在“一一列舉”中培養(yǎng)邏輯思維能力

曹艷紅

《鴿巢問題》是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)廣角中的內(nèi)容。鴿巢問題又稱為抽屜原理，是數(shù)學(xué)重要原理之一，在現(xiàn)實(shí)生活中有廣泛的應(yīng)用。這部分內(nèi)容對(duì)于不少學(xué)生來說十分抽象，所以教師難教，學(xué)生難學(xué)。筆者在深入研究教材、充分了解學(xué)生的基礎(chǔ)上，在“一一列舉”這一環(huán)節(jié)，重視搭建“一一列舉”這個(gè)腳手架，讓學(xué)生的思維順著“一一列舉”拾級(jí)而上，逐步提升，讓數(shù)學(xué)邏輯推理能力得以培養(yǎng)，讓抽屜原理的數(shù)學(xué)模型得以構(gòu)建。

一、在一一列舉中理解

通過課前交談，教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)鴿巢問題基本形式表述中的“總有”“至少”等關(guān)鍵詞沒有真正理解。這兩個(gè)詞語是分析和理解問題的關(guān)鍵，這一單元所有的討論都由此展開，是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。雖然教師在前一環(huán)節(jié)讓學(xué)生整體讀一遍題目，“4支鉛筆放在3個(gè)筆筒里，總有一個(gè)筆筒至少有2支鉛筆”后，再問學(xué)生“總有、至少”分別是什么意思，學(xué)生能說出“總有就是一定有，至少就是最少、最起碼”，但還有不少學(xué)生理解不透，甚至產(chǎn)生這樣的疑問：“一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆，還有的筆筒里連1支筆都沒有，這個(gè)筆筒里的筆不是最少的嗎？”因此，在學(xué)生動(dòng)手把4支鉛筆放到3個(gè)筆筒時(shí)，不管學(xué)生用哪一種放法，筆者都追問：“總有一個(gè)筆筒里至少有2支鉛筆，這種擺法中究竟是哪個(gè)筆筒？為什么是這個(gè)筆筒？”學(xué)生給這種情況做上標(biāo)記，認(rèn)識(shí)到研究的就是這種特殊情況，至少放進(jìn)2支筆就是最少是2支，比2支多也是可以的，3支、4支都是符合要求的。

這種引導(dǎo)加深了學(xué)生對(duì)鴿巢問題的基本形式中關(guān)鍵詞語的理解，形成了對(duì)抽屜原理的初步認(rèn)識(shí)。

二、在一一列舉中思維

學(xué)生動(dòng)手操作時(shí)，往往處于一種無序的狀態(tài)。因此，在分小組展示時(shí)，教師提出這樣的問題：“你發(fā)現(xiàn)有幾種擺法？怎樣做到既不重復(fù)也不遺漏？”在思考的基礎(chǔ)上，學(xué)生再次梳理操作過程，自主記錄四種情況的思維過程：①把4支鉛筆全部放到第1個(gè)筆筒里，第2個(gè)筆筒和第3個(gè)筆筒里鉛筆的支數(shù)則為0。②然后把第1個(gè)筆筒放3支鉛筆，剩下1支鉛筆，放到第2個(gè)筆筒，則第3個(gè)筆筒里鉛筆支數(shù)為0。③放2支鉛筆到第1個(gè)筆筒，剩下2支鉛筆放到第2個(gè)筆筒，則第三個(gè)筆筒里鉛筆支數(shù)為0。④第1個(gè)筆筒里放2支鉛筆，第2個(gè)筆筒放1支鉛筆，剩下1支放進(jìn)第3個(gè)筆筒里了，學(xué)生在有序操作過程中，邊說邊展示分的過程和分的結(jié)果，經(jīng)歷了直觀形象地理解抽屜原理的形成過程，不僅積累了基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，而且培養(yǎng)了思維的條理性，為培養(yǎng)邏輯思維奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

三、在一一列舉中優(yōu)化

教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行到這里，教師讓學(xué)生觀察四種擺法“哪一種與眾不同，并說說理由”。學(xué)生交流中指出，4支鉛筆放在3個(gè)筆筒里，先在每個(gè)筆筒里放1支，剩下1支放在任意一個(gè)筆筒里，也就是上面講的第④種分法，會(huì)產(chǎn)生至少有一個(gè)筆筒放2支。這種擺法，是什么方法？學(xué)生通過對(duì)一一列舉中這4種擺法進(jìn)行觀察分析，原來第④種是一種最特殊的情況，也是最不利原則。

當(dāng)我們以后面對(duì)當(dāng)數(shù)量比較大的鴿巢問題時(shí)，還把所有情況一一列舉出來嗎？你認(rèn)識(shí)到一一列舉有什么局限性？學(xué)生認(rèn)識(shí)到，當(dāng)數(shù)量比較大時(shí)，一一列舉就不可能把所有情況都列舉出來。此時(shí)學(xué)生認(rèn)識(shí)到，像這種盡量平均分就是一種“假設(shè)法”，先假設(shè)每一個(gè)筆筒都有。以“平均分”直觀展示，學(xué)生從“一一列舉”中與已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)生聯(lián)系，讓思維逐步走向深入。

四、在一一列舉中歸納

抽屜原理難，難在模型的建立上。因此筆者設(shè)計(jì)了一組練習(xí)，讓學(xué)生填一填：

5支鉛筆放在4個(gè)筆筒里，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒至少有（ ）支鉛筆。

6支鉛筆放在5個(gè)筆筒里，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒至少有（? ?）支鉛筆。

7支鉛筆放在6個(gè)筆筒里，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒至少有（? ?）支鉛筆。

……

100支鉛筆放在99個(gè)筆筒里，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒至少有（? ? ）支鉛筆;（? ? ）支鉛筆放在（? ? ）個(gè)筆筒里，不管怎么放，總有一個(gè)筆筒至少有（? ? ）支鉛筆。

這樣做可以引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)鉛筆和筆筒的數(shù)量關(guān)系，形成對(duì)這類問題的一般性理解，總結(jié)歸納這一類“抽屜原理”的一般性結(jié)論：鉛筆數(shù)總比筆筒數(shù)多1，多的這個(gè)1不管放在哪個(gè)筆筒，總有一個(gè)筆筒至少有2支鉛筆。然后，筆者又設(shè)計(jì)一組題：

5個(gè)人搶4個(gè)凳子，總有一個(gè)凳子至少坐（? ）個(gè)人。

8只鴿子飛進(jìn)放在7個(gè)鴿巢，總有一個(gè)鴿巢至少有（? ）只鴿子。

10個(gè)蘋果放在9個(gè)抽屜里，不管怎么放，總有一個(gè)抽屜里至少有（? ）個(gè)蘋果。

這些問題屬于抽屜原理類型，能讓學(xué)生在解釋應(yīng)用中進(jìn)一步深刻理解蘊(yùn)含的抽屜原理，進(jìn)而分析歸納抽屜原理的待放物品數(shù)量與抽屜數(shù)量的關(guān)系，從而初步構(gòu)建抽屜原理的數(shù)學(xué)模型。

（作者單位：棗陽市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

責(zé)任編輯? 張敏