例談轉(zhuǎn)化與化歸思想在解題中的應(yīng)用

一、思想方法解讀

1.轉(zhuǎn)化與化歸思想

化歸是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)的簡(jiǎn)稱(chēng)，其基本內(nèi)涵是：在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常將待解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題A，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化手段，歸結(jié)為另一問(wèn)題B，而問(wèn)題B是相對(duì)較容易解決的或已經(jīng)有固定解決程式的問(wèn)題，且通過(guò)問(wèn)題B的解決可以得到原問(wèn)題A的解答.用框圖可直觀地表示為：

其中問(wèn)題B成為化歸目標(biāo)或方向，轉(zhuǎn)化的手段成為化歸策略.化歸思想有著堅(jiān)實(shí)的客觀基礎(chǔ)，它著眼于揭示聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，通過(guò)矛盾轉(zhuǎn)化解決問(wèn)題.

2.轉(zhuǎn)化與化歸的原則

（1）熟悉化原則：將陌生的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題來(lái)解決.

（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問(wèn)題化歸為簡(jiǎn)單問(wèn)題，通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單問(wèn)題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問(wèn)題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).

（3）和諧化原則：化歸問(wèn)題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧統(tǒng)一的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.

（4）直觀化原則：將比較抽象的問(wèn)題化為比較直觀的問(wèn)題來(lái)解決.

（5）正難則反原則：當(dāng)問(wèn)題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問(wèn)題的反面，設(shè)法從問(wèn)題的反面去探求，使問(wèn)題獲解.

3.轉(zhuǎn)化與化歸的基本類(lèi)型

（1）正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化，即正難則反，特殊化原則.

（2）常量與變量的轉(zhuǎn)化，即在處理多元問(wèn)題時(shí)，選取其中的常量（或參數(shù)）當(dāng)“主元”，其他的變量看作常量.

（3）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即利用對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論來(lái)研究圖形性質(zhì)，也可利用圖形直觀提供思路，直接地反映函數(shù)或方程中的變量之間的關(guān)系.

（4）數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化，如利用向量方法解立體幾何問(wèn)題，用解析幾何方法處理平面幾何、代數(shù)、三角問(wèn)題等.

（5）相等與不等之間的轉(zhuǎn)化，如利用均值不等式、判別等.

（6）實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化要注意依據(jù)問(wèn)題本身所提供的信息，利用動(dòng)態(tài)的思維，去求有利于問(wèn)題解決的轉(zhuǎn)化與化歸的途徑與方法.

4.轉(zhuǎn)化與化歸的常見(jiàn)方法

（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問(wèn)題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問(wèn)題.

（2）換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問(wèn)題.

（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過(guò)互相變換獲得轉(zhuǎn)化途徑.

（4）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問(wèn)題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化.

（5）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問(wèn)題變?yōu)橐子诮鉀Q的問(wèn)題.

（6）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問(wèn)題是轉(zhuǎn)化方法的一個(gè)重要途徑.

（7）類(lèi)比法：運(yùn)用類(lèi)比推理，猜測(cè)問(wèn)題的結(jié)論，易于確定轉(zhuǎn)化途徑.

（8）特殊法：把原問(wèn)題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問(wèn)題.

（9）一般化方法：若原問(wèn)題是某個(gè)一般化形式問(wèn)題的特殊形式且又較難解決，可將問(wèn)題通過(guò)一般化的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

（10）等價(jià)問(wèn)題法：把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的.

（11）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時(shí)，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即把命題的結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件，從而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易證明的命題.加強(qiáng)命題法是非等價(jià)轉(zhuǎn)化方法.

（12）補(bǔ)集法：如果正面解決原問(wèn)題有困難，可把原問(wèn)題結(jié)果看作集合A，而把包含該問(wèn)題的整體問(wèn)題的結(jié)果類(lèi)比為全集U，通過(guò)解決全集U及補(bǔ)集，從而獲得原問(wèn)題的解決.

