”。認(rèn)知過程的起始是“感知（Sensation）”，利用身體上的感覺器官去感覺。在此基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)“知”，也即使得認(rèn)知對(duì)象在人頭腦中“有意義（Sense Making）”。

（一）三個(gè)反例

如果視覺中出現(xiàn)漢字“円”，這個(gè)漢字就是認(rèn)知對(duì)象，如果之前對(duì)這個(gè)漢字毫無(wú)經(jīng)驗(yàn)，此時(shí)通過視覺可以“感覺（Feel）”到這個(gè)漢字的存在。除此之外，對(duì)于這個(gè)漢字的發(fā)音、含義、用途以及與其他漢字的關(guān)系等等，均一無(wú)所知。也就是感覺到其存在的同時(shí)，頭腦中沒有出現(xiàn)任何活動(dòng)（Action in mind）。這種感知的過程，對(duì)于作為認(rèn)知主體的人來(lái)說，就沒有生成意義?？梢苑Q之為“有感無(wú)知”的過程。

再比如，乘坐諸如地鐵等公共交通工具時(shí)，經(jīng)常會(huì)聽到播音通知：“下一站將開啟右側(cè)車門?！甭牭竭@句話，人們?nèi)匀浑y以判斷下一站會(huì)開哪一側(cè)門，雖然有意義，但意義模糊，對(duì)于“右側(cè)”這個(gè)詞匯的感知不清晰。

原因是諸如左、右這樣描述空間位置的詞匯，具有“涉身（Embodied）”的特點(diǎn)，涉身也可以叫作“具身”，意思是“涉及身體”。站在地鐵車廂中，身體面向行駛方向和背向行駛方向，右側(cè)所指的方位是不同的。因此感知過程中生成的意義出現(xiàn)差異，也叫作歧義。雖然有意義，但“意義模糊（Ambiguity）”。

小學(xué)二年級(jí)學(xué)生剛剛開始學(xué)習(xí)乘法時(shí)，可以知道“乘”表示相同加數(shù)求和。如果把漢字“乘”看作學(xué)生的認(rèn)知對(duì)象，學(xué)生并不是第一次感知，已有經(jīng)驗(yàn)中有“乘車”或“乘風(fēng)破浪”的意義。這樣的意義與“相同加數(shù)求和”，從感官上找不到任何關(guān)系，頭腦中也無(wú)法使二者建立聯(lián)系，學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生難以接受或疑惑的感覺。這反映出感知中的意義相離或相悖的現(xiàn)象，也就是所感與所知相互沖突的現(xiàn)象，可以叫作“認(rèn)知沖突（Cognitive Conflict）”。

以上三個(gè)案例分別歸納出感知過程中的三類現(xiàn)象：有感無(wú)知、意義模糊和認(rèn)知沖突。這些現(xiàn)象都是負(fù)面的，都具有“不明白”的特征。對(duì)這些現(xiàn)象的挖掘與分析，可以從反面提升對(duì)于感知過程的理解。因此需要進(jìn)一步研究的問題（Research Question）是：

·如何能夠使得感知過程自然而然地生成意義？換言之，意義生成需要什么樣的條件？

（二）意義生成

圖1 日元紙幣示意圖

面對(duì)孤立的漢字“円”，人們會(huì)出現(xiàn)有感無(wú)知的現(xiàn)象。如果以日元紙幣（如圖1）加以呈現(xiàn)，那么視覺中出現(xiàn)的不再是孤立的漢字“円”，而是一張日元紙幣，紙幣中不僅包含漢字“円”，還包含許多其他內(nèi)容，這些內(nèi)容提供的信息相互關(guān)聯(lián)，成為一個(gè)類似于上、下文關(guān)系的“背景（Context）”，對(duì)認(rèn)知主體呈現(xiàn)出更豐富的“供給（Affordance）”。使得認(rèn)知主體自然而然地、無(wú)意識(shí)地生成“円”的意義。比如：

·“円”是表達(dá)日元錢幣的單位。

·“円”與中國(guó)錢幣中“元”或“圓”的作用類似。

因此，將認(rèn)知對(duì)象“嵌入（Embedding）”它所在的背景，就成為感知過程中意義生成的條件或方法之一。

在地鐵車廂中聽到的播音“下一站將開啟右側(cè)車門”這句話，如果增加一個(gè)“提示（Prompt）”：身體面向行駛方向。這時(shí)“下一站將開啟右側(cè)車門”這句話中的“右側(cè)”，就與身體的姿態(tài)建立了聯(lián)系，成為“我的右側(cè)”，利用身體上“右臂、右手”的指向，生成了“右側(cè)”的意義。

