基于目標(biāo)參數(shù)最優(yōu)的磁耦合諧振式無線能量傳輸系統(tǒng)頻率特性分析及仿真驗證

范興明，賈二炬，高琳琳，張偉杰，焦自權(quán)，張 鑫

(1. 桂林電子科技大學(xué) 機電工程學(xué)院, 廣西 桂林 541004;2. 廣州金升陽科技有限公司, 廣州 510700)

由于電線的裸露、老化以及尖端放電等因素，傳統(tǒng)的接觸式輸電會產(chǎn)生電火花，縮短設(shè)備的壽命.此外，接觸式輸電受到水下礦井和人體植入式等特殊場合的限制，用電設(shè)備的增多將會造成電線繁雜，影響線路布置和安全.而無線能量傳輸(Wireless Power Transfer，WPT)技術(shù)可以有效地彌補有線電能傳輸方式的弊端，具有更高的穩(wěn)定性和可靠性，更加符合未來社會發(fā)展的趨勢[1].目前，常用的WPT技術(shù)主要包括電磁感應(yīng)式、磁耦合諧振式以及微波輻射式[2].與電磁感應(yīng)式相比，磁耦合諧振式的傳輸距離更遠；與微波輻射式相比，磁耦合諧振式的傳輸效率更高，因此表現(xiàn)出極大的應(yīng)用潛力[3-7].

目前，國內(nèi)外研究人員對磁耦合諧振式無線能量傳輸(Magnetically Coupled Resonant Wireless Power Transfer, MCR-WPT)技術(shù)進行了一系列的研究，并取得了一定的研究成果[8-15].文獻[8-9]對比分析了該系統(tǒng)的耦合模理論和等效電路理論，得到兩種理論模型具有等效性的條件.文獻[10]從電路角度對MCR-WPT系統(tǒng)的最大傳輸效率進行分析，得到系統(tǒng)最大效率條件及最大效率表達式.文獻[11]對盤式線圈的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計，解決了特定條件下的具體諧振器設(shè)計問題.文獻[12]從感性、容性和純阻性3個方面研究了系統(tǒng)的負載特性，提出電容補償和電感補償?shù)姆椒商岣邆鬏斝?文獻[13]分析了含有中繼線圈的系統(tǒng)特性，得到臨界耦合條件和最大功率傳輸條件.文獻[14]研究了系統(tǒng)的恒流補償網(wǎng)絡(luò)，證明電流增益與負載無關(guān).目前多數(shù)文獻針對系統(tǒng)的頻率分裂現(xiàn)象[2,15-16]展開研究，指出距離和負載的變化會導(dǎo)致系統(tǒng)失諧，并提出了采用鎖相環(huán)、擾動分析法及自動阻抗匹配法等調(diào)頻策略可以提高系統(tǒng)的傳輸性能[17-20].盡管如此，導(dǎo)致系統(tǒng)失諧的具體影響因素有待深入研究，特別是在分析距離和負載的變化對系統(tǒng)最佳工作頻率的影響時，已有研究大多忽略了頻率對線圈內(nèi)阻的影響，因此對分析結(jié)果趨勢的正確性造成不利影響，進而影響系統(tǒng)頻率控制策略的選擇和控制的精確性.

本文對系統(tǒng)頻率特性進行較全面的研究.利用阻抗反射理論研究負載和距離的變化對系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性的影響.基于互感理論對串串型拓撲結(jié)構(gòu)進行建模，從理想和非理想狀態(tài)條件下分析距離和負載的變化對系統(tǒng)輸出功率和傳輸效率的最佳頻率的影響規(guī)律.利用MATLAB對WPT系統(tǒng)頻率特性分析相關(guān)理論進行系統(tǒng)建模，采用插值法和多項式擬合對系統(tǒng)最佳效率工作頻率進行求解和仿真驗證.本文研究結(jié)果可為MCR-WPT系統(tǒng)頻率特性分析提供理論和模型參考，并可進一步為MCR-WPT系統(tǒng)的精確頻率控制策略提供一定的理論指導(dǎo).