以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.

二、活學(xué)典例印證

考向1：正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化

【考情分析】? 此類(lèi)問(wèn)題多以填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，屬中檔題.主要涉及函數(shù)、解析幾何中的存在性問(wèn)題或含“至多”“至少”等詞語(yǔ)的問(wèn)題.

【方法突破】? 在探討某一問(wèn)題的解決辦法時(shí)，如果我們按照習(xí)慣的思維方式從正面思考遇到困難，則應(yīng)從反面的方向去探索.在解決該類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一定要注意搞清結(jié)論的反面是什么，即搞清問(wèn)題的否定形式.一般性難以解決的問(wèn)題，可以考慮從特殊性來(lái)解決.

例1? ?給定實(shí)數(shù)a，a≠0且a≠1，設(shè)函數(shù)y= x-1 ax-1 （其中x∈ R 且x≠ 1 a ），證明：

經(jīng)過(guò)這個(gè)函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線不平行于x軸.

證明：? 設(shè)M1（x1，y1）、M2（x2，y2）是函數(shù)圖象上任意兩個(gè)不同的點(diǎn)，則x1≠x2.

假設(shè)直線M1M2平行于x軸，則必有y1=y2，

即 x1-1 ax1-1 = x2-1 ax2-1 ，

整理得a（x1-x2）=x1-x2.

由x1≠x2，得a=1，這與已知條件“a≠1”矛盾，因此假設(shè)不成立，即直線M1M2不平行于x軸.

點(diǎn)評(píng)： 該題正面求證很困難，但通過(guò)找出反面的矛盾，從而證明原命題的正確.本題中“不平行”的否定是“平行”，通過(guò)假設(shè)“直線平行”，然后得出矛盾，從而推翻假設(shè).

例2? ?若橢圓C的方程為 x2 5 + y2 m =1，焦點(diǎn)在x軸上，與直線y=kx+1總有公共點(diǎn)，那么m的取值范圍為? ? ? .

解析：? 由橢圓C的方程及焦點(diǎn)在x軸上，知0

又直線與橢圓總有公共點(diǎn)，直線恒過(guò)點(diǎn)（0，1），

則定點(diǎn)（0，1）必在橢圓內(nèi)部或邊界上，

則 02 5 + 12 m ≤1，即m≥1.

故m的取值范圍為[1，5）.

點(diǎn)評(píng)： 特殊與一般轉(zhuǎn)化法是在解決問(wèn)題過(guò)程中，將某些一般問(wèn)題進(jìn)行特殊化處理或?qū)⒛承┨厥鈫?wèn)題進(jìn)行一般化處理的方法.本題抓住直線過(guò)定點(diǎn)（0，1），這一特殊點(diǎn)必在橢圓內(nèi)部或邊界上，從而較方便的得出結(jié)果.

考向2：常量與變量的轉(zhuǎn)化

【考情分析】? 此類(lèi)問(wèn)題既有填空題，也有解答題，難度適中，屬中檔題，主要涉及求參數(shù)的取值（或取值范圍）問(wèn)題.

【方法突破】? 在含有兩個(gè)變量x和a的問(wèn)題中，若視x為未知量確定a的取值有些繁瑣時(shí)，解答中可視x為常量， 轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程或不等式問(wèn)題求解.

例3? ?對(duì)于滿足0≤p≤4的一切實(shí)數(shù)，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，試求x的取值范圍.

分析：? 習(xí)慣上把x當(dāng)作自變量，記函數(shù)y=x2+（p-4）x+3-p，于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)p∈[0，4]時(shí)，y>0恒成立，求x的取值范圍.解決這個(gè)等價(jià)的問(wèn)題需要應(yīng)用二次函數(shù)以及二次方程的區(qū)間根原理，可想而知，這是相當(dāng)復(fù)雜的.

