基本電荷量常數(shù)定值綜述

劉 民, 彭 明

(北京東方計(jì)量測試研究所，北京 100086)

1 引 言

2018年11月16日第26屆國際計(jì)量大會(huì)(Conference Generale des Poids et Mesures, CGPM)表決通過了新的國際單位制(SI),于2019年5月20日正式啟用了新SI。其1號(hào)決議定義了“基本電荷量e為1.602 176 634×10-19C”,其中庫侖C=A·s, 電流單位安培A和時(shí)間單位秒s是SI基本單位。在1號(hào)決議的附錄2中提到“真空磁導(dǎo)率μ0,在一定的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度范圍內(nèi)等于4 π ×10-7H·m-1,該不確定度等于本決議通過的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α推薦的不確定度,即2.3×10-10；且未來真空磁導(dǎo)率的數(shù)值將通過實(shí)驗(yàn)確定”。在1號(hào)決議附錄3中電流單位重新定義“安培,符號(hào)A,SI的電流單位。當(dāng)基本電荷量e以單位C,即A·s表示時(shí),將其固定數(shù)值取為1.602 176 634×10-19C來定義安培,其中秒用ΔνCs定義”。

新的國際單位制SI確定了基本電荷量e是一個(gè)沒有不確定度的基本物理常數(shù),同時(shí)把真空磁導(dǎo)率μ0由原來的固定數(shù)值變?yōu)榱司哂胁淮_定度的待測數(shù)值。電流安培作為SI基本單位的地位沒有改變,只是用基本電荷量來重新定義安培。那么基本電荷量的精確數(shù)值是如何確定下來的呢？本文將從電磁學(xué)單位制的內(nèi)在邏輯來說明基本電荷量是計(jì)算出來的,而不是精確測定的。

2 電磁學(xué)單位制簡介

國際單位制SI誕生于1960年第11屆CGPM,選擇的6個(gè)基本SI單位的原則是：所選單位是每個(gè)學(xué)科領(lǐng)域有代表性的,且能夠推導(dǎo)出其它物理量單位的基本單位,它們之間盡量獨(dú)立不相關(guān)。長度單位m,質(zhì)量單位kg,時(shí)間單位s,電流單位A,熱力學(xué)溫度單位K和發(fā)光強(qiáng)度單位cd,成為首批確定下來的國際單位制的基本單位[1]。1971年，新增加了物質(zhì)的量單位mol，共7個(gè)構(gòu)成SI基本單位。電磁學(xué)的其它單位,如電壓單位V、電阻單位Ω、電容單位F、電感單位H等都屬于21個(gè)具有專門名稱的SI導(dǎo)出單位。

依據(jù)能量守恒原理,讓電磁力做功等價(jià)于機(jī)械力做功,或電磁功率等價(jià)于機(jī)械功率,是確定電學(xué)基本單位的原則。庫侖定律和安培定律揭示了電與力之間的關(guān)系。

庫侖定律：

(1)

式中：F是兩個(gè)點(diǎn)電荷之間的力；r是點(diǎn)電荷距離；q1和q2是點(diǎn)電荷的電荷量。ke是庫侖定律公式系數(shù),在絕對(duì)靜電單位制(CGSE)中ke=1是無量綱量；在國際單位制(SI)中ke=4 π ε0,ε0為真空介電常數(shù),單位F/m。

安培定律：

(2)

式中：F是兩條閉合導(dǎo)線c1、c2之間作用力；dl1和dl2是導(dǎo)線上微分線原；r21是線原距離；I1和I2是兩導(dǎo)線上的電流；er21是單位矢量。km是安培定律公式系數(shù),在絕對(duì)電磁單位制(CGSM)中km=1是無量綱量；在國際單位制(SI)中km=μ0/4 π ,μ0為真空磁導(dǎo)率常數(shù),單位H/m。