這個(gè)涉身的感知過程，未必一定要在地鐵車廂中親身經(jīng)歷，可以在頭腦中想象，這種對(duì)真實(shí)狀態(tài)想象的過程，叫作“思維模擬（Mind Simulation）”。

關(guān)于“乘”的認(rèn)知沖突現(xiàn)象，如果增加一個(gè)提示：漢字通常具有象形的特點(diǎn)，“乘”最初的形狀是“人在樹上”[1]。人從地面爬到樹上，隱含著“升高”的意義，因此可以想到“乘車”與“乘風(fēng)破浪”中的“乘”，都有升高的意思，這或許也是通常語(yǔ)言中常說“上車”和“下車”的原因。自然數(shù)的乘法，表示相同加數(shù)求和，也就是成倍增加的意思，與升高意義接近。這樣就使得“乘”的字義與數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)的意義建立了聯(lián)系。

“人在樹上”體現(xiàn)的是人的身體與樹的一種“空間關(guān)系（Spatial Relation）”，這樣的關(guān)系讓人頭腦中呈現(xiàn)出“爬樹”的過程，爬樹的過程給出了人身體“升高”的信息，升高就是“增加高度”的意義。因此使得“人在樹上”的狀態(tài)，與作為語(yǔ)言文字的“乘”的字義建立了對(duì)應(yīng)（Mapping），這樣的對(duì)應(yīng)在認(rèn)知科學(xué)中叫作“隱喻（Metaphor）”。

（三）參照

綜上可以總結(jié)出使得感知過程有意義的三種條件。第一是將感知對(duì)象“嵌入”背景，使得認(rèn)知對(duì)象與相關(guān)對(duì)象之間的關(guān)系顯現(xiàn)出來(lái)；第二是將認(rèn)知對(duì)象“涉身”，也即使認(rèn)知對(duì)象與認(rèn)知主體的身體以及身體的活動(dòng)建立聯(lián)系，借助身體以及身體活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)使得意義生成；第三是“隱喻”，將認(rèn)知對(duì)象與另外一個(gè)熟知領(lǐng)域的對(duì)象建立對(duì)應(yīng)關(guān)系，利用熟知領(lǐng)域?qū)ο蟮囊饬x，使得認(rèn)知對(duì)象的意義得以生成。

更概括地說，使得認(rèn)知對(duì)象的意義生成需要有關(guān)聯(lián)的“參照（Referents）”。“嵌入”的參照是嵌入的背景以及其中的內(nèi)容；“涉身”的參照是自身的身體；“隱喻”的參照是另外一個(gè)熟知領(lǐng)域以及其中的對(duì)象。

意義生成是感知的關(guān)鍵，是認(rèn)知過程逐步深入不可逾越的階段。教師的教學(xué)應(yīng)當(dāng)特別重視每一位學(xué)生感知過程中的意義生成。課程設(shè)計(jì)的一個(gè)重要維度，是對(duì)于每一位學(xué)生在感知過程中意義生成的活動(dòng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

二、意義生成類思維

意義生成之后，不是以靜態(tài)的形式，孤立地存在于頭腦之中，而是以動(dòng)態(tài)的形式，與已有經(jīng)驗(yàn)中的其他意義相互連接、相互影響，因此就形成了“類（Classification）”的思維形式。

（一）類思維

看見“白馬”，會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)意義：第一是顏色“白”的意義；第二是動(dòng)物“馬”的意義。如果與經(jīng)驗(yàn)中其他的白色動(dòng)物、事物建立聯(lián)系，就形成以顏色“白”的意義為主的類的思維；如果與經(jīng)驗(yàn)中的動(dòng)物“馬”建立聯(lián)系，就形成以“馬”的意義為主的類的思維。

這里所說的“類”，并非一種客觀存在的事物，人運(yùn)用感覺器官是無(wú)法感知到類的存在的，看見馬，只是個(gè)別的馬，而不是馬的類。因此“類”是在感知過程中，伴隨著意義生成的同時(shí)，意識(shí)中出現(xiàn)的思維形式，是由多種思維活動(dòng)交織而成的。接下來(lái)的問題是，“類”作為思維形式所蘊(yùn)含的思維活動(dòng)是什么樣的？

