基于函數(shù)“拐點(diǎn)”和“間斷點(diǎn)”解構(gòu)多過程物理量連續(xù)性和突變性
——變力作用下承遞性物理事件中模型建構(gòu)的教學(xué)思考

高 翔 楊遠(yuǎn)萍

(山東省青島第一中學(xué) 266002)

模型建構(gòu)是指在物理情景中依據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知，對(duì)面臨的物理情景進(jìn)行問題抽象，構(gòu)建問題本質(zhì)圖景，充分發(fā)揮學(xué)習(xí)者的心智模式，用簡(jiǎn)化的方式突出主要因素摒棄次要因素，將研究客體確立為理想化模型，運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)、公式、圖形、圖像或者圖表進(jìn)行表征，通過分析與歸納，進(jìn)行邏輯推理，形成科學(xué)認(rèn)識(shí)的過程.它是科學(xué)思維的核心要素，因此模型建構(gòu)教學(xué)的策略稱為學(xué)科核心素養(yǎng)教育的重要目標(biāo).

承遞性發(fā)生的多物理事件，由于約束條件或受力特征的變化，有些物理量保持連續(xù)性變化，體現(xiàn)為物理量的守恒性，因變量隨自變量變化的這一規(guī)律體現(xiàn)為函數(shù)的連續(xù)性.有的則因?yàn)榧s束條件或受力特性的突然改變，有些物理量突然變化，使得連續(xù)變化的函數(shù)出現(xiàn)間斷，成為非連續(xù)性函數(shù)，而另外一些物理量卻依然守恒，向下一物理過程進(jìn)行傳遞.如何凸顯外界約束或者受力特征的躍變，表征物理量的間斷和某種物理量守恒性，這對(duì)于模型建構(gòu)和模型識(shí)別具有重要的意義.

第三類是前后狀態(tài)參量因受力或者約束條件突然改變，使得物理事件出現(xiàn)斷裂，某些物理量在此出現(xiàn)間斷不再順延性發(fā)生，這一點(diǎn)成為突變點(diǎn).雖然某些物理量守恒向下傳遞，但另外一些物理量因突然性變化而不再守恒，呈現(xiàn)出斷崖式的躍升或突降，函數(shù)在此點(diǎn)不再連續(xù)成為間斷點(diǎn).像輕質(zhì)細(xì)繩猛然繃緊的瞬間、非彈性碰撞……等.依據(jù)間斷點(diǎn)左右兩側(cè)是否有導(dǎo)數(shù)和導(dǎo)數(shù)是否相等來分類，如果左右導(dǎo)數(shù)相等，該點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn)，如圖2(甲)所示.如果左右導(dǎo)數(shù)存在但不相等，如圖(乙)所示稱為跳躍間斷點(diǎn).

從函數(shù)的連續(xù)性和間斷性的視角對(duì)承遞發(fā)生的多物理過程分類，凸顯那些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參量順延，那些運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參量突變，有助于我們?nèi)痰慕嵌冗€是分段的角度建構(gòu)過程模型具有決定性的作用，這也是科學(xué)思維培育的主要途徑.

一、同一物理事件中處于空間位置點(diǎn)函數(shù)約束下運(yùn)動(dòng)的合成

外力為空間位置的函數(shù)F(x)作用下，運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參量在這一物理事件中非線性變化，盡管物理量表現(xiàn)為連續(xù)性，但因外力和約束條件的變化使得不同物理事件呈現(xiàn)不同的單調(diào)性，銜接處稱為物理事件的拐點(diǎn).

2.物理過程模型建構(gòu)的錯(cuò)誤導(dǎo)致錯(cuò)解.船在水的沖擊下同時(shí)參與了兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)而表現(xiàn)為對(duì)岸的合運(yùn)動(dòng).距離近岸距離的不同水流速分布不同，不能憑借v水∝x就簡(jiǎn)單視為沿水流方向上船做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng).答案為AD

二、同一物理事件中受到空間位置點(diǎn)函數(shù)F(x)變力作用下狀態(tài)量的求解

物體受到的外力隨空間位置的不同而變化，而這種變化體現(xiàn)為空間位置的連續(xù)性，即力是空間位置的點(diǎn)函數(shù)F(x).由于不同位置處合外力不同，速度變化的快慢呈現(xiàn)差異，力在空間位置上累計(jì)效果—功能思維就成為解決問題的關(guān)鍵.力在空間元位移內(nèi)的積分就成為求解該問題的關(guān)鍵.

