集值向量均衡問題近似解映射的連續(xù)性

陳斌， 王浩智

(華僑大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 福建 泉州 362021)

均衡問題[1]為許多優(yōu)化有關(guān)的重要問題提供了統(tǒng)一框架，如極值問題、變分不等式、互補(bǔ)問題、納什均衡、極大極小問題、不動點(diǎn)問題,以及交通網(wǎng)絡(luò)等.在過去的20年，均衡問題解及近似解的存在性條件已被廣泛研究[2-8].另一個重要的課題是研究均衡問題解及近似解的穩(wěn)定性和敏感性分析.目前，有很多學(xué)者研究了解及近似解的(半)連續(xù)和H?lder連續(xù)性[9-15].為了獲得解或近似解的(半)連續(xù)性，許多文獻(xiàn)利用了映射的單調(diào)性或者解映射的信息.其中，映射的單調(diào)性可能導(dǎo)致整個解集是單點(diǎn)集.此外，假設(shè)條件中涉及解映射的信息是不合理的，在實踐中很難實現(xiàn).當(dāng)處理含參向量均衡問題解映射的(半)連續(xù)性時，許多文獻(xiàn)利用了標(biāo)量化方法.然而，這一方法只有對含參弱向量均衡問題有效，對強(qiáng)向量均衡問題則不適用.文獻(xiàn)[16]在未使用標(biāo)量化方法的情況下，建立了強(qiáng)向量均衡問題和對偶強(qiáng)向量均衡問題近似解映射的Hausdorff上下半連續(xù)性的充分條件，改進(jìn)了已有文獻(xiàn)中的相關(guān)結(jié)果.

本文主要研究局部凸Hausdorff拓?fù)湎蛄靠臻g中擾動下的集值向量均衡問題的原問題和對偶問題，建立其近似解映射的Hausdorff上下半連續(xù)性的充分條件，改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[16]的已有結(jié)果.

1 預(yù)備知識

令e∈intC.對于(ε，λ)∈R+×Λ，設(shè)SVEP和DSVEP的ε-近似解集分別為

Π(ε，λ)={x∈A|F(x，y，λ)+εe?C，?y∈A}，

Πd(ε，λ)={x∈A|F(y，x，λ)+εe?-C，?y∈A}.

以下先給出一些基本概念和引理.

設(shè)F為X到Y(jié)的集值映射.

定義1[17]ⅰ) 若對于Y中任意滿足F(x0)?U的開子集U，都存在x0的一個鄰域N，使F(N)?U，則稱F在x0處上半連續(xù).

ⅱ) 若Y中滿足F(x0)∩U≠?的任意開子集U，都存在一個x0的鄰域N，使得對于所有的x∈N，都有F(x)∩U≠?，則稱F在x0處下半連續(xù).

ⅲ) 若F在x0處同時為上半連續(xù)和下半連續(xù)，則稱F在x0處連續(xù).

引理1[18]F在x0處是下半連續(xù)的，當(dāng)且僅當(dāng)對于y0∈F(x0)及所有xα→x0，存在ya∈F(xα)，使得yα→y0.

定義2[18]ⅰ)F在x0處稱為Hausdorff上半連續(xù)，如果對于Y中原點(diǎn)的任意鄰域V，都存在x0的鄰域N，使得

F(x)?F(x0)+V， ?x∈N.

ⅱ)F在x0處稱為Hausdorff下半連續(xù)，如果對于Y中原點(diǎn)的任意鄰域V，都存在x0的鄰域N，則使得

F(x0)?F(x)+V， ?x∈N.

ⅲ) 如果F在x0處同時為Hausdorff上半連續(xù)和Hausdorff下半連續(xù)，則F在x0處稱為Hausdorff連續(xù).

引理2[18]ⅰ) 如果F在x0處是上半連續(xù)，那么F在x0處是Hausdorff上半連續(xù)；反之，如果F在x0處是Hausdorff上半連續(xù)，且F(x0)是緊集，那么F在x0處是上半連續(xù).

ⅱ) 如果F在x0處為Hausdorff下半連續(xù)，則F在x0處為下半連續(xù)；反之，如果F在x0處是下半連續(xù)，且F(x0)是緊集，那么F在x0處是Hausdorff下半連續(xù).

定義3如果對于任意ε>0，存在λ0的鄰域N，使得對于所有x，y∈A和λ1，λ2∈N，都有

F(x，y，λ1)?F(x，y，λ2)+ε[-e，e]，

則稱集值映射F:A×A×Λ→2Y關(guān)于e∈intC在λ0處對于(x，y)∈A×A一致連續(xù)，其中,[-e，e]∶={x∈Y|x∈(e-C)∩(-e+C)}.

定義4[18]如果對于任意x1，x2∈A和t∈[0，1]，有

F(tx1+(1-t)x2)?tF(x1)+(1-t)F(x2)+C，

(1)

則稱映射F:X→2Y在凸集A?X上是C-凹的.

如果將式(1)替換為

F(tx1+(1-t)x2)?tF(x1)+(1+t)F(x2)-C，

則稱映射F:X→2Y在凸集A?X上是C-凸的.

對于固定的λ0∈Λ，可以得到以下結(jié)果.

引理3如果對于任意y∈A，F(xiàn)(·，y，λ0)在凸集A上是C-凹的，那么Π(ε，λ0)是凸集.

