熱彈性介質(zhì)中波傳播特征

侯婉婷， 符力耘*， 魏佳， 王志偉

1 中國(guó)石油大學(xué)(華東)深層油氣重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 山東青島 266580 2 中國(guó)科學(xué)院油氣資源研究重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 中國(guó)科學(xué)院地質(zhì)與地球物理研究所， 北京 100029 3 中國(guó)科學(xué)院大學(xué)， 北京 100049

0 引言

高溫介質(zhì)地震波傳播是地?zé)豳Y源勘查、巖石圈高溫結(jié)構(gòu)探測(cè)和深層-超深油氣勘探等領(lǐng)域的重要研究課題.一般而言，高溫引起巖石黏彈性，快縱波波速隨溫度增加而降低，其理論基礎(chǔ)是熱彈性理論，即溫度場(chǎng)彈性動(dòng)力學(xué).熱彈性動(dòng)力學(xué)方程由位移場(chǎng)波動(dòng)方程和溫度場(chǎng)擴(kuò)散方程耦合構(gòu)成.經(jīng)典熱彈性波動(dòng)方程(Biot，1956a；Deresiewicz，1957)基于傅里葉拋物型熱傳導(dǎo)定律，其熱平衡瞬間形成，忽略了溫度變化趨于平衡需要時(shí)間，導(dǎo)致熱彈介質(zhì)中波的速度隨頻率無(wú)限變大的非物理現(xiàn)象(Savage，1966；Armstrong，1984).Lord和Shulman(1967)引入弛豫時(shí)間修正傅里葉熱傳導(dǎo)定律，簡(jiǎn)稱L-S雙曲型熱輻射模型，解決了經(jīng)典熱彈波動(dòng)方程的非物理解問(wèn)題.本文基于L-S雙曲型熱輻射模型，研究熱彈介質(zhì)中彈性波傳播特征和各種熱參數(shù)對(duì)速度頻散和振幅衰減的影響.

溫度對(duì)巖石力學(xué)性質(zhì)的影響以及熱彈介質(zhì)中波傳播的研究由來(lái)已久.Ackerman等(1966)通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了Ward和Wilks(1951)提出的熱彈性介質(zhì)中存在熱縱波(一種準(zhǔn)靜態(tài)慢縱波).Rudgers(1990)對(duì)含弛豫時(shí)間的L-S型熱彈性動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行頻散分析，從理論上預(yù)測(cè)熱彈性介質(zhì)中存在快縱波、橫波和熱波的傳播，兩個(gè)縱波為熱耗散衰減波而橫波不受介質(zhì)熱特性的影響.Carcione等(2018)和Wang等(2019)分別利用偽譜法和格林函數(shù)法求解L-S雙曲型耦合熱彈波動(dòng)方程，模擬熱彈介質(zhì)中快縱波、熱波和橫波的傳播行為，指出了熱彈介質(zhì)中的熱波與孔彈介質(zhì)(Biot，1956b)中的Biot慢縱波具有相似的傳播特征.物理本質(zhì)上，Biot波是由于孔隙介質(zhì)中壓力驅(qū)動(dòng)形成的流體局域流傳播行為；而熱波則是由于P波膨-縮傳播模式在介質(zhì)中產(chǎn)生的溫度梯度，形成的局域熱擴(kuò)散傳播行為.熱彈介質(zhì)與孔彈介質(zhì)的這兩種局域行為均引起彈性波能量的耗散和衰減.上述研究側(cè)重?zé)釓棽▌?dòng)方程的物理解釋和數(shù)值求解方法，熱參數(shù)的影響分析比較簡(jiǎn)單，僅給出了熱導(dǎo)率簡(jiǎn)單變化的影響，證實(shí)模擬方法的有效性.

