基于Bessel-Legendre不等式的連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng)容許性條件

于姍姍, 孫 欣

(沈陽(yáng)師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院, 遼寧 沈陽(yáng) 110034)

廣義系統(tǒng),又稱奇異系統(tǒng)、廣義狀態(tài)空間、微分代數(shù)系統(tǒng)或半狀態(tài)系統(tǒng)等.廣義系統(tǒng)是一類比正常系統(tǒng)更具廣泛形式的動(dòng)力系統(tǒng),廣義系統(tǒng)在航天工程、電路網(wǎng)絡(luò)、網(wǎng)絡(luò)控制、電力系統(tǒng)和無(wú)損傳輸線等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用[1-11].在許多動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中,時(shí)滯的存在往往會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)性能變差、振蕩甚至不穩(wěn)定. 對(duì)時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究引起了眾多學(xué)者的廣泛關(guān)注,并取得大量研究成果.

近年來(lái),很多學(xué)者研究了廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性問(wèn)題. 一般地,廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性分析都是以充分性條件形式給出. 根據(jù)容許性條件是否依賴于時(shí)滯,又分為時(shí)滯依賴型和時(shí)滯獨(dú)立型容許性條件. 對(duì)于時(shí)滯依賴型的容許性條件,系統(tǒng)所允許的時(shí)滯越大,條件的保守性就越小.針對(duì)廣義時(shí)滯系統(tǒng)容許性問(wèn)題,構(gòu)造一個(gè)合適的Lyapunov-Krasovskii泛函(簡(jiǎn)稱L-K泛函)對(duì)于推導(dǎo)更小的保守性條件尤為重要,人們?cè)跇?gòu)造L-K泛函上做了很多工作. 如采用參數(shù)化L-K泛函[2]、增廣的L-K泛函[3-5]和引入三重積分項(xiàng)[3-4]等.

另一方面,能否獲得更小保守性的容許性條件與怎樣處理L-K泛函中求導(dǎo)后的積分項(xiàng)密切相關(guān).在處理L-K泛函中求導(dǎo)后的積分項(xiàng)上,積分不等式被廣泛應(yīng)用于時(shí)滯系統(tǒng)[12-16],通過(guò)積分不等式對(duì)L-K泛函中求導(dǎo)后的積分項(xiàng)的處理,可以方便地將L-K泛函求導(dǎo)后的積分項(xiàng)轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式(簡(jiǎn)稱LMI),并用MATLAB中LMI工具箱求解.例如,Jensen不等式[12]和Wirtinger不等式[13]被用來(lái)處理L-K泛函求導(dǎo)后的積分項(xiàng). 此外,Jensen不等式和Wirtinger不等式也被應(yīng)用于廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性分析[4-5].

文獻(xiàn)[14-15]中提出Bessel-Legendre不等式(簡(jiǎn)稱B-L不等式),B-L不等式相比Jensen不等式和Wirtinger不等式對(duì)積分項(xiàng)的放大程度更小,更接近被放大積分項(xiàng)的真值,具體說(shuō)明可見(jiàn)文獻(xiàn)[15].B-L不等式被用于時(shí)滯系統(tǒng)[16]. 然而,如果將B-L不等式應(yīng)用連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng),最后容許性條件難以表示成可解的LMI形式,所以對(duì)于廣義時(shí)滯系統(tǒng),并沒(méi)有發(fā)現(xiàn)B-L不等式的應(yīng)用.

本文針對(duì)連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng),建立了一個(gè)新構(gòu)造的增廣的L-K泛函并結(jié)合B-L不等式,獲得以LMI形式表示的保守性更小的容許性條件.通過(guò)數(shù)值算例說(shuō)明所用方法的有效性.

Rn表示n維歐幾里得空間;Rm×n代表m×n實(shí)矩陣;X>0(或X≥0)表示X是正定(或半正定)矩陣,X>Y(或X≥Y)表示X-Y是正定(或半正定)矩陣;‖x‖表示向量x的歐幾里得范數(shù);I代表適維的單位矩陣;縮寫diag{…}代表塊對(duì)角矩陣;上標(biāo)“T”代表矩陣的轉(zhuǎn)置;符號(hào)“*”表示矩陣中的對(duì)稱項(xiàng);sym{Z}代表Z+ZT是矩陣Z與矩陣Z轉(zhuǎn)置之和.