1 系統(tǒng)頻率穩(wěn)定性的影響分析

MCR-WPT系統(tǒng)常用的拓撲結(jié)構(gòu)如圖1所示，具體包括串聯(lián)-串聯(lián)補償(SS)型，串聯(lián)-并聯(lián)補償(SP)型，并聯(lián)-串聯(lián)補償(PS)型和并聯(lián)-并聯(lián)補償(PP)型4種[21].圖中US為高頻電源；L1、R1、L2、R2、C1、C2、I1以及I2分別為發(fā)射線圈和接收線圈的等效電感、等效電阻、諧振補償電容和電流；M為兩線圈間的互感；RL為接收端負載.

圖1 MCR-WPT系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)類型Fig.1 Topological structure types of MCR-WPT system

由于互感的存在，傳輸距離和負載的變化會對發(fā)射端的阻抗產(chǎn)生影響，導(dǎo)致發(fā)射端的等效電感發(fā)生變化，并可能導(dǎo)致系統(tǒng)失諧.接收端對發(fā)射端的影響可用反射阻抗Zr表示.將圖1進行簡化，得到發(fā)射端分別采用串聯(lián)和并聯(lián)補償?shù)牡刃ё杩闺娐纺Ｐ?，如圖2所示[22].圖2中Z1為發(fā)射線圈的阻抗，Z1=R1+jωL1，阻抗往往由復(fù)數(shù)形式表示， j為阻抗的復(fù)部，ω為角頻率，ω=2πf，f為頻率.

圖2 發(fā)射端阻抗等效電路Fig.2 Equivalent circuit of impedance in sending terminal

(1)

MCR-WPT系統(tǒng)的關(guān)鍵特征是保持發(fā)射端和接收端同時共振，且線圈的自諧振頻率與系統(tǒng)的驅(qū)動頻率相同.通常假設(shè)接收端共振，研究距離或負載的變化對發(fā)射端等效阻抗的影響.系統(tǒng)共振時發(fā)射端需滿足的條件為：發(fā)射端阻抗ZP或?qū)Ъ{Yt的虛部為0.在分析此問題時，目前多數(shù)研究忽略了線圈內(nèi)阻的影響，將導(dǎo)致在計算諧振補償電容時出現(xiàn)偏差，進而降低了系統(tǒng)的實用性能.表1給出了4種不同電路拓撲結(jié)構(gòu)情況下考慮線圈內(nèi)阻的影響時負載或距離的變化對發(fā)射端諧振補償電容的影響，其中，RS為線圈內(nèi)阻，ω0為考慮線圈內(nèi)阻的影響時的角頻率.

由表1可知，在SS型拓撲結(jié)構(gòu)中，傳輸距離或純阻性負載的變化不會導(dǎo)致C1發(fā)生變化；在SP型拓撲結(jié)構(gòu)中，傳輸距離的變化會導(dǎo)致M變化，進而對C1的數(shù)值產(chǎn)生影響，純阻性負載的變化對發(fā)射端沒有影響.在PS和PP型拓撲結(jié)構(gòu)中傳輸距離和純阻性負載的變化均會改變C1，并可能造成系統(tǒng)失諧.由此可得出結(jié)論：當(dāng)發(fā)射端采用并聯(lián)補償時，傳輸距離或負載的變化都會造成系統(tǒng)的失諧.當(dāng)采用SS型補償時，系統(tǒng)頻率的穩(wěn)定性最好；當(dāng)采用SP型補償時，系統(tǒng)的工作頻率不受純負載變化的影響.

表1 不同拓撲結(jié)構(gòu)下的系統(tǒng)參數(shù)Tab.1 System parameters in different topological structures

注：∥為并聯(lián)符號.

