高中數(shù)學(xué)微專(zhuān)題教學(xué)設(shè)計(jì)與反思

周文欣

【摘要】以探究直線的非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的幾何意義的微專(zhuān)題設(shè)計(jì)為例，堅(jiān)持以學(xué)生為主的原則，設(shè)計(jì)出符合學(xué)情，能提高學(xué)生思考與歸納能力的微專(zhuān)題.設(shè)計(jì)微專(zhuān)題遵守循序漸進(jìn)的原則，從原始題目得到啟發(fā)，對(duì)題目進(jìn)行變式，層層遞進(jìn)，讓學(xué)生參與探究過(guò)程，學(xué)會(huì)歸納方法，總結(jié)技巧，并能解決這一類(lèi)型的問(wèn)題.學(xué)生能從中體會(huì)數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)樂(lè)趣.教師也能在設(shè)計(jì)微專(zhuān)題的過(guò)程中，換位思考，設(shè)計(jì)出更加貼近學(xué)生情況的題目，整個(gè)設(shè)計(jì)過(guò)程能促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)提升。

【關(guān)鍵詞】微專(zhuān)題設(shè)計(jì);直線非標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程;幾何意義

學(xué)生拿了一道關(guān)于直線的參數(shù)方程的題目以及參考答案過(guò)來(lái)，問(wèn)道：“老師，為什么算線段|AB|的長(zhǎng)時(shí)， |t1t2|這里要乘以 5？”這個(gè)是非標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程，但是這個(gè)傾斜角并不是特殊角，所以不知道這條直線傾斜角的正弦值和余弦值，從而無(wú)法寫(xiě)出直線的標(biāo)準(zhǔn)方程，這樣子 就沒(méi)有書(shū)本上說(shuō)的幾何意義，那到底怎么做呢？答案上為什么最后還要乘以 呢？

具體的問(wèn)題和解答如下：

問(wèn)題：已知直線參數(shù)方程為，它與曲線交于A ，B 兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)。

解：把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得

設(shè)A ，B 對(duì)應(yīng)的 t1、 t2，則 ，

所以，線段|AB|的長(zhǎng)為

因?yàn)檫@一道題以及學(xué)生出現(xiàn)的情況，我設(shè)計(jì)了一個(gè)關(guān)于探究直線的參數(shù)方程中t 幾何意義的微專(zhuān)題。

一、微專(zhuān)題的教學(xué)設(shè)計(jì)

直線的參數(shù)方程主要解決線段的長(zhǎng)度以及線段與線段之間的問(wèn)題，利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)t的幾何意義，能夠大大地減少計(jì)算量。同時(shí)，這也要結(jié)合轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)結(jié)合的思想，下面是探究直線非標(biāo)準(zhǔn)形式下參數(shù)方程 的幾何意義的微專(zhuān)題過(guò)程。

問(wèn)題1：已知直線參數(shù)方程為

它與曲線交于 A， B兩點(diǎn)，求 |AB|的長(zhǎng)。

分析：我們發(fā)現(xiàn)，根據(jù)直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式下|t|的幾何意義，利用公式和韋達(dá)定理可以解得|AB|的長(zhǎng)度。

解：把直線的參數(shù)方程對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)代入曲線方程并化簡(jiǎn)得

設(shè) A、B 對(duì)應(yīng)的 t1、t2 ，則，

所以，線段 的長(zhǎng)為

問(wèn)題2：已知直線參數(shù)方程為（t為參數(shù)），它與曲線交于 A， B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)。

分析：我們可以發(fā)現(xiàn)，所以這不是標(biāo)準(zhǔn)形式。如果我們知道直線的一個(gè)點(diǎn)和傾斜角，我們可以寫(xiě)出直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。消參后得到直線的普通方程為，得到線上一點(diǎn)坐標(biāo)（-1，2），傾斜角為，從而寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程 。接下來(lái)的解答同問(wèn)題1一樣。

問(wèn)題3：已知直線參數(shù)方程為，它與曲線交于A ， B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)。

分析：經(jīng)過(guò)判斷，發(fā)現(xiàn)，不是標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程。但是消參之后，直線的普通方程為，傾斜角并不是特殊角，難以根據(jù)這種方法寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程。