本文著重研究各種熱參數(shù)對(duì)熱彈性介質(zhì)中彈性波傳播的影響，詳細(xì)分析了熱導(dǎo)率、熱膨脹系數(shù)、比熱、熱擴(kuò)散系數(shù)等介質(zhì)熱參數(shù)的大范圍變化(臨界變化)對(duì)彈性波頻散和衰減的影響.熱傳導(dǎo)是巖石圈最主要的熱量傳遞方式，其表征參數(shù)熱導(dǎo)率是巖石熱物理性質(zhì)最重要的參數(shù)；熱膨脹系數(shù)表示巖石受熱膨脹的幅度，與巖石熱應(yīng)力與熱應(yīng)變密切相關(guān)；熱擴(kuò)散率通過(guò)介質(zhì)的比熱和熱導(dǎo)率計(jì)算確定.熱導(dǎo)率、熱膨脹系數(shù)和比熱構(gòu)成了巖石的熱彈性基本系數(shù).本文采用平面波頻散分析方法，研究了這些熱參數(shù)變化對(duì)熱彈介質(zhì)中波速頻散與能量衰減的影響.然后利用熱彈性動(dòng)力學(xué)頻率域的二階格林函數(shù)進(jìn)行波場(chǎng)快照數(shù)值模擬，直觀展示熱參數(shù)對(duì)快縱波和熱波傳播特性的影響.本文研究為地?zé)豳Y源勘查、巖石圈高溫結(jié)構(gòu)探測(cè)和超深層油氣勘探提供理論依據(jù)，也為實(shí)驗(yàn)室條件下兩類熱耗散衰減縱波的觀測(cè)提供參數(shù)依據(jù).

1 熱彈性動(dòng)力學(xué)方程

Biot(1956a)和Deresiewicz(1957)將彈性理論與熱傳導(dǎo)定律相結(jié)合，建立了經(jīng)典的熱彈性理論，表征熱負(fù)荷作用下溫度變化與應(yīng)力應(yīng)變之間的耦合關(guān)系.對(duì)于各向同性熱彈性介質(zhì)，其應(yīng)變-位移關(guān)系和應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系定義如下：

(1)

和

(2)

式中，σij(i,j=x,y,z)、εij(i,j=x,y,z)和ui(i=x,y,z)分別為應(yīng)力、應(yīng)變和位移分量，T為相對(duì)于初始溫度T0的溫度增量，λ、μ為拉梅系數(shù)，fij(i,j=x,y,z)表示施加的外應(yīng)力，γ=(3λ+2μ)αT，其中αT表示熱膨脹系數(shù).可見(jiàn)與常規(guī)彈性介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系不同，熱彈性介質(zhì)中引入了溫度的影響，產(chǎn)生熱應(yīng)力和熱應(yīng)變，其大小取決于介質(zhì)的熱膨脹系數(shù).相應(yīng)的動(dòng)量守恒方程為：

(3)

式中，fi(i=x,y,z)表示體力分量，ρ表示體密度.

經(jīng)典的傅里葉熱傳導(dǎo)定律可表示為：

(4)

式中，k表示熱導(dǎo)率，c表示恒應(yīng)變下的比熱，q表示熱源，Δ為拉普拉斯算子.該定律精確描述了熱流與溫度差之間的關(guān)系，但由于熱流密度和溫度梯度同步，當(dāng)介質(zhì)產(chǎn)生溫度梯度時(shí)，無(wú)窮遠(yuǎn)處瞬間感受到溫度變化，從而導(dǎo)致熱彈性介質(zhì)中波以無(wú)限大速度傳播，即熱彈性波動(dòng)方程存在非物理解，這在實(shí)際工程應(yīng)用中問(wèn)題比較突出(Qi and Suh，2010；Wu et al.，2013).

Lord和Shulman(1967)引入弛豫時(shí)間修正傅里葉熱傳導(dǎo)定律，簡(jiǎn)稱L-S雙曲型熱輻射模型，解決了經(jīng)典熱彈性波動(dòng)方程的非物理解問(wèn)題，對(duì)應(yīng)的熱傳導(dǎo)方程可表示為：

(5)

式中τ表示弛豫時(shí)間，當(dāng)τ=0時(shí)，(5)式退化為傅里葉熱傳導(dǎo)定律(4).將應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系帶入動(dòng)量守恒方程，利用應(yīng)變-位移關(guān)系，得到表征位移與溫度之間關(guān)系的熱彈性動(dòng)力學(xué)方程：

(6)

