巧用課本例題結論解決一類切線問題

李昌成 陳 潔

(新疆烏魯木齊市第八中學 830002)

在2001版人教版全日制普通高中數(shù)學教材第二冊上冊第75頁中有一個普普通通的例題，當然很難引起大家的重視，但是這道題卻蘊含著深邃的數(shù)學思想方法，在高考中經(jīng)常大顯身手，很可惜一些同學并不知曉，更談不上靈活應用.

一、例題回顧

例題已知圓的方程是x2+y2=r2，求經(jīng)過圓上一點M(x0,y0)的切線方程.答案是x0x+y0y=r2.解答比較簡單，此處從略.

二、結論推廣

例題中的切線方程可以看成把圓方程中的x2換成x0x，y2換成y0y，常數(shù)不變，得到的.推而廣之，對于圓錐曲線(圓、橢圓、雙曲線、拋物線)有下面結論：

三、結論應用

1.應用于求直線方程

(1)求橢圓E的方程；

(2)求∠F1AF2的角平分線l的方程；

(3)略.

評析使用結論解答此題有效避開了直線和橢圓聯(lián)立的二元二次繁雜運算，直接進入一元一次的運算，解答簡捷明快.

(1)求直線AB的斜率；

(2)設M為曲線C上一點，C在M處切線與直線AB平行，且AM⊥BM,求直線AB的方程.

解(1)易得直線AB的斜率為1.

評注結論讓動點M坐標快速明確化，減少變量，使題目難度下降，僅剩一個變量，利用方程的思想，待定直線AB的縱截距，題目得到完美解答.否則將陷入兩個變量，一個方程的僵局.

2.應用于求參數(shù)取值范圍

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 點P是橢圓C上除長軸端點外的任一點，連接PF1，PF2，設∠F1PF2的角平分線PM交C的長軸于點M(m,0)，求m的取值范圍；

評析從以上這道高考題的解答過程可以看出，恰當運用該切線結論使問題變得直觀形象，這個思路和解法也顯得簡潔明了，避開了純解析幾何復雜的轉化過程及繁雜運算，值得推廣.

3.應用于求軌跡方程

例4 過P(3,4) 作圓(x-1)2+y2=1 的切線，切點分別是A，B,求直線AB的方程.

解將圓(x-1)2+y2=1整理得x2+y2-2x=0.設A(x1,y1)，B(x2,y2)，則點A處該圓的切線為x1x+y1y-(x1+x)=0；點A處該圓的切線為x2x+y2y-(x2+x)=0.又因為P(3,4)在兩條切線上，所以3x1+4y1-(x1+3)=0；3x2+4y2-(x2+3)=0.所以直線AB的方程為3x+4y-(x+3)=0，即2x+4y+3=0.

評注結論免除了求切點之苦，大大地減少了運算，無形中也提高了準確率，前提是對直線中的變量和常數(shù)有深刻的認識并能靈活應用.

4.應用于求最值

例5 在拋物線y2=4x上求一點P，使得P到直線y=x+3的距離最短.

所以P(2,1)即為所求點.

評注本解法避開了直線代入曲線，再利用判別式建立不等式，解不等式的繁瑣運算，這樣處理直奔主題，方便易行.

5.應用于求定值

(1)求橢圓C的方程；

評注本解法使用結論達到了“一箭雙雕”的目的，自然生成切線，同時消元，充分有效利用了整體代換，定值躍然紙上.

課本的一些例題看似簡單，但是其內涵豐富，作用巨大，深入研究不僅可以發(fā)現(xiàn)一些簡便方法，而且提高解題的速度和準確率，提升學習的興趣，其樂無窮！