在SI單位制誕生之前,電磁學(xué)沒有自己獨(dú)立的單位體系,僅依賴于長度、質(zhì)量和時(shí)間量綱,有基于庫侖定律的絕對(duì)靜電單位制CGSE,有基于安培定律的絕對(duì)電磁單位制CGSM,還有混合兩種單位制的高斯單位制CGS,統(tǒng)稱為絕對(duì)單位制。1901年意大利GroigiG提出了MKSA(米、千克、秒、安培)單位制,也稱為實(shí)用單位制[2],電磁學(xué)獨(dú)立的單位體系由此誕生。在1904～1910年的一系列電磁學(xué)國際會(huì)議上確定了兩個(gè)電學(xué)基本量,電流和電阻[3]： “從硝酸銀溶液中以0.001 118g/s電解出銀的恒定電流為1A”； “在水冰融化溫度下,質(zhì)量為14.452 1g、長度為106.300cm橫截面恒定的水銀體的電阻為1Ω”。

1946年CGPM廢除了絕對(duì)單位制,采用MKSA制,僅選擇了電流單位安培為基本單位。把真空磁導(dǎo)率確定為固定數(shù)值,依據(jù)公式(2)定義安培：“在真空中,截面積可忽略的兩根相距1m的平行而無限長的圓直導(dǎo)線內(nèi),通以等量恒定電流,長度為1m的導(dǎo)線間相互作用力為2×10-7N時(shí),則導(dǎo)線中的電流為1A”。安培定義的意義在于規(guī)定電磁力與機(jī)械力等效,是安培定律特例化的描述。定義文字背后的含義是令真空磁導(dǎo)率μ0成為固定的有量綱的無理數(shù),即μ0=4 π ×10-7H/m,其量綱的作用可以使電磁學(xué)單位體系從機(jī)械力學(xué)單位體系中獨(dú)立出來。

基于安培定律原理的電流天平,在計(jì)量應(yīng)用中廣泛用于比較砝碼質(zhì)量,而不能絕對(duì)復(fù)現(xiàn)安培的單位量值。實(shí)際上,用歐姆定律I=U/R來測量電流,然而電壓單位伏特V和電阻單位歐姆Ω,卻不是SI基本單位,這是原SI單位制長期困擾電磁學(xué)溯源的基本問題。

在電學(xué)計(jì)量體系中,實(shí)物電壓基準(zhǔn)有兩種：飽和惠斯頓電池的1.018 V化學(xué)電動(dòng)勢(shì)基準(zhǔn)，齊納二極管的1 V、10 V固態(tài)電壓基準(zhǔn)；其中1.018 V基準(zhǔn)年穩(wěn)定性可達(dá)6×10-7。實(shí)物電阻基準(zhǔn)在1 Ω定值,是錳銅合金絲在骨架上纏繞的四端子標(biāo)準(zhǔn)電阻,年穩(wěn)定性可達(dá)1×10-7。因?yàn)殡娏骱碗姾闪慷疾荒荛L期穩(wěn)定保存,所以電磁學(xué)計(jì)量中沒有電流和電荷量的實(shí)物基準(zhǔn)。

既然安培能作為機(jī)械功率與電磁功率的橋梁,選擇適當(dāng)?shù)南禂?shù)能讓Fv=UI(v是速度,U是電壓),等式兩邊有最簡單的形式,那么能否也可讓基于庫侖定律的電荷量成為機(jī)械力和電磁力的橋梁呢？為什么沒有出現(xiàn)電荷量計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)呢？確定哪個(gè)單位是基本單位的唯一條件是“機(jī)械功率和電磁功率都能用瓦特來測量”[2]。電荷量和電流都有相應(yīng)電磁定律與力學(xué)單位相關(guān)，然而電荷量的測量非常困難,有關(guān)電荷量測量裝置很少,穩(wěn)定性也不高；而電流參數(shù)已經(jīng)在20世紀(jì)初的第二次工業(yè)革命中廣泛應(yīng)用,是功率測量的關(guān)鍵參數(shù),所以電流單位安培成為基本單位是當(dāng)時(shí)實(shí)用單位制的最佳選擇。

3 密立根油滴實(shí)驗(yàn)測定電荷量

1897年湯姆森在陰極射線實(shí)驗(yàn)中,發(fā)現(xiàn)電子并測出了電子的荷質(zhì)比。1911～1913年密立根巧妙地利用油滴在重力場中下落和靜電場中上升的過程,測算得出電荷量是量化的,并且給出了精確的電子電荷量值,用絕對(duì)靜電單位制表示為e=(4.744±0.009)×10-10esu(1 esu = 3.3356×10-10C),測量不確定度0.2%,實(shí)驗(yàn)裝置如圖1[4]。為了防止空氣對(duì)流,測量腔體全部浸入到恒溫液體中；用氣泵控制和水銀氣壓表監(jiān)測腔內(nèi)氣壓,用于調(diào)節(jié)空氣黏度，光學(xué)裝置觀測油滴的運(yùn)動(dòng)時(shí)間,X射線燈改變油滴的電荷量。