而對(duì)于傳統(tǒng)拋物型傅里葉熱傳導(dǎo)定律，經(jīng)典熱彈性動(dòng)力學(xué)方程為：

(7)

由方程(5)可知，在熱傳導(dǎo)過(guò)程中，熱與應(yīng)變耦合只涉及體應(yīng)變，與剪切應(yīng)變無(wú)關(guān)，建立的熱彈性動(dòng)力學(xué)方程(6)僅考慮波與熱相互作用的一種機(jī)制：P波的膨-縮傳播模式在介質(zhì)中產(chǎn)生溫度梯度，形成耗散衰減的慢縱波模式(T波)，這是實(shí)驗(yàn)證實(shí)的一種熱與波作用機(jī)制.因此，在此理論框架下，剪切波(S波)不受溫度影響.

2 頻散分析

2.1 平面波頻散方程

為了分析熱彈介質(zhì)中波的傳播特征，將位移矢量u與T的變化表示為平面波形式：

(8)

為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，若假定平面波為橫波，其位移矢量方向與傳播方向相互垂直，即Uili=0，熱彈方程的頻散關(guān)系簡(jiǎn)化為(Deresiewicz，1957)：

μs2-ρω2=0，

(9)

式中復(fù)波數(shù)s=ω/vc，得到橫波的傳播速度：

(10)

由(10)式可知，橫波的傳播不受介質(zhì)熱特性的影響.若假定平面波為縱波，其位移矢量方向與傳播方向一致，即Uili=1，得到縱波的頻散關(guān)系：

(11)

(11)式的解為：

(12)

(13)

對(duì)于經(jīng)典熱彈性動(dòng)力學(xué)方程，(12)式中M=iωa2，當(dāng)ω→時(shí)，M→，由方程(10)可知會(huì)產(chǎn)生非物理解.而對(duì)于L-S廣義熱彈性理論，M=iωa2/(1+iωτ)，Rudgers(1990)在晶格模型中將弛豫時(shí)間表示為：

(14)

因此，當(dāng)ω→時(shí)，M→a2/τ=，兩個(gè)縱波復(fù)波速為：

(15)

當(dāng)角頻率ω=0時(shí)，由表達(dá)式(10)知，復(fù)速度為實(shí)數(shù)：

vc=vT=0，vc=vE=vA，

(16)

其中，vT表示熱波速度，vE表示快縱波速度.利用復(fù)速度vc，得到相速度vp與衰減因子A(Carcione, 2007)：

(17)

Deresiewicz(1957)引入衰減系數(shù)L，用來(lái)表示每個(gè)應(yīng)力周期內(nèi)，耗散的能量與總振動(dòng)能量的比值：

(18)

2.2 平面波頻散分析

利用表1中的熱彈性介質(zhì)模型參數(shù)進(jìn)行頻散分析，通過(guò)2.1節(jié)平面波頻散方程可知，經(jīng)典熱彈性波動(dòng)方程以拋物型熱傳導(dǎo)方程為基礎(chǔ)，未考慮弛豫時(shí)間的影響，各向同性彈性連續(xù)體受到熱擾動(dòng)時(shí)，在距熱擾動(dòng)無(wú)窮遠(yuǎn)處會(huì)立即感受到擾動(dòng)，即速度無(wú)限大，其波速和衰減頻散曲線如圖1所示.可見(jiàn)，在熱效應(yīng)作用頻段，快縱波隨頻率增加反而減小，而熱波速迅速增加至無(wú)窮大，其對(duì)應(yīng)的衰減為非物理的倒弛豫峰.

將表1熱彈參數(shù)應(yīng)用到雙曲型L-S熱彈理論得到的頻散曲線如圖2所示，可見(jiàn)，考慮加入熱擾動(dòng)介質(zhì)達(dá)到新穩(wěn)態(tài)的平衡時(shí)間(弛豫時(shí)間)后，熱效應(yīng)作用頻段熱波速隨頻率增大趨于穩(wěn)定值，避免了經(jīng)典熱彈性動(dòng)力學(xué)中速度無(wú)限大問(wèn)題.由圖2b的衰減頻散曲線可知，熱波在低頻時(shí)表現(xiàn)出強(qiáng)衰減的擴(kuò)散傳播特性，而在高頻時(shí)表現(xiàn)為弱衰減的波動(dòng)傳播特征.在高低頻之間熱效應(yīng)過(guò)渡頻段及其頻散特征取決于熱介質(zhì)的特征參數(shù).