證明：任取x1，x2∈Π(ε，λ0)?A和t∈[0，1]，那么tx1+(1-t)x2∈A，且對于所有y∈A，有

利用F的C-凹性，對于所有y∈A，有

F(tx1+(1-t)x2，y，λ0)+εe?tF(x1，y，λ0)+(1-t)F(x2，y，λ0)+εe+C?

t[F(x1，y，λ0)+εe]+(1-t)[F(x2，y，λ0)+εe]+C?C，

即tx1+(1-t)x2∈Π(ε，λ0)，從而Π(ε，λ0)是凸集.

2 主要定理和結(jié)果

由于已有文獻(xiàn)對精確解和近似解的存在性進(jìn)行了深入研究，因此總是假定近似解集在參考點(diǎn)(ε0，λ0)附近是非空的.

定理1對于SVEP，假設(shè)在參考點(diǎn)(ε0，λ0)∈R+×Λ的鄰域內(nèi)近似解存在，且

ⅰ)F(x，y，·)關(guān)于e∈intC在λ0處對于(x，y)∈A×A一致連續(xù)；

ⅱ) 對于所有y∈A，F(xiàn)(·，y，λ0)在凸集A上是C-凹的.

那么，Π在(ε0，λ0)處是Hausdorff連續(xù)的.

證明：令δ∈(0，ε0)，取集合N=(ε0-δ，ε0+δ)作為給定的ε0的鄰域.任取ε1，ε2∈N，其中ε1<ε2，實數(shù)η滿足0<η<ε2-ε1，由定理1的假設(shè)條件ⅰ)可知，存在λ0的鄰域Nη(λ0)，使得對于任意的λ1，λ2∈Nη(λ0)和x，y∈A有

F(x，y，λ2)?F(x，y，λ1)+η[-e，e].

(2)

對于任意的λ1，λ2∈Nη(λ0)，下證

Π(ε1，λ1)?Π(ε2，λ2).

(3)

設(shè)x∈Π(ε1，λ1)，則對于所有y∈A，有

F(x，y，λ1)+ε1e?C.

任取z2∈F(x，y，λ2)，由式(2)存在z1∈F(x，y，λ1)及c1∈C，使得z2=z1+η(-e+c1).從而有

z2+ε2e=z1+ε1e+(ε2-ε1)e-ηe+ηc1=z1+ε1e+(ε2-ε1-η)e+ηc1?C,

則F(x，y，λ2)+ε2e?C，?y∈A,即x∈Π(ε2，λ2).

由式(3)可知，對于任意的λ∈Nη(λ0)和ε∈N，有

Π(ε0-δ，λ0)?Π(ε，λ)?Π(ε0+δ，λ0).

(4)

對于滿足1

下證

(5)

任取x1∈Π(γ，λ0)，x2∈Π(ε2，λ0).由A的凸性可知k-1x1+(1-k-1)x2∈A，且對于所有y∈A，有

F(x1，y，λ0)+γe?C，F(xiàn)(x2，y，λ0)+ε2e?C.

因此，有

利用F的C-凹性，對于任意的y∈A，有

即

k-1x1+(1-k-1)x2∈Π(ε1，λ0).

由此可得到式(5)，并由式(5)可得到

則有

由于A是緊集，故它是有界的.因此，對于X中原點(diǎn)的任意閉凸鄰域V，存在ρ>0，使得A-A?ρV.因此有

(6)

Π(ε0，λ0)?Π(ε0-δ0，λ0)+V?Π(ε，λ)+V.

故Π在(ε0，λ0)處是Hausdorff下半連續(xù).

在式(6)中，取ε1=ε0，ε2=ε0+δ0，k=ρ+1，可得到

Π(ε0+δ0，λ0)?Π(ε0，λ0)+V.

結(jié)合式(4)，可得出Π(ε，λ)?Π(ε0，λ0)+V，即Π在(ε0，λ0)處是Hausdorff上半連續(xù).

注1當(dāng)F為單值映射時，就得到了文獻(xiàn)[16]的定理1，定理1推廣了文獻(xiàn)[16]的定理1.

注2定理1的假設(shè)條件ⅱ)是必不可少的，如下例所示.

但由于

顯然有

因此，F(xiàn)的C-凹性條件不滿足. 近似解映射Π在(10-3，0)處不是Hausdorff連續(xù)的. 因為0∈

注3當(dāng)F退化為單值映射時，上例改進(jìn)了文獻(xiàn)[16]中的例1.

注4約束集的緊性條件不能刪除，如下例所示.

例2令X=R，Λ=[0，1]，A=(2，3]，Y=R，C=R+，e=1∈intC，ε0=10-3，λ0=0，且F(x，y，λ)=[λ(x-y)，λ(x-y)+1].易知滿足定理1的假設(shè).通過計算可以得到

Π在(10-3，0)處非下半連續(xù)，由引理2可知，近似解映射Π在(10-3，0)處不是Hausdorff連續(xù)的.

與定理1的證明類似，可以得到集值向量均衡問題的對偶問題近似解映射Hausdorff連續(xù)性的充分性條件.

定理2對于DSVEP，假設(shè)在參考點(diǎn)(ε0，λ0)∈R+×Λ的鄰域內(nèi)近似解存在，且ⅰ)F(y，x，·)關(guān)于e∈intC在λ0處對于(y，x)∈A×A一致連續(xù)；ⅱ) 對于所有y∈A，F(xiàn)(y，·，λ0)在凸集A上是C-凸的.那么，Πd在(ε0，λ0)是Hausdorff連續(xù)的.