解析：? 設(shè)函數(shù)f（p）=（x-1）p+（x2-4x+3），顯然x≠1，則f（p）是p的一次函數(shù)，要使f（p）>0恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f（0）>0，且f（4）>0時(shí)，解得x的取值范圍是（-∞，-1）∪（3，+∞）.

點(diǎn)評(píng)： 本題看上去是一個(gè)不等式問(wèn)題，但是經(jīng)過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化，把它化歸為關(guān)于p的一次函數(shù)，利用一次函數(shù)的單調(diào)性求解，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)換變量角色.在有幾個(gè)變量的問(wèn)題中，常常有一個(gè)變?cè)幱谥饕匚?，我們稱(chēng)之為主元，由于思維定勢(shì)的影響，在解決這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，我們總是緊緊抓住主元不放，這在很多情況下是正確的.但在某些特定條件下，此路往往不通，這時(shí)若能變更主元，轉(zhuǎn)移變?cè)趩?wèn)題中的地位，就能使問(wèn)題迎刃而解.

考向3：數(shù)與形的轉(zhuǎn)化

【考情分析】? 此類(lèi)問(wèn)題多以填空題的形式出現(xiàn)，難度適中，屬中檔題，主要涉及函數(shù)或方程、解析幾何、平面向量中的問(wèn)題.

【方法突破】? 通過(guò)數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，可以利用對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論來(lái)研究圖形的性質(zhì)，也可以利用幾何圖形直接地反映函數(shù)或方程中變量關(guān)系，有時(shí)還能由幾何圖形提示解決問(wèn)題.

例4? ?求函數(shù)f（x）= x2-4x+13 + x2-12x+37? 的最小值.

解析：? f（x）= x2-4x+13 + x2-12x+37

= （x-2）2+（0-3）2 + （x-6）2+（0-1）2 ，

設(shè)A（2，3），B（6，1），P（x，0），則上述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PB|的最小值，如圖點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C（2，-3），

因?yàn)閨PA|+|PB|=|PC|+|PB|≥|BC|=4 2 ，

所以f（x）的最小值為4 2 .

點(diǎn)評(píng)： 本題如果直接對(duì)原式進(jìn)行變形，有一定運(yùn)算量，效率也不高，但將式子轉(zhuǎn)化為這種點(diǎn)與點(diǎn)距離公式之后，它的幾何意義就凸現(xiàn)出來(lái)了，利用數(shù)形結(jié)合的方法，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題.數(shù)形結(jié)合思想方法也是常見(jiàn)的重要方法.

考向4：數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化

【考情分析】? 數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化是一種重要的解題策略，應(yīng)用十分廣泛，此類(lèi)問(wèn)題多以解答題的形式考查，難度適中，屬中檔題，其中三角換元是高考的?？純?nèi)容之一.

【方法突破】? 常見(jiàn)方法用代數(shù)法解三角問(wèn)題、用三角法解解析幾何問(wèn)題，用向量方法解立體幾何問(wèn)題，用解析幾何方法處理平面幾何、代數(shù)、三角問(wèn)題，立體幾何中位置關(guān)系的論證，角和距離的計(jì)算都需要轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題來(lái)處理，運(yùn)用這些解題的策略，往往能提高創(chuàng)新思維能力.

例5? ?若關(guān)于x的方程cos2x+4asinx+a-2=0在區(qū)間[0，π]上有兩個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是? ? ? .

解析：? cos2x+4asinx+a-2

=1-2sin2x+4asinx+a-2

=-2sin2x+4asinx+a-1，

令t=sinx，t∈[0，1]，則原題轉(zhuǎn)化為方程-2t2+4at+a-1=0在（0，1）上有兩個(gè)不同的根.

令f（t）=-2t2+4at+a-1，由二次函數(shù)圖象可知： Δ>0f（0）<0f（1）<00< 4a 4 <1 解得： 1 2

點(diǎn)評(píng)： 本題涉及到多種轉(zhuǎn)化，一是三角函數(shù)的異名化同名，三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，二是方程的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問(wèn)題.