1 問(wèn)題描述

考慮如下連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng):

(1)

其中,x(t)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量,Rn是定義在實(shí)數(shù)域上的n維向量空間,參數(shù)h>0表示定常時(shí)滯,φ(t)∈R是連續(xù)的向量值初始函數(shù). 矩陣E∈Rn×n且rank(E)=r≤n.A,Ad為已知適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣.

定義1[1]若det(sE-A)≠0,則稱矩陣對(duì)(E,A)是正則的;若deg(det(sE-A))=rank(E),則稱矩陣對(duì)(E,A)是無(wú)脈沖的;若det(sE-A)=0的根全部具有負(fù)實(shí)部,則稱矩陣對(duì)(E,A)是穩(wěn)定的;若矩陣對(duì)(E,A)是正則,無(wú)脈沖,穩(wěn)定的, 則稱為容許的.

引理1[15](三階B-L不等式)對(duì)于矩陣W∈Rn×n,W>0,參數(shù)b>a,向量函數(shù)x:[a,b]→Rn, 則以下不等式成立:

其中

引理2[15](四階B-L積分不等式)對(duì)于矩陣W∈Rn×n,W>0,參數(shù)b>a,向量函數(shù)x:[a,b]→Rn,則以下積分不等式成立:

其中,

2 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于給定的參數(shù)h>0,連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng)(1)是容許的. 若存在正定矩陣,P=(Pij)∈R5n×5n(i,j=1,2,…,5.),Pij∈Rn×n,正定矩陣Q,W,S和任意矩陣Z,L∈Rn×(n-r)為列滿秩常數(shù)矩陣,且ETL=0,滿足下面線性矩陣不等式:

其中:

Γ3=-he3+2he4;

Γ4=he3-6he4+12he5;

證明 證明分為2部分,先證明正則性,無(wú)脈沖性;再證明穩(wěn)定性.首先證明系統(tǒng)(1)是正則,無(wú)脈沖的.式(2)可以寫成

Φ=Φ1+Φ2<0.

(3)

其中:

(5)

(6)

(7)

則有

(8)

定義

又

(11)

(12)

(13)

其中:

(14)

(15)

利用式(8)和式(11),系統(tǒng)(1)可以寫成

(16)

即

其中:

由奇異系統(tǒng)受限等價(jià)變換可知,系統(tǒng)(1)與系統(tǒng)(16)在穩(wěn)定性上是等價(jià)的. 為系統(tǒng)(16)選擇如下形式的L-K泛函:

其中:

沿著系統(tǒng)(16)關(guān)于t對(duì)V(ξ(t))求導(dǎo)數(shù),得

(21)

從而

從而

(22)

(23)

由式(17),式(18)和式(21)～式(23),整理得

其中:

利用式(15),下面的證明步驟類似于文獻(xiàn)[7]中引理2.2和文獻(xiàn)[6]中定理1,可得出系統(tǒng)(1)是穩(wěn)定的,因此系統(tǒng)(1)是容許的. 證畢.

注釋1 通過(guò)引入積分項(xiàng)

將η(t)增維,得到增廣的L-K泛函V1(ξ(t)),這樣更有利于使用三階B-L不等式及四階B-L積分不等式.否則,直接應(yīng)用B-L不等式可能造成LMI無(wú)解.

注釋2 利用保守性較小的三階B-L不等式及四階B-L積分不等式處理泛函求導(dǎo)后的積分項(xiàng),得到了連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng)容許性條件. 正是由于利用了這些新技術(shù),本文得到的容許性條件比現(xiàn)有文獻(xiàn)中的結(jié)果具有更小的保守性.

3 數(shù)值算例

例1 考慮如下連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng)[2]:

其中c為參數(shù),通過(guò)MATLAB的LMI工具箱求解,表1分別列出文獻(xiàn)[2,8-9,4-5]及定理1算出系統(tǒng)允許最大時(shí)滯hmax. 說(shuō)明本文所用的方法具有更小的保守性.

表1 系統(tǒng)允許最大時(shí)滯hmaxTable 1 The maximal allowable delays hmax for system

注: N為時(shí)滯分割的區(qū)間數(shù)目.

4 結(jié) 論

本文研究了連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性條件.通過(guò)構(gòu)造新的含有增廣向量的L-K泛函,結(jié)合保守性較低的B-L不等式處理技巧,得到新的連續(xù)廣義時(shí)滯系統(tǒng)的容許性條件.最后,通過(guò)MATLAB中LMI工具箱求解,對(duì)數(shù)值例子進(jìn)行計(jì)算,與現(xiàn)有結(jié)果進(jìn)行比較,說(shuō)明了本文采用方法的有效性和優(yōu)越性.