2 系統(tǒng)理論模型的建立

圖3 MCR-WPT系統(tǒng)等效電路模型Fig.3 Equivalent circuit model of MCR-WPT system

由于SS型拓撲結(jié)構(gòu)的發(fā)射端和接收端相互獨立，接收端負載和傳輸距離的變化不會導(dǎo)致系統(tǒng)失諧，因此文下重點研究SS型拓撲結(jié)構(gòu)及其特征.基于SS型拓撲結(jié)構(gòu)的MCR-WPT系統(tǒng)等效電路模型如圖3所示.圖中D為兩線圈間的距離；IP和IS分別為發(fā)射與接收回路的電流.

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，電路方程為

(4)

對式(4)進行求解可得IP和IS，進而可得到系統(tǒng)的輸入功率PS、輸出功率P與傳輸效率η的計算表達式[10]：

(5)

(6)

(7)

3 系統(tǒng)最佳工作頻率的分析

3.1 理想狀態(tài)下系統(tǒng)最佳工作頻率的影響分析

理想狀態(tài)下，發(fā)射端與接收端均發(fā)生共振，ZP與ZS的虛部為0.系統(tǒng)的輸出功率和傳輸效率的計算表達式為[11]

(8)

(9)

3.1.1理想狀態(tài)下系統(tǒng)輸出功率最佳頻率的確定 通常，由于線圈的內(nèi)阻較小，研究者忽略頻率的變化對線圈內(nèi)阻的影響.此時，對式(6)關(guān)于ω求一階導(dǎo)數(shù)并令其導(dǎo)函數(shù)的值為0，從而得到理想狀態(tài)下不考慮頻率對線圈內(nèi)阻的影響時，系統(tǒng)的輸出功率最佳頻率：

(10)

然而，忽略線圈內(nèi)阻會影響系統(tǒng)最佳工作頻率的精確性，尤其在實現(xiàn)控制策略時，參數(shù)的準(zhǔn)確性對控制的精確性起決定性作用.在高頻狀態(tài)下，線圈的等效電阻主要包括歐姆電阻和輻射電阻，其中，歐姆電阻的影響更為明顯[23].所以，本文重點研究線圈歐姆損耗對系統(tǒng)工作頻率的影響.歐姆損耗的計算公式為[11]

(11)

式中：μ0為真空中的磁導(dǎo)率；σ為導(dǎo)線材料的電導(dǎo)率；Ni為第i個線圈的匝數(shù)；ri為第i個線圈的平均半徑；a為線圈的導(dǎo)線半徑；mi為擬合參數(shù)，

考慮頻率對線圈內(nèi)阻的影響時，對式(8)求關(guān)于ω的偏導(dǎo)數(shù)并令其導(dǎo)函數(shù)的值為0，可以得到理想狀態(tài)下考慮頻率對線圈電阻的影響時，系統(tǒng)的輸出功率最佳頻率：

(12)

兩線圈間互感為[11]

(13)

3.1.2理想狀態(tài)下系統(tǒng)傳輸效率最佳頻率的影響 在理想狀態(tài)下，發(fā)射端和接收端同時諧振，且該諧振頻率與系統(tǒng)的工作頻率相同.當(dāng)忽略工作頻率對線圈電阻的影響時，對式(9)求ω的一階導(dǎo)數(shù)：

(14)

式(14)中等號右端恒大于0，因此傳輸效率隨著工作頻率的增加單調(diào)遞增.當(dāng)考慮工作頻率對線圈電阻的影響時，對式(9)關(guān)于ω求一階求導(dǎo)并令其導(dǎo)函數(shù)的值為0，可得理想狀態(tài)下考慮頻率對線圈內(nèi)阻的影響時，系統(tǒng)傳輸效率最佳工作頻率滿足：

3RL+m1m2ω+

(15)

在高頻時，ω的數(shù)量級為106，因此式(15)難以進行求解，為了簡化分析，文獻[24]只考慮ω2項，得到傳輸效率最佳工作頻率：

(16)

比較式(14)和(16)可知，傳輸效率隨著頻率的增加呈非線性變化，存在最佳工作頻率點使系統(tǒng)達到最大傳輸效率.傳輸效率最佳工作頻率與負載近似成正比，與距離的3次方成反比.這說明在分析系統(tǒng)的傳輸效率最佳工作頻率時不能忽略頻率對線圈內(nèi)阻的影響.可以在已知系統(tǒng)參數(shù)的條件下采用插值法、曲線擬合法等求式(15)的相對精確解.