圖1 密立根油滴實(shí)驗(yàn)裝置Fig.1 Apparatuses of Millikan’s oil-drop experiment

不施加電場時(shí),細(xì)小的油滴在空氣浮力、空氣黏度和重力的作用下勻速向下運(yùn)動(dòng)；施加電場時(shí),則勻速向上運(yùn)動(dòng),行程約5 mm。測量油滴穿越2條間隔1.5 mm光學(xué)刻線的來回時(shí)間和電壓值,計(jì)算出油滴的電荷量。X射線照射后，油滴上的電荷發(fā)生變化,則變化的電荷量總是基本電荷量的整數(shù)倍。

現(xiàn)在密立根實(shí)驗(yàn)不作為測定基本電荷量數(shù)值的依據(jù),在大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中是經(jīng)典的實(shí)驗(yàn)課程,該實(shí)驗(yàn)的意義在于證實(shí)了基本電荷量是不可細(xì)分的,是量子化的[5]。密立根實(shí)驗(yàn)測定的電荷量準(zhǔn)確度尚不能達(dá)到計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的要求,其它確定電荷量的實(shí)驗(yàn)沒有出現(xiàn),因此至今沒有出現(xiàn)電荷量的量值溯源體系。

4 電學(xué)量子基準(zhǔn)

約瑟夫森電壓標(biāo)準(zhǔn)是復(fù)現(xiàn)電壓量值的自然基準(zhǔn)。在超導(dǎo)體-絕緣膜-超導(dǎo)體組成的約瑟夫森結(jié)上,當(dāng)絕緣膜厚度小于10-8m時(shí),兩邊超導(dǎo)體中的電子氣會(huì)出現(xiàn)相互的弱耦合[6],在圖2(a)的兩個(gè)超導(dǎo)體之間施加電壓V時(shí),絕緣膜(也稱為結(jié))的地方輻射出E=2eV能量的電磁波量子E=h(nf1),e是基本電荷量,h是普朗克常數(shù),f1是電磁波頻率,n=1,2,3,…是諧波次數(shù)；反之,兩超導(dǎo)體被照射頻率為f1的電磁波時(shí),2eV的能量被結(jié)吸收,eV也是能量的單位,在絕緣膜兩邊出現(xiàn)電壓,圖2(b)中把m個(gè)結(jié)串聯(lián)起來可輸出更高的電壓V。于是電壓與電磁波頻率之間存在量子化的聯(lián)系,頻率溯源到原子頻標(biāo)的不確定度很容易達(dá)到10-12,約瑟夫森電壓比對(duì)不確定度可達(dá)10-8量級(jí)。

約瑟夫森電壓標(biāo)準(zhǔn)：

(3)

圖2 約瑟夫森結(jié)上的電壓和電磁波頻率Fig.2 The voltage and frequency of microwave on Josephson junctions

量子化霍爾電阻是復(fù)現(xiàn)電阻量值的自然基準(zhǔn)。半導(dǎo)體異質(zhì)結(jié)的材料界面上,在低溫(1.2 K)條件下會(huì)出現(xiàn)二維電子氣,見圖3。自由電子的空間分布被稱為電子氣,在二維x-y面法線方向上施加磁場B,x方向運(yùn)動(dòng)的電子受洛侖茲力作用,偏向y方向,產(chǎn)生霍爾效應(yīng)電壓Vxy,y方向的霍爾電壓與x方向的電流之比稱為霍爾電阻RH=Vxy/I?；魻栯娮桦S磁場增大而增大,當(dāng)磁場增大到4 T以上時(shí),磁場強(qiáng)度使二維面的載流子濃度出現(xiàn)量化特征,即RH不跟隨磁場的變化而變化,表現(xiàn)為平臺(tái),在磁場增加過程中有多個(gè)平臺(tái)i=1,2,3,…。平臺(tái)出現(xiàn)時(shí)x方向的電壓接近為零,Vxx≈0。RH只有固定的幾個(gè)量值,用低溫電流比較儀電橋進(jìn)行比例變換,可以傳遞更寬的電阻范圍,測量不確定度可達(dá)10-9量級(jí)。