對(duì)于漢字“円”，在日元紙幣作為參照時(shí)，生成“日元單位”的意義，這樣的意義生成與認(rèn)知主體關(guān)于其他貨幣單位的經(jīng)驗(yàn)直接相關(guān)，比如人民幣單位、美元單位、英鎊單位等。因此“円”作為日元單位的意義是與已有經(jīng)驗(yàn)中其他貨幣單位并存與互動(dòng)的。類的思維形式可以進(jìn)一步細(xì)化為如下的思維活動(dòng)：求同（Identification）、辨別（Discrimination）、提?。ˋbstraction）、泛化（Generalization）。

（二）“類”的思維活動(dòng)

求同的思維活動(dòng)，指的是從差異中意識(shí)到相同屬性的思維活動(dòng)，也叫作“異中求同”，“類”作為一種思維形式，隱含著異中求同的思維活動(dòng)?？匆姲遵R、黑馬、黃馬，自然想到其共同意義，都是“馬”。

日元、人民幣、美元、英鎊等，在紙幣形式、圖案、內(nèi)容、價(jià)值等許多方面都有差異，但無(wú)論哪個(gè)國(guó)家的貨幣，其共同意義都是“錢”，作用是相同的，都是交易的媒介、價(jià)值的象征。“円”意義生成的過程，其實(shí)伴隨著與經(jīng)驗(yàn)中其他貨幣共同屬性相互聯(lián)系的思維活動(dòng)，也就是異中求同的思維活動(dòng)。這樣的思維活動(dòng)往往是自然而然、無(wú)意識(shí)地發(fā)生的。

“辨別”作為思維活動(dòng)，實(shí)質(zhì)是“求異”，就像從一箱蘋果中挑揀出爛蘋果的過程。看見白馬和黑馬，知道雖然都是馬，但顏色不同。日元紙幣對(duì)于感知主體，給出許多信息，包括形狀、大小、顏色、圖案等；除了“円”，還有諸如“日本銀行”“1000”等漢字和數(shù)。從諸多信息中辨別出“円”有“日元單位”的意義，關(guān)鍵是“千円”的表達(dá)方式，“千”作為表達(dá)數(shù)的漢字，與“円”并列相鄰成為一個(gè)詞匯，使得“円”作為單位的意義得以體現(xiàn)。

像這樣，在諸多信息以及信息之間的關(guān)聯(lián)中，生成滿足自身需求的意義的思維活動(dòng)，就是辨別。就像面對(duì)一對(duì)雙胞胎同學(xué)，大家會(huì)不由自主地去關(guān)注他們的差異，因此“辨別”也可以叫作“同中求異”。

“提取”作為思維活動(dòng)，也叫作“抽象”，是在求同與辨別的基礎(chǔ)上，依據(jù)個(gè)人需求或偏好（Preference），忽略一些意義，專注于個(gè)別意義的思維活動(dòng)。看見白馬，既可以提取“白”的意義，也可以提取“馬”的意義。對(duì)于日元紙幣，忽略形狀、樣式、顏色、大小、漢字、數(shù)、人物等，僅關(guān)注“日元單位”這個(gè)意義，這樣的關(guān)注實(shí)質(zhì)是與經(jīng)驗(yàn)中其他貨幣單位的意義求同，所以抽象從字面上可以理解為“抽取相像”。

“泛化”也可以叫作“一般化”或“推廣”，是將較小范圍的意義擴(kuò)充為更大范圍意義的思維活動(dòng)，是前面求同、辨別和提取活動(dòng)的綜合。如果從白馬提取出“白”的意義，自然就會(huì)泛化到“白貓、白熊”等一切具有白色的動(dòng)物、事物。

從日元單位聯(lián)想到人民幣單位、美元單位、英鎊單位，這樣的聯(lián)想是求同的思維活動(dòng)；忽略國(guó)別的意義，是辨別和提取的思維活動(dòng)。在此基礎(chǔ)上，思維中形成了更大的、具有相同屬性的意義，這個(gè)更大的意義可以涵蓋所有國(guó)家的貨幣單位。日元單位、人民幣單位、美元單位、英鎊單位等等，都成為“貨幣單位”這一意義下的個(gè)案。像這樣把“日元單位”拓展為“貨幣單位”的思維活動(dòng)，就是泛化的思維活動(dòng)。