3.2 非理想狀態(tài)下系統(tǒng)最佳工作頻率的影響分析

在非理想狀態(tài)下，發(fā)射端和接收端不同時諧振，且頻率未必與系統(tǒng)的工作頻率相同[15].此時，PS、P以及η的計算表達式為

(17)

(18)

(19)

3.2.1非理想狀態(tài)下系統(tǒng)輸出功率最佳頻率的影響 為了便于分析，假設(shè)發(fā)射和接收線圈的參數(shù)完全相同(L1=L2=L，C1=C2=C，R1=R2=R).在非理想狀態(tài)下，發(fā)射端和接收端阻抗的虛部相同(X1=X2=X)，定義廣義失諧因子ξ，ξ=X/R，引入負載系數(shù)KL,KL=RL/R，可得ZP和ZS的計算表達式為

(20)

定義耦合強度KC,KC=ωM/R，則負載兩端的電壓為

(21)

求UL的模并對其進行歸一化處理可得系統(tǒng)的輸出電壓增益：

(22)

(23)

ω=ω0時，發(fā)射端和接收端同時共振，此時稱系統(tǒng)工作在“全諧振”狀態(tài)；ω=ω2,3時，發(fā)射端和接收端均不共振，但系統(tǒng)整體工作在諧振狀態(tài)，稱為“部分諧振”狀態(tài).假設(shè)系統(tǒng)工作在分裂的ω2,3處，即系統(tǒng)處于“部分諧振”狀態(tài)，此時系統(tǒng)的傳輸效率為

(24)

結(jié)合式(24)和(9)可得系統(tǒng)頻率為分裂的角頻率時傳輸效率與系統(tǒng)工作在全諧振狀態(tài)下的傳輸效率的比值ε：

(25)

滿足KL?1且KC?KL，即滿足式(26)時，ε的值無限趨近于1，即系統(tǒng)頻率為分裂的角頻率時傳輸效率與系統(tǒng)工作在全諧振狀態(tài)下的傳輸效率基本相等，且傳輸效率接近1:

R?RL?ZPS

(26)

式中：ZPS=ω2M2/R，可理解為初級回路對次級回路的反射阻抗.由此可得出結(jié)論：在滿足式(26)的情況下，將系統(tǒng)的工作頻率調(diào)整到分裂頻率，在幾乎不降低系統(tǒng)傳輸效率的情況下可有效地提高系統(tǒng)的輸出功率.

3.2.2非理想狀態(tài)下系統(tǒng)傳輸效率最佳頻率的影響 對式(19)進行變形可得

(27)

為了便于分析，同樣假設(shè)發(fā)射線圈和接收線圈的參數(shù)完全相同，記式(27)的分母為f(ω).結(jié)合式(11)，計算f(ω)關(guān)于ω的偏導(dǎo)數(shù)可得

(28)

對σ求關(guān)于ω的偏導(dǎo)數(shù)可得

(29)

經(jīng)計算，m的值的數(shù)量級為10-4，為了便于分析，忽略m的影響，由此可判斷式(29)的右端恒大于0.由此可知，σ隨著ω的增加單調(diào)遞增，當(dāng)ω趨于0時，σ趨于負無窮大；在ω趨于正無窮大時，σ趨于正無窮大，有且只有一個根使σ的值為0.因此可斷定，在整個工作頻率范圍內(nèi)，f(ω)隨著ω的增加在一定區(qū)間內(nèi)先單調(diào)遞減，后單調(diào)遞增.η隨著ω的增加呈現(xiàn)出先增加后減小的趨勢，有且只有一個工作頻率使系統(tǒng)的傳輸效率達到最大，這也說明了非理想狀態(tài)下系統(tǒng)的傳輸效率不存在頻率分裂現(xiàn)象[15].

