恒成立問題中一類難點(diǎn)突破

俞新龍

(浙江省紹興市柯橋區(qū)越崎中學(xué) 312050)

恒成立問題是高中數(shù)學(xué)一類重要的題型，大家都學(xué)有基本解題針對(duì)套路，如f(x)≥a(a為常數(shù))恒成立，則f(x)min≥a；f(x)

一、變量分離

綜上所述，a≤1-2ln2，從而得實(shí)數(shù)a的最大值為1-2ln2.

上面每一種情況的討論不能出任何差錯(cuò)，否則必將前功盡棄！但如果我們用變量分離的方法解該題，則將容易得多.

變量分離也不一定不需要分類討論，但它確實(shí)是一種有效突破方法，請(qǐng)繼續(xù)看下面例子.

例2設(shè)函數(shù)f(x)=ax3-3x+1(x∈R)，若對(duì)任意x∈[-1,1]都有f(x)≥0成立，則a=____.

二、等價(jià)轉(zhuǎn)換函數(shù)

例3若不等式2xlnx≥-x2+ax-3對(duì)x∈(0,+∞) 恒成立 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

A.(-∞，0) B.(-∞，4]

C.(0，+∞) D.[4，+∞)

等價(jià)轉(zhuǎn)換函數(shù)是否成功的標(biāo)志是能否求出轉(zhuǎn)換后函數(shù)的最值.該題也可以用變量分離法求解如下：

三、利用充分條件

四、作差比較大小

需要注意的是以上突破策略并不是孤立的，有時(shí)需要兩者配合進(jìn)行.