（三）整體與部分

“類”作為思維形式，概括來(lái)說，就是感知與經(jīng)驗(yàn)中“多”與“一”相互關(guān)聯(lián)、相互轉(zhuǎn)化的思維。“一”是一個(gè)“整體（Whole）”，“多”中的每一個(gè)都是整體中的一個(gè)“局部（Part）”?！鞍遵R、黑馬、黃馬”等很多馬，都是“馬”這個(gè)整體的局部；“日元、人民幣、美元、英鎊”等很多國(guó)家的錢，都是“貨幣”這個(gè)整體的局部。

地鐵中聽到的“右側(cè)”，從涉身的角度，身體有“右”，自然還有“左”。更進(jìn)一步還有：上、下、前、后。這些以身體為參照的“方位（Orientation）”，自然就歸為一個(gè)整體，上、下、前、后、左、右分別成為“方位”這個(gè)整體的局部，其共同意義在于確定涉身的方向與位置，成為以“我”的身體為中心的空間關(guān)系。

前面所說的“乘”，有“人在樹上”的意義，由此聯(lián)想到爬樹的動(dòng)作，進(jìn)一步聯(lián)想到身體和物體的“運(yùn)動(dòng)（Movement）”或“變換（Transformation）”。諸如方向、時(shí)間、位置、距離、速度、平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等，都與運(yùn)動(dòng)與變換有關(guān)，都可以歸為“運(yùn)動(dòng)”和“變換”的整體之中。

凡此，都反映出類的思維形式，可以概括出四點(diǎn)認(rèn)識(shí)：第一，類的思維源于感知對(duì)象的意義生成；第二，類的思維是感知與經(jīng)驗(yàn)中意義的關(guān)聯(lián)與互動(dòng)；第三，類的思維是諸如“求同、辨別、提取、泛化”等多種思維活動(dòng)的交互；第四，類的思維實(shí)質(zhì)是整體與局部的關(guān)系的思維。

三、類思維生成概念

（一）概念

人通過感知，對(duì)于感知對(duì)象生成意義，進(jìn)而通過意義之間的關(guān)聯(lián)，形成“類”的思維。這種頭腦中類的思維逐漸穩(wěn)定、確定下來(lái)，就形成了“概念（Concept）”，也就是“概括的觀念”。因此可以說：概念就是聚焦于某種意義的類的思維形式。

如果給這樣的概念賦予語(yǔ)言或符號(hào)的名稱，就形成了外在于頭腦，具有語(yǔ)言意義的概念，可以通過語(yǔ)言意義的傳遞，成為所有人思維中共同的概念。因此，通常所說的“概念”這一詞匯，有兩方面的含義：第一，是頭腦中類的思維形式；第二，是語(yǔ)言或符號(hào)所指稱對(duì)象的意義（以下簡(jiǎn)稱“語(yǔ)義”）。

數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)的發(fā)生與發(fā)展不同，學(xué)生是從教科書或教師提供的語(yǔ)言、符號(hào)的感知開始，而且感知過程往往脫離了語(yǔ)義本身的認(rèn)知來(lái)源，造成的結(jié)果是認(rèn)知停留在語(yǔ)義和語(yǔ)義間的轉(zhuǎn)換，并沒有通過親身的感知過程形成思維形式的概念。

語(yǔ)義概念的來(lái)源，大致有兩種：具體的（Grounding）和抽象的（Abstract）。概念屬性的差異導(dǎo)致其形成方式也是不同的。

（二）具體

如果概念的語(yǔ)義指稱的對(duì)象可見（Visible）、可觸（Touchable），也就是“可感知（Sensible）”的，這樣的概念就叫作“具體的”。

比如飲水是人日常反復(fù)出現(xiàn)、非常熟悉的涉身活動(dòng)，提及“水杯”，即便面前沒有實(shí)物，也會(huì)不知不覺、無(wú)意識(shí)地（Unconsciously）在頭腦中浮現(xiàn)出類似于“”的影像。因此“水杯”這一詞匯所表達(dá)的概念，對(duì)于具有飲水經(jīng)驗(yàn)的人來(lái)說，就是具體的。

面對(duì)表達(dá)具體概念的詞匯，頭腦中所產(chǎn)生的影像，也叫作“意象（Image）”。需要指出的是，概念指稱的對(duì)象不是一個(gè)，而是一類。由于不同的人飲水的經(jīng)驗(yàn)會(huì)有差異，熟悉的飲水工具也有不同，因此意象具有主觀性和差異性，同樣的“水杯”，不同的人產(chǎn)生的意象也會(huì)有差異。