1.F(x)為線性變化的作用力

例題2如圖3甲所示，在水平地面上放置一個(gè)質(zhì)量為m=4 kg的物體，讓其在隨位移均勻減小的水平推力作用下運(yùn)動(dòng)，推力F隨位移x變化的圖像如圖3乙所示.已知物體與地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5，g=10m/s2.求：

(1)運(yùn)動(dòng)過程中物體的最大加速度為多少？

(2)距出發(fā)點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)物體的速度達(dá)到最大？

(3)物體在水平面上運(yùn)動(dòng)的最大位移是多少？

模型建構(gòu)中困惑點(diǎn)分析過程模型建構(gòu)的合理性決定了求解方法的科學(xué)性，其關(guān)鍵是對(duì)變力作用下物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的判斷和力作用效果的描述，為此呈現(xiàn)如下的困惑：

1.從力和運(yùn)動(dòng)角度分析物理過程是求解前提，判明各過程的受力特征和運(yùn)動(dòng)特性是解決問題的根本.

2.表征變力的作用效果是解決問題的關(guān)鍵.從力的瞬時(shí)性上分析物理過程求解最大加速度和最大速度.從力的空間位置的積累效應(yīng)求解發(fā)生的位移.

解析由牛頓第二定律得F-μmg=ma，當(dāng)F=100N時(shí)物體所受的合外力最大，解得a=20m/s2；

(2)由圖像，推力F隨位移x變化的關(guān)系：F=100-25x，當(dāng)F=μmg，解得x=3.2m；

2.F(x)為振蕩性變化的作用力

例題3如圖4甲所示，一固定在水平面上傾角θ=37°、高h(yuǎn)=0.3m的絕緣斜面.一視為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m=1kg、帶電荷量q=+0.02C的物塊放在斜面頂端，距斜面底端L=0.6m處有一豎直放置的絕緣光滑半圓軌道，半徑為R=0.2m半圓軌道底端有一質(zhì)量M=1kg可視為質(zhì)點(diǎn)的絕緣小球，半圓軌道底端與斜面底端之間存在如圖4乙所示的變化電場(chǎng)(水平向右為正方向)，圖4乙中O點(diǎn)對(duì)應(yīng)坐標(biāo)原點(diǎn)，虛線與坐標(biāo)軸圍成的圖形是橢圓一部分(橢圓面積公式S=πab，a、b分別為半長(zhǎng)軸和半短軸).現(xiàn)給物塊一沿斜面向下的初速度v0，物塊運(yùn)動(dòng)到半圓軌道處與小球發(fā)生對(duì)心彈性碰撞，不計(jì)物塊經(jīng)過斜面底端時(shí)能量損失，已知物塊與斜面、水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ=0.5，g=10m/s2，sin37°=0.6cos37°=0.8.

(1)若小球不脫離半圓軌道，求物塊在斜面頂端釋放的初速度v0的范圍；

(2)若小球能通過最高點(diǎn)，并垂直打在斜面上，求小球離開半圓軌道時(shí)的速度大小及小球打在斜面上的位置；

模型建構(gòu)中心智模式的障礙分析

針對(duì)各物理過程受到的約束限制和所受外力的特征確定運(yùn)動(dòng)規(guī)律，建構(gòu)呈遞發(fā)生的物理過程模型是解決問題的關(guān)鍵，量度各力做功，分類討論“小球不脫離半圓軌道”情況是解決此問題的切入點(diǎn).

1.從力和運(yùn)動(dòng)的角度分析呈遞發(fā)生的多方物理過程，建構(gòu)過程模型是解決問題的前提.