4 仿真分析與驗證

為了證明理論分析的正確性，采用MATLAB對系統(tǒng)進行仿真驗證.仿真時系統(tǒng)的工作條件為：US=50 V,f=13.56 MHz,D=0.5 m,P=80 W,RL=605 Ω.線圈參數(shù)為：線圈最大外徑Dmax=0.439 5 m，線圈最小內(nèi)徑Dmin=0.360 5，線圈匝數(shù)N=8，填充率β=0.098 75，線圈匝間距S=3 mm，線圈線徑W=2 mm.

4.1 理想狀態(tài)下系統(tǒng)最佳工作頻率的仿真分析

系統(tǒng)在理想狀態(tài)工作時，在忽略和考慮頻率對線圈內(nèi)阻影響的情況下，改變系統(tǒng)的工作負載或傳輸距離，分別計算系統(tǒng)的輸出功率最佳頻率(記為理論值1，理論值2)，并利用MTALAB進行仿真，結(jié)果如圖4所示.由圖4可知，理論值1與仿真值的偏差較大；理論值2與仿真值有較好的吻合性.說明距離或負載發(fā)生變化時，考慮頻率對線圈內(nèi)阻的影響能夠比較準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)頻率的實際變化規(guī)律.

針對忽略和考慮頻率對線圈內(nèi)阻影響兩種情況，利用MATLAB建立分析模型得到系統(tǒng)的傳輸效率與工作頻率的關(guān)系(記為仿真值1，仿真值2)，如圖5所示.

圖5 傳輸效率與工作頻率關(guān)系圖Fig.5 Transmission efficiency as a function of working frequency

仿真值1隨著頻率的增加而增加，仿真值2隨著頻率的增加呈現(xiàn)出先增加后減小的趨勢，即存在最佳工作頻率使系統(tǒng)的傳輸效率達到最大.因此在分析傳輸效率最佳頻率時不能忽略頻率對線圈內(nèi)阻的影響.

4.2 非理想狀態(tài)下系統(tǒng)最佳工作頻率的仿真分析

4.2.1輸出功率最佳頻率仿真分析 非理想狀態(tài)下，為了驗證距離和負載的變化對系統(tǒng)輸出功率最佳頻率的影響，先假定RL=605 Ω固定不變，改變系統(tǒng)的傳輸距離，得到系統(tǒng)電壓增益與傳輸距離和工作頻率的關(guān)系，如圖6所示.由仿真結(jié)果可得系統(tǒng)發(fā)生頻率分裂的臨界距離為0.28 m.由圖6可知，當(dāng)D>0.28 m時，輸出電壓增益的最大值始終保持在系統(tǒng)的中心工作頻率13.56 MHz處.當(dāng)D<0.28 m時，輸出電壓增益由單峰變成了雙峰，在中心工作頻率處系統(tǒng)的電壓增益變?yōu)榫植孔钚≈?

圖6 輸出電壓增益與工作頻率和傳輸距離的關(guān)系Fig.6 Output voltage gain as a function of working frequency and transmission distance

假定D=0.5 m固定不變，改變系統(tǒng)的工作負載，得到電壓增益與系統(tǒng)的工作負載和頻率的關(guān)系，如圖7所示.

圖7 輸出電壓增益與工作頻率和負載電阻的關(guān)系Fig.7 Output voltage gain as a function of working frequency and load resistance

由仿真結(jié)果可得系統(tǒng)發(fā)生頻率分裂的臨界負載為154 Ω.當(dāng)RL>154 Ω時，輸出電壓增益的最大值始終保持在系統(tǒng)的中心工作頻率13.56 MHz處.當(dāng)RL<154 Ω時，輸出電壓增益由單峰變?yōu)殡p峰，在中心工作頻率處電壓增益由最大值變?yōu)榫植孔钚≈?