圖3 量子化霍爾電阻原理示意圖Fig.3 Principle of quantum Hall Resistance

量子化霍爾電阻標(biāo)準(zhǔn)：

(4)

式中：RH為霍爾電阻,Ω；h為普朗克常數(shù), J·s；e為基本電荷量,C；i為自然數(shù)。

單電子隧道泵可復(fù)現(xiàn)電流量值在100 pA范圍內(nèi),不確定度達(dá)到10-7量級(jí)[7]。當(dāng)電容器金屬極板和絕緣介質(zhì)的尺寸小到納米量級(jí)時(shí),絕緣介質(zhì)兩邊電子氣的波函數(shù)會(huì)發(fā)生相位相干作用,在電容器施加一定電壓時(shí),電子越過絕緣勢(shì)壘的阻塞,從一邊隧穿到另一邊,在溫度極低(mK量級(jí))條件下,隧穿的電子將一個(gè)一個(gè)地通過絕緣介質(zhì),驅(qū)動(dòng)電壓的頻率f2能控制流過電容的電流I。電流定義為單位時(shí)間通過的電荷量,電子電荷量為e,則單電子隧道泵能夠?qū)崿F(xiàn)電流安培的量值復(fù)現(xiàn)：

I=ef2

(5)

用功率天平測定普朗克常數(shù)h時(shí),使用了約瑟夫森電壓標(biāo)準(zhǔn)和量子化霍爾電阻標(biāo)準(zhǔn)；應(yīng)用這兩個(gè)自然基準(zhǔn)測定普朗克常數(shù)時(shí),基本電荷量e沒有發(fā)揮作用,電功率公式中,電荷量e做為分子和分母相抵消了：

(6)

式中：kV,kR為測量過程中的比例系數(shù),無量綱。

上述3種測量裝置分別把電壓、電阻、電流與普朗克常數(shù)h,和基本電荷量e聯(lián)系在一起,稱為電學(xué)量子三角形[8]。本次SI修訂之前,人們擔(dān)心的是電學(xué)量子三角形能否相互驗(yàn)證,尤其是電流單位能否用基本電荷量來準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)[9]。在新SI啟用之后,這些問題就不存在了,電流單位安培用基本電荷量來定義,既可以用單電子隧道泵復(fù)現(xiàn),也可以用量子電壓和量子電阻來復(fù)現(xiàn)。安培不再與“無限長直導(dǎo)線”相關(guān)聯(lián)了。

(6)

式中：kI為測量過程中的比例系數(shù),無量綱量。

5 基本電荷量的確定

1990年國際上啟用了約瑟夫森常數(shù)KJ-90和馮·克里青常數(shù)RK-90。是否能用這2個(gè)常數(shù)直接計(jì)算基本電荷量e呢？實(shí)際上,這2個(gè)常數(shù)不能直接計(jì)算獲得電荷量,而是用這2個(gè)常數(shù)測定普朗克常數(shù)h,待確定了h再反過來計(jì)算e,這個(gè)過程是電磁學(xué)和機(jī)械力學(xué)之間相互聯(lián)系的過程。如果用KJ-90和RK-90直接計(jì)算的基本電荷量用e′表示,則：

=1.602 176 492×10-19C

(7)

式(7)計(jì)算得到的e′與新SI定義的基本電荷量e=1.602 176 634×10-19C相差了-8.9×10-8C?？梢?基本電荷量不能簡單地由電學(xué)常數(shù)推算。