因?yàn)橹挥性谥本€參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)方程的情況下，|t|的幾何意義才成立（|t|的幾何意義：平面內(nèi)過(guò)定點(diǎn)、傾斜角為的直線 的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為（直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式可以寫(xiě)成，此處 ）。我們假設(shè)直線上兩點(diǎn) A、B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA和tB，則： A、 B兩點(diǎn)到的距離分別為|tA|，|tB|）。那么，如果直線的參數(shù)方程不一定是標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，那線上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)距離與 有什么關(guān)系呢？

直線的參數(shù)方程為 ， 。換句話說(shuō)不一定等于 1。設(shè)直線上的一點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式可得

進(jìn)而我們可以得到以下結(jié)論：直線的參數(shù)方程為，如果我們假設(shè)直線 上兩點(diǎn) A、B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為tA ，tB則：

所以，在這題的解答中，即使我們因?yàn)闊o(wú)法知道傾斜角導(dǎo)致寫(xiě)不出直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，但是我們經(jīng)過(guò)推導(dǎo)可以知道，給出任一個(gè)直線的參數(shù)方程，我們都可以根據(jù)上述公式就算出|AB|。

思考與練習(xí)：已知在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為，直線參數(shù)方程為。設(shè)直線與曲線C相交于A ，B 兩點(diǎn)，求的值。

歸納與反思? （1）直線的任一參數(shù)方程中參數(shù)t的意義是：直線l的參數(shù)方程寫(xiě)成 ， R，bR。我們假設(shè)直線l上點(diǎn)A所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為tA，則： A點(diǎn)到點(diǎn)的距離分別為。

（2）計(jì)算弦長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)，可能要用到韋達(dá)定理，計(jì)算會(huì)更方便。

二、關(guān)于設(shè)計(jì)微專(zhuān)題的小結(jié)與反思

“微專(zhuān)題”是解決學(xué)生易錯(cuò)易漏點(diǎn)的一個(gè)非常好的工具，能幫助學(xué)生彌補(bǔ)盲點(diǎn)，強(qiáng)化重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，特別適合高三復(fù)習(xí)使用.直線非標(biāo)準(zhǔn)形式下的參數(shù)方程中參數(shù) 的幾何意義非常適合利用“微專(zhuān)題”這個(gè)工具來(lái)呈現(xiàn)探究過(guò)程.在設(shè)計(jì)“微專(zhuān)題”的過(guò)程中，要清楚知道學(xué)情，了解學(xué)生在哪一方面出現(xiàn)疑惑不能解決.要緊緊抓住這個(gè)“疑惑”來(lái)設(shè)計(jì)問(wèn)題，層層遞進(jìn)，深入挖掘，突破這個(gè)“疑惑”，使學(xué)生醍醐灌頂，印象深刻.與此同時(shí)注意激發(fā)學(xué)生的興趣，創(chuàng)造空間給學(xué)生思考，引起學(xué)生解題的欲望，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，得到解題給自己帶來(lái)的喜悅感.要注意學(xué)生現(xiàn)在的知識(shí)結(jié)構(gòu)，思維水平，通過(guò)設(shè)計(jì)的題目幫助學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)知識(shí)結(jié)構(gòu)，每完成一道題目鼓勵(lì)學(xué)生自行總結(jié)規(guī)律，歸納方法，學(xué)會(huì)技巧，體會(huì)數(shù)學(xué)思想，從質(zhì)量上得到提高.最后通過(guò)鞏固練習(xí)。比如，說(shuō)在這個(gè)設(shè)計(jì)的最后及時(shí)給學(xué)生練習(xí)，更好掌握學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，進(jìn)而對(duì)下節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行調(diào)整.同時(shí)在設(shè)計(jì)練習(xí)中的題目也要進(jìn)行深化，簡(jiǎn)單的變式，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活處理，真正掌握該專(zhuān)題的本質(zhì)。

對(duì)老師而言，“微專(zhuān)題”不僅促進(jìn)教師專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)，還可以更好了解學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的情況.對(duì)學(xué)生而言，“微專(zhuān)題”能提高他們的解題能力，有助思維發(fā)展，感受數(shù)學(xué)的魅力，增加對(duì)數(shù)學(xué)的興趣.

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