表1 熱彈性介質(zhì)模型參數(shù)Table 1 Parameters for a thermoelastic medium model

圖1 經(jīng)典熱彈波動(dòng)方程的(a)速度頻散曲線和(b)振幅衰減曲線Fig.1 Velocity dispersion curves (a) and Amplitude attenuation curves (b) of classical thermoelastic wave equation

圖2 L-S雙曲型耦合熱彈波動(dòng)方程的(a)速度頻散曲線和(b)振幅衰減曲線Fig.2 Velocity dispersion curves (a) and Amplitude attenuation curves (b) of L-S hyperbolic coupling thermoelastic equation

利用L-S方程分析熱彈介質(zhì)中三種波的傳播，假設(shè)平面波入射，可知熱彈介質(zhì)中的橫波不會(huì)受到介質(zhì)溫度與熱彈參數(shù)的影響，只與介質(zhì)密度及介質(zhì)的彈性剪切模量有關(guān)，但由于實(shí)際介質(zhì)非常復(fù)雜，橫波的傳播取決于很多因素，在本文所應(yīng)用的條件下，橫波不發(fā)生頻散，當(dāng)頻率約為100 MHz時(shí)，橫波與熱波傳播速度相同，如圖3所示.

圖3 L-S雙曲型耦合熱彈波動(dòng)方程快縱波、熱波和橫波的速度頻散曲線Fig.3 The velocity dispersion curves of a fast longitudinal, thermal wave and shear waves of L-S hyperbolic coupling thermoelastic equation

2.3 熱彈參數(shù)影響分析

L-S熱彈理論中位移場(chǎng)與溫度場(chǎng)相互耦合，因此快縱波也受到溫度場(chǎng)的影響，快縱波和熱波的相速度和衰減系數(shù)根據(jù)平方根復(fù)速度(方程(17))計(jì)算得到，且由方程(12)可知其波速與衰減系數(shù)均涉及熱彈參數(shù).基于表1中熱彈參數(shù)作為基準(zhǔn)量，本文著重分析表征巖石熱物理性質(zhì)的熱導(dǎo)率、熱膨脹系數(shù)及比熱對(duì)波傳播特征的影響.

熱導(dǎo)率表征巖石的導(dǎo)熱能力，不僅是研究地殼、上地幔熱結(jié)構(gòu)及地球深部熱狀態(tài)的重要參數(shù)，在勘探開(kāi)采等領(lǐng)域也得到廣泛應(yīng)用(沈顯杰等，1988).熱導(dǎo)率是熱彈介質(zhì)中波傳播最重要的影響參數(shù)，其大小不僅依賴于介質(zhì)的礦物組成，還取決于礦物分布、幾何形狀、內(nèi)部結(jié)構(gòu)等因素.對(duì)于大多數(shù)巖石類型，熱導(dǎo)率隨溫度的升高而降低，與礦物結(jié)晶特性有關(guān).對(duì)于孔隙介質(zhì)和顆粒狀材料，熱導(dǎo)率還依賴于孔隙和晶粒尺寸等介質(zhì)特征.通過(guò)經(jīng)典熱彈理論與L-S熱彈理論對(duì)比可知，弛豫時(shí)間對(duì)熱彈介質(zhì)中波的傳播性質(zhì)有重要影響，通過(guò)分析與計(jì)算(Rudgers，1990)了解到熱導(dǎo)率與弛豫時(shí)間有很強(qiáng)的相關(guān)性.圖4描述了熱導(dǎo)率與快縱波和熱波的頻散與衰減的關(guān)系，數(shù)值計(jì)算過(guò)程中選取不同數(shù)量級(jí)的熱導(dǎo)率.可見(jiàn)，隨著熱導(dǎo)率的增加，相速度和衰減系數(shù)的頻散效應(yīng)向低頻移動(dòng)，但其低頻和高