基本電荷量的定值是通過精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α計(jì)算出來的。精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)是量子力學(xué)、量子電動(dòng)力學(xué)中非常重要的常數(shù),它是與原子結(jié)構(gòu)相關(guān)的常數(shù),α的值聯(lián)系著電磁力和亞原子帶電粒子,尤其決定了原子如何保持住它的電子[10]。20世紀(jì)初期Einstein、Planck、Sommerfeld等物理學(xué)家對(duì)h與e2/c具有相同的量綱(CGS單位制)很感興趣,Sommerfeld開展了大量理論研究[11]。在早期的波爾原子模型中,電子以軌道運(yùn)動(dòng)存在于原子核周圍,α2被推導(dǎo)為氫原子中電子軌道半徑與電子粒子半徑的比值。α也被解釋為氫軌道電子速度與光速的比值,軌道角動(dòng)能的量化值由3變到2 時(shí),氫原子發(fā)射在656.3 nm處的成對(duì)的紅光譜線,被稱作精細(xì)結(jié)構(gòu)譜線,精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)也因此命名。薛定諤的物質(zhì)波理論取代波爾原子模型后,精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)被保留下來,被看作自然界耦合常數(shù)之一,用牛頓力學(xué)中的萬有引力常數(shù)G來類比,精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α可理解為描述所有帶電粒子電磁相互作用強(qiáng)度的參數(shù)。精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α的表達(dá)式由普朗克常數(shù)h,真空光速c,基本電荷量e和真空磁導(dǎo)率μ0組成:

(8)

式中ε0μ0=c-2。

測定α的方法有量子化霍爾電阻效應(yīng)、交流約瑟夫森效應(yīng)、中子的德布羅意波長、μ粒子超精細(xì)結(jié)構(gòu)、銫原子D1線的絕對(duì)光頻和電子磁動(dòng)量等幾種方法[12]；這些方法的測量不確定度均達(dá)到了10-8量級(jí)，其中電子磁動(dòng)量法的測量不確定達(dá)到了2.5×1010[13]。習(xí)慣上用α的倒數(shù)α-1來表示精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)的值,2017年科學(xué)技術(shù)數(shù)據(jù)委員會(huì)CODATA推薦值為：

α-1=137.035 999 173(35)

假設(shè)真空磁導(dǎo)率μ0仍為4 π ×10-7H/m,讓c,h成為SI定義的固定值,計(jì)算基本電荷常數(shù)e：

這就是新SI定義的基本電荷量常數(shù),最后兩位“92”進(jìn)位截?cái)?使用中作為沒有不確定度的數(shù)值。在式(8)中，把c,h,e作為SI固定值,沒有不確定度；那么,只能讓?duì)?為待測值,當(dāng)精細(xì)結(jié)構(gòu)α有最新的測定值后,μ0的值也將重新更新,不再是純無理數(shù)4 π ×10-7,測量不確定度跟隨α的測量結(jié)果而定[14],SI定義中推薦為2.3×10-10。

電荷量的概念可追溯到庫侖扭力秤實(shí)驗(yàn)。湯姆森陰極射線發(fā)現(xiàn)了電子,密立根油滴實(shí)驗(yàn)證實(shí)了電子電荷量是量化的,初步測定了電子電荷量。功率天平利用約瑟夫森常數(shù)KJ-90和馮·克里青常數(shù)Rk-90測定了普朗克常數(shù)h。

一旦普朗克常數(shù)h被認(rèn)為是沒有不確定度的固定值后,再利用精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α公式,就可以確定基本電荷量e的數(shù)值。在精細(xì)結(jié)構(gòu)的表達(dá)式中,把真空磁導(dǎo)率μ0與基本電荷量e的角色互換一下,讓?duì)?作為待測參數(shù),讓e成為固定數(shù)值,最后重新計(jì)算約瑟夫森常數(shù)和馮·克里青常數(shù),去掉下角標(biāo)的“-90”,變成了固定數(shù)值KJ和Rk。這就是電磁學(xué)常數(shù)們?cè)谛聡H單位制SI中的發(fā)展脈絡(luò),見圖4。

圖4 電磁學(xué)單位制與基本電荷量定值的發(fā)展脈絡(luò)Fig.4 Development skeleton of electromagnetic unit systems and defining the value of elementary charge e

6 結(jié) 語

回顧有關(guān)電荷量的歷史,理清測量電荷量的發(fā)展脈絡(luò),有助于深刻理解新的國際單位制SI變革的意義。電磁學(xué)計(jì)量的根基從實(shí)物基準(zhǔn)發(fā)展到量子基準(zhǔn),電磁學(xué)單位體系仍是獨(dú)立的體系,電磁學(xué)與力學(xué)之間的橋梁,從電流單位[安培]轉(zhuǎn)換成真空磁導(dǎo)率,電與力之間更深層次的聯(lián)系在于精細(xì)結(jié)構(gòu)的本質(zhì),有待物理學(xué)繼續(xù)發(fā)展來揭示其中的奧秘。