例6? ?如下圖所示，圖（a）為大小可變化的三棱錐PABC.

（1）將此三棱錐沿三條側(cè)棱剪開(kāi)，假定展開(kāi)圖剛好是一個(gè)直角梯形P1P2P3A，如圖（b）所示.求證：側(cè)棱PB⊥AC;

（2）由（1）的條件和結(jié)論，若三棱錐中PA=AC，PB=2，求側(cè)面PAC與底面ABC所成角.

解析：? （1）在平面圖中P1A⊥P1B，P2B⊥P2C.故三棱錐中，PB⊥PA，PB⊥PC，

且PA∩PC=P，∴PB⊥平面PAC，AC平面PAC，∴PB⊥AC.

（2）由（1）在三棱錐中作PD⊥AC于D，連結(jié)BD.∵PB⊥AC，PD⊥AC，

且PB∩PD=P，∴AC⊥平面PBD，BD平面PBD，∴BD⊥AC，∴∠PDB是所求二面角的平面角，在展開(kāi)圖中，連BP3得BP3⊥AC，作AE⊥CP3于E，得AE=P1P2=4.

設(shè)P3A=AC=x，則P1A=AC=P3A=x，由P2C=CP3，CE=EP3= x 3 = x2-42 ，∴EP3= 2 .

故CP3=2 2 ，P2P3=4 2 ，

由AC·DP3=CP3·AE得DP3= 8 3 ，

又BP3= BP22+P2P23 =6，

所以BD=BP3-DP3= 10 3 .

在△PDB中，cos∠PDB= 4 5 ，

∴側(cè)面PAC與底面ABC所成的角的余弦值為 4 5 .

點(diǎn)評(píng)： 立體幾何中有關(guān)位置關(guān)系的論證實(shí)際上是位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，有關(guān)空間角的計(jì)算往往是轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的角來(lái)求解.

考向5：相等與不等之間的轉(zhuǎn)化

【考情分析】? 此類(lèi)問(wèn)題多以填空題的形式考查，難度適中，屬中檔題，主要涉及函數(shù)的值域、均值不等式、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題.

【方法突破】? 含參變量的不等式中，求參數(shù)取值范圍是高考的一大熱點(diǎn)，當(dāng)變量易于分解時(shí)，轉(zhuǎn)化為a0>f（x）（或a0

例7? ?若正數(shù)a、b滿足ab=a+b+3，則ab的取值范圍是? ? ? .

分析一：? 運(yùn)用均值不等式定理a+b≥2 ab ，將原等式轉(zhuǎn)化為不等式.

解析一：? ∵a、b為正數(shù)，∴a+b≥2 ab .

∵ab=a+b+3，∴ab≥2 ab +3.

∴（ ab ）2-2 ab -3≥0.

∴ ab ≤-1（舍）， ab ≥3，

∴ab≥9，∴ab的取值范圍為[9，+∞）.

分析二：? 由ab=a+b+3，從中解出b，代入ab中，將二元轉(zhuǎn)化為一元.

解析二：? 由ab=a+b+3，得b= a+3 a-1 ，

∴ab= a2+3a a-1 ，a>0，b>0，∴a>1.

∴ab=a-1+ 4 a-1 +5≥2 （a-1）· 4 a-1? +5=9.

當(dāng)且僅當(dāng)a-1= 4 a-1 ，即a=3或a=-1（舍）時(shí)取等號(hào).

∴ab的取值范圍為[9，+∞）.

點(diǎn)評(píng)： 將一個(gè)等式轉(zhuǎn)化為一個(gè)不等式，是求變量取值范圍的重要方法.

考向6：實(shí)際問(wèn)題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化

【考情分析】? 實(shí)際問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，在實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題解決時(shí)，所涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)并不多，關(guān)鍵是將實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.通過(guò)觀察分析，直覺(jué)領(lǐng)悟，注重對(duì)邏輯思維能力、理性思維能力和解題方法的考查.