還有一類詞匯指稱的對(duì)象，不是像水杯那樣“靜態(tài)（Static）”的對(duì)象，而是“動(dòng)態(tài)（Dynamic）”的一系列“動(dòng)作（Action）”。比如“喝水”，其中就會(huì)包括“拿水杯―舉水杯—水入嘴”等動(dòng)作，這樣一系列的動(dòng)作反映在頭腦中的影像，不是一個(gè)孤立存在的意象，而是若干意象的動(dòng)態(tài)連接。

這樣一系列意象動(dòng)態(tài)連接的影像，可以叫作“意境（Imagery）”，即意念中的情境。與意象類似，同樣具有可感知、具體的特點(diǎn)。具體概念的特點(diǎn)是具有涉身性，直接與人在具體環(huán)境中的感知活動(dòng)相關(guān)，因此相對(duì)比較易于理解。

（三）建構(gòu)

除了具體的概念，還有一種概念，其語(yǔ)義所指對(duì)象不具備具體、可感知的特征，是人依據(jù)需求或偏好，在已有概念基礎(chǔ)上，人為規(guī)定出來(lái)的，是從概念生成出來(lái)的新概念，也叫作“建構(gòu)（Construction）”。

比如人用餐時(shí)用到“碗”，因此有碗的概念，同時(shí)還會(huì)用到“筷子、勺子”等，類似于“碗、筷子、勺子”這樣的概念所指稱的對(duì)象，從感知的角度說，顏色、形狀、材料等都不相同，但用餐活動(dòng)中都會(huì)使用，都隸屬于“用餐”活動(dòng)，其共性為“用餐工具”，這種求同的思維活動(dòng)就建構(gòu)出新的概念，可以命名為“餐具”，將所有用餐中使用的工具統(tǒng)一為一個(gè)更大的類。

邏輯學(xué)中把這個(gè)表達(dá)更大類的概念叫作“屬概念（Genus）”，產(chǎn)生這個(gè)屬概念的概念叫作“種概念（Species）”。二者指稱的對(duì)象具有包含與被包含的關(guān)系，也就是前面論及的整體與局部的關(guān)系。就像由碗、筷子、勺子這些概念產(chǎn)生了餐具的概念，餐具就是屬概念，碗、筷子、勺子就是相應(yīng)的種概念。種概念與屬概念構(gòu)成了局部與整體的關(guān)系。

建構(gòu)概念的過程是“人為的（Artificial）”，往往脫離客觀世界的感知，更多依賴人的情感、思維、習(xí)慣、需求、偏好等人文因素。對(duì)于此類概念的深入理解，實(shí)質(zhì)是對(duì)“人文性（Humanity）”的理解。

比如英文詞匯“Breakfast”是人建構(gòu)出來(lái)的概念，表達(dá)中文詞匯“早餐”的意思，這樣的理解僅僅是停留在語(yǔ)義轉(zhuǎn)換上，并沒有生成人文性的意義。如果把“Breakfast”變形為兩個(gè)詞匯的組合：“Break-Fast”，其中“Break”有“打破”的意思，“Fast”作為名詞有“齋戒”的意思，此時(shí)“Breakfast”就是“結(jié)束齋戒”的意思。宗教文化中，齋戒期間禁食，齋戒結(jié)束自然是開始進(jìn)食的意思，因此用“Breakfast”指稱每天第一餐，也就順理成章了。中文一日三餐是用“早、午、晚”的時(shí)間進(jìn)行區(qū)分，而英文并非如此。這也反映出建構(gòu)概念的人文性差異，也可以叫作文化差異。

數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中建構(gòu)的概念極其普遍，比如在自然數(shù)概念的基礎(chǔ)上，古希臘時(shí)期的人，希望找到制約無(wú)限多自然數(shù)最少、最微小的元素，就把像“2，3，5”這樣不能分解為兩個(gè)因數(shù)乘積的數(shù)（1除外），視為最微小的元素，從全體自然數(shù)中提取出來(lái)成為一個(gè)類，命名為“質(zhì)數(shù)（Primary Number）”，建構(gòu)出了質(zhì)數(shù)的概念。不是質(zhì)數(shù)的數(shù)，也就是可以再分的數(shù)，成為與之相對(duì)的另外一個(gè)概念，叫作“合數(shù)（Composite Number）”，歷史上并沒有“1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)”的說法，起初人們是把“1”當(dāng)作質(zhì)數(shù)的。[2]類似這樣的概念，與人的感知活動(dòng)沒有直接關(guān)系，是人為的建構(gòu)，這樣的建構(gòu)源于人的心理愿望，這樣的愿望體現(xiàn)了建構(gòu)過程的人文性，也就是概念的參照。