為了分析距離和負載的變化對分裂頻率的影響，分別固定RL=605 Ω，D=0.5 m，得到分裂頻率與距離或負載的變化關(guān)系，如圖8所示.由圖8可知，距離和負載越小，系統(tǒng)頻率分裂越嚴重.其中工作頻率低于13.56 MHz的模式被稱為“偶模式”，高于13.56 MHz的模式被稱為“奇模式”.傳輸距離或負載越小，系統(tǒng)的頻率分裂現(xiàn)象越嚴重，偏離中心頻率越多.比較圖8的縱坐標(biāo)可知，距離對分裂頻率的影響更為明顯.

圖8 分裂的頻率與傳輸距離和負載的關(guān)系Fig.8 Splitting frequency as a function of transmission distance and load

由此可得出結(jié)論：傳輸距離或負載過小時，系統(tǒng)均會發(fā)生頻率分裂現(xiàn)象，且傳輸距離和負載越小，系統(tǒng)的頻率分裂越嚴重.在偏離中心工作頻率下，系統(tǒng)的輸出電壓增益下降越大，輸出功率越低.

圖9 工作在分裂頻率和中心諧振頻率時的傳輸效率比較Fig.9 Comparation of transmission efficiency between split frequency and central resonance frequency

為了對比分析系統(tǒng)工作在分裂頻率和中心諧振頻率時的傳輸效率，分別改變系統(tǒng)的傳輸距離和負載，得到系統(tǒng)工作在偶模式、奇模式與全諧振3種模式下的傳輸效率與距離和負載的變化關(guān)系，如圖9所示.為了能夠更好地對比說明圖9中傳輸效率的變化規(guī)律，根據(jù)式(26)將3種模式下距離和負載變化時比較阻抗值R、RL及ω2M2/R的變化情況列出，分別如表2和3所示.

圖9(a)中，偶模式、奇模式與全諧振模式下的傳輸效率基本上都保持一致，且接近100%，與文獻[16]得出的“過耦合時傳輸效率變化不大”的實驗結(jié)果相一致.這是因為D在0.1～0.3 m變化時，表4中的數(shù)據(jù)滿足式(26)，從而使系統(tǒng)的效率接近100%且基本保持不變.

圖9(b)中，RL在0～20 Ω時，系統(tǒng)工作在全諧振模式下的傳輸效率高于工作在偶模式和奇模式下的效率，且效率較低.RL在50～200 Ω時，3種模式下的傳輸效率基本上相等，接近100%.這是因為RL在0～20 Ω時，表3中的數(shù)據(jù)ω2M2/R?R成立，但RL?R不成立，致使系統(tǒng)效率偏低；RL在50～200 Ω時，表3中的數(shù)據(jù)滿足式(26)，曲線變化規(guī)律與理論分析一致，由此證明了式(26)的正確性.

表2 距離變化時阻抗與工作模式的關(guān)系

Tab.2 Impedance as a function of working modes with distance’s variation

工作模式比較阻抗/ΩRRLω2M2/R偶模式1.493～1.637605(1.194～0.122)×106奇模式1.993～1.682605(1.804～0.178)×106全諧振模式1.656605(1.433～0.082)×106

表3 負載變化時阻抗與工作模式的關(guān)系

Tab.3 Impedance as a function of working modes with load’s variation

工作模式比較阻抗/ΩRRLω2M2/R偶模式1.640～1.6520～200(7.235～7.320)×103奇模式1.672～1.6600～200(7.459～7.373)×103全諧振模式1.6560～2007.345×103

當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生頻率分裂時，系統(tǒng)工作在全諧振模式下的輸出功率較低，而奇模式下系統(tǒng)的工作頻率較高，輻射損耗較大，導(dǎo)致系統(tǒng)傳輸效率低于偶模式[19].因此當(dāng)系統(tǒng)發(fā)生頻率分裂時，通過調(diào)頻策略將系統(tǒng)偶模式下的工作頻率調(diào)整到ISM(Industrial Scientific Medical)頻段[20]，能夠在基本上保持傳輸效率不變的條件下有效地提高系統(tǒng)的輸出功率.