【方法突破】? 數(shù)學(xué)的本質(zhì)可以說(shuō)是變量的數(shù)學(xué).因此對(duì)變量與常量的辨別與理解至關(guān)重要，在審題中要關(guān)注好每個(gè)量的由來(lái)與界定，解題中要關(guān)注變量與常量的相對(duì)性和層次性，切實(shí)做到合理選擇，辨別清楚.應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題能力的培養(yǎng)，對(duì)提高解答數(shù)學(xué)應(yīng)用題的能力有著很大幫助.

例8? ?海岸線MAN，∠A=2θ，現(xiàn)用長(zhǎng)為l的攔網(wǎng)圍成一養(yǎng)殖場(chǎng)，其中B∈MA，C∈ N A.

（1）若BC=l，求養(yǎng)殖場(chǎng)面積最大值;

（2）若B、C為定點(diǎn)，BC

（3）若（2）中B、C可選擇，求四邊形養(yǎng)殖場(chǎng)ACDB面積的最大值.

解析：? （1）設(shè)AB=x，AC=y，x>0，y>0.

l2=x2+y2-2xycos2θ≥2xy-2xycos2θ，

xy≤ l2 2-2cos2θ = l2 4sin2θ ，

S= 1 2 xysin2θ≤ 1 2 · l2 4sin2θ ·2sinθcosθ= l2cosθ 4sinθ ，

所以，△ABC面積的最大值為 l2cosθ 4sinθ ，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取到.

（2）設(shè)AB=m，AC=n（m，n為定值）.BC=2c（定值），由DB+DC=l=2a，a= 1 2 l，知點(diǎn)D在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上，S△ABC= 1 2 mnsin2θ為定值.只需△DBC面積最大，需此時(shí)點(diǎn)D到BC的距離最大，即D必為橢圓短軸頂點(diǎn).b= a2-c2 =? l2 4 -c2 ，S△BCD面積的最大值為 1 2 ·2c·b=c·? l2 4 -c2 ，

因此，四邊形ACDB面積的最大值為 1 2 m·n·sin2θ+c·? l2 4 -c2 .

（3）先確定點(diǎn)B、C，使BC

△ACD≌△ABD，∠CAD=∠BAD=θ，且CD=BD= l 2 .

S=2S△ACD=2· 1 2 ·AC·AD·sinθ.

由（1）的同樣方法知，AD=AC時(shí)，三角形ACD面積最大，最大值為 1 2 · l 2 ·? l 4? tan θ 2? .

所以，四邊形ACDB面積最大值為 l2 8tan θ 2? .

點(diǎn)評(píng)： 本題主要特點(diǎn)是出現(xiàn)的字母比較多，但有些是常量，有些是變量.常見(jiàn)的錯(cuò)誤是對(duì)題中字母的理解比較膚淺，對(duì)常量變量分辨不清，不大會(huì)轉(zhuǎn)化，容易致誤，如第（2）問(wèn)中的結(jié)果“四邊形ACDB面積的最大值為 1 2 m·n·sin2θ+c·? l2 4 -c2 ”.所以，在應(yīng)用題的解題過(guò)程中，遇到常量變量時(shí)要靈活分辨，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化.

轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法是數(shù)學(xué)中最基本的思想方法.數(shù)學(xué)中一切問(wèn)題的解決都離不開(kāi)轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化;函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉(zhuǎn)化;分類(lèi)討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化，以上幾種思想方法都是轉(zhuǎn)化與化歸思想的具體體現(xiàn).各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構(gòu)造法等都是轉(zhuǎn)化的手段.所以說(shuō)，轉(zhuǎn)化與化歸是數(shù)學(xué)思想方法的靈魂.

（作者：朱振華，江蘇省海門(mén)中學(xué)）