（四）思想與概念

還有一些概念也是人為建構(gòu)的，指稱最原始的范疇。這些概念不是在已有概念基礎(chǔ)上建構(gòu)的，而是源于人的“思想（Thought）”，是最原始的“意識(shí)（Idea）”，幾乎沒有任何“參照”與之直接相關(guān)。比如空間（Space）、時(shí)間（Time）、數(shù)（Number）。

英國(guó)18 世紀(jì)科學(xué)史學(xué)家胡威立（William Whewell，1794-1866）在《科學(xué)思想史》一書中專門論述，像“空間、時(shí)間、數(shù)”這些概念，在現(xiàn)實(shí)世界中全然感知不到，是思想中的意識(shí)所形成的概念，叫作“先驗(yàn)的（Transcendental/Priori）”。書中將人的認(rèn)知對(duì)象分為“思想（Thought）”和“東 西（Thing）”，“東西”指的是可感知的對(duì)象，而思想是“……屬于自己的；是在自身中發(fā)生的；是自己思考的；是頭腦中的行動(dòng)”。［3］這樣的思想既可以看作結(jié)果，也可以看作過程。美國(guó)20世紀(jì)哲學(xué)家約翰·杜威（John Dewey，1859-1952），把“數(shù)”這樣先驗(yàn)的概念叫作“理性過程（Rational Process）”，而非“事實(shí)感知（Sense Fact）”。［4］

·如果問：什么是數(shù)？

·可能的回答：“6”是數(shù)。

事實(shí)上，6是表達(dá)某數(shù)的符號(hào)，是數(shù)的一種“表征（Representation）”形式，本身并不是數(shù)，類似的表征形式還可以是“六、Six”等。數(shù)作為先驗(yàn)的概念，是存在于人意識(shí)中的思想，也可以視為思想的產(chǎn)物。約翰·杜威專門寫了一本名為《數(shù)的心理學(xué)及其教學(xué)應(yīng)用》的書，討論數(shù)這一概念作為思想，其產(chǎn)生的心理基礎(chǔ)。

類似的例子在社會(huì)科學(xué)中極其普遍，比如“Life”，可以知道對(duì)應(yīng)的中文是“生活”或“生命”等，但頭腦中很難出現(xiàn)相對(duì)確定的意象或意境與之對(duì)應(yīng)。同樣也很難找到比較明確的種概念或?qū)俑拍钆c之構(gòu)成種屬關(guān)系，這樣的概念都是先驗(yàn)的，同時(shí)也是空無(wú)的，就像“天空”一詞，因?yàn)椤疤臁笔且粋€(gè)先驗(yàn)的概念，所以“天”的意義是“空”。關(guān)于“空間”一詞，人們對(duì)自己周圍的認(rèn)識(shí)只能通過對(duì)象與對(duì)象“間”的關(guān)系進(jìn)行描述，其他都為“空”。

《2011 課標(biāo)》前言第一句話是：“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！边@也就意味著，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要學(xué)習(xí)如何研究數(shù)量關(guān)系和空間形式。鑒于其中的“數(shù)”和“空間”都是原始的、思想的概念，究竟應(yīng)當(dāng)如何理解，其實(shí)是需要認(rèn)真研究的問題。

綜上，概念一詞具有雙重含義，一種是思維形式的概念，另一種是語(yǔ)義的概念。《2011 課標(biāo)》中出現(xiàn)的38 個(gè)概念，并不是認(rèn)知過程中思維形式的概念，而是語(yǔ)義的概念。對(duì)于語(yǔ)義的概念，僅依賴“被教”獲得語(yǔ)義是不夠的，需要通過認(rèn)知過程的親歷，成為思維中的生成，真正成為思維形式的概念。

概念教學(xué)設(shè)計(jì)的基本思路是感知生成意義，意義關(guān)聯(lián)生成類，固化命名建構(gòu)概念。通過這樣的過程，將概念的雙重含義統(tǒng)一起來(lái)，讓概念成為學(xué)生頭腦中的生成，成為思維形式的概念，這樣就可理解為：概念認(rèn)知過程同時(shí)也是思維發(fā)展過程。