4.2.2傳輸效率最佳工作頻率仿真分析 利用MATLAB對系統(tǒng)的傳輸效率進行仿真分析，結(jié)果如圖10和11所示.可以看出：無論距離還是負載發(fā)生變化，只有在f=13.56 MHz時，系統(tǒng)的傳輸效率達到最大，即距離和負載的變化對系統(tǒng)傳輸效率最佳工作頻率沒有影響.此外，從圖10和11中還可以看出，D和RL在較小和較大的范圍內(nèi)變化時，系統(tǒng)的最大效率工作頻率始終保持在接收端的共振頻率處，不隨距離和負載的變化而發(fā)生變化，系統(tǒng)的傳輸效率不會發(fā)生頻率分裂現(xiàn)象，與理論分析的結(jié)果一致.

圖10 傳輸效率與工作頻率和傳輸距離的關(guān)系Fig.10 Transmission efficiency as a function of working frequency and transmission distance

圖11 傳輸效率與工作頻率和系統(tǒng)負載的關(guān)系Fig.11 Transmission efficiency as a function of working frequency and system load

4.3 傳輸效率最佳工作頻率的仿真計算

圖12 最大效率工作頻率理論值與仿真值比較Fig.12 Comparison of maximum efficiency working frequency between theory and simulation values

圖13 最大效率工作頻率值2～4次多項式擬合驗證Fig.13 Verification of maximum efficiency working frequency value by 2-4 polynomial fitting

由圖13可知，擬合曲線的變化趨勢與仿真結(jié)果有較好的吻合性，但是仍存在偏差.為此增加擬合次數(shù)并采用插值法對式(15)進行求解，結(jié)果分別如圖14和15所示，圖中er為頻率相對誤差.

圖14 擬合次數(shù)與頻率相對誤差的關(guān)系Fig.14 Relative frequency error as a function of polynomial fitting times

圖15 不同的函數(shù)插值法與頻率相對誤差間的關(guān)系Fig.15 Relative frequency error as a function of different interpolation methods

在圖14和15中，為了能夠清晰地反映出誤差的大小，限定縱坐標(biāo)的取值范圍是[0, 3‰].由圖14可知，當(dāng)選用8次擬合時，擬合的仿真結(jié)果偏差最小.由圖15可知，樣條插值法的頻率相對誤差較小.在實際計算中，可以在已知系統(tǒng)參數(shù)的條件下，采用樣條插值法或者是8次曲線擬合來得到式(15)的相對精確解.

5 結(jié)論

在MCR-WPT系統(tǒng)中，系統(tǒng)工作頻率的變化會對系統(tǒng)的傳輸性能產(chǎn)生較大的影響.分析了4種拓撲結(jié)構(gòu)下距離和負載的變化對系統(tǒng)共振頻率的影響，表明串串型拓撲結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性最好.利用互感理論研究了系統(tǒng)工作在在理想狀態(tài)和非理想狀態(tài)下的最佳工作頻率，得出以下結(jié)論：

(1) 在分析最佳效率工作頻率時不能忽略頻率對線圈內(nèi)阻的影響，考慮頻率對線圈內(nèi)阻的影響能夠有效地提高分析的準(zhǔn)確性;

(2) 在滿足一定的條件下，可以利用系統(tǒng)的頻率分裂現(xiàn)象在幾乎不降低系統(tǒng)傳輸效率的情況下，有效地提高系統(tǒng)的輸出功率;

(3) MCR-WPT系統(tǒng)中只有當(dāng)接收端共振時，系統(tǒng)傳輸效率才最大，與發(fā)射端是否共振無關(guān);

(4) 頻率分裂只發(fā)生在系統(tǒng)的功率特性中，系統(tǒng)的效率特性并不存在頻率分裂;

(5) 利用插值法和多項式擬合對理想狀態(tài)下的最佳效率工作頻率進行探索求解，仿真分析結(jié)果表明：樣條插值法和8次多項式擬合方法能夠比較精確地反映系統(tǒng)傳輸效率的最佳工作頻率.