分情況判斷是分類討論的關(guān)鍵.“不脫離圓形軌道”分到達(dá)與半圓形軌道圓心等高處和恰好到達(dá)半圓形軌道最高點(diǎn)兩種情況.

綜上述物塊在斜面頂端釋放的初速度范圍為

三、同一物理事件中受F(t)變力作用下狀態(tài)量的求解

例題4如圖5甲所示，頂角θ=45°的金屬導(dǎo)軌MON固定在水平面內(nèi)，導(dǎo)軌處在方向豎直，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，一根與ON垂直的導(dǎo)體棒在水平外力作用下的恒定速度v0沿導(dǎo)軌MON向右滑動(dòng)，導(dǎo)體棒的質(zhì)量為m，導(dǎo)軌與導(dǎo)體棒單位長(zhǎng)度的電阻均為r，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌接觸點(diǎn)為a和b，導(dǎo)體棒在滑動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌良好接觸，t=0時(shí)導(dǎo)體棒位于頂角處.求:

(1)t時(shí)刻流過導(dǎo)體棒的電流強(qiáng)度I和電流方向；

(2)導(dǎo)體棒做勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)水平外力F的表達(dá)式；

(3)導(dǎo)體棒在0-t時(shí)間內(nèi)產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(4)若在t0時(shí)刻將外力F撤去，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時(shí)的坐標(biāo)x；

四、從“拐點(diǎn)”的角度揭示承遞性物理事件連接處物理量的順承變化

承遞發(fā)生的多物理事件連接處，由于外在約束或者受力特征的突然變化引起某種物理量開始改變而原先變化的物理量保持不變，因不同的變化規(guī)律前后物理過程呈現(xiàn)為不同的單調(diào)性，這一承接點(diǎn)我們稱之為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.

例題5如圖6，容積均為V的汽缸A、B下端有細(xì)管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細(xì)管的中部,A、B的頂部各有一閥門K1、K3；B中有一可自由滑動(dòng)的活塞(質(zhì)量、體積均可忽略).初始時(shí)，三個(gè)閥門均打開，活塞在B的底部；關(guān)閉K2、K3，通過K1給汽缸充氣，使A中氣體的壓強(qiáng)達(dá)到大氣壓p0的3倍后關(guān)閉K1.已知室溫為27℃，汽缸導(dǎo)熱.

(1)打開K2，求穩(wěn)定時(shí)活塞上方氣體的體積和壓強(qiáng)；

(2)接著打開K3，求穩(wěn)定時(shí)活塞的位置；

(3)再緩慢加熱汽缸內(nèi)氣體使其溫度升高20℃，求此時(shí)活塞下方氣體的壓強(qiáng)．

模型建構(gòu)的路徑分析物理事件1.關(guān)閉閥門K2和K3，B中氣體狀態(tài)參量未變，外部一定量的氣體充入氣缸A中，使得A氣缸中的氣體不再是原先的氣體.充入氣體后的A′才為后續(xù)物理事件的初始狀態(tài)；

物理事件2.打開閥門K2，由于不計(jì)活塞質(zhì)量，穩(wěn)定時(shí)A與B中氣壓相等—這是不同系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)，即力學(xué)量的傳遞.活塞被上推至某一位置，設(shè)體積減少ΔV,A、B氣壓p1.

物理事件3.打開閥門K3，B中氣體急劇外泄稱為一個(gè)開放的系統(tǒng)，但活塞上升至何處？能否被推至氣缸頂部？推至頂部是否與缸頂存在擠壓？活塞與缸頂出現(xiàn)彈力是呈遞發(fā)生物理事件的拐點(diǎn).

從函數(shù)連續(xù)性和間斷性視角將物理事件劃分為銜接性發(fā)生的物理事件和某種守恒量躍變的非連續(xù)性過程，不僅凸顯先后物理過程連接處力和運(yùn)動(dòng)的特征，而且呈現(xiàn)延續(xù)發(fā)展的物理量和躍變的物理量，有助于過程模型的科學(xué)建構(gòu)，有利于我們選擇全程和分段的方法解決問題，這是科學(xué)思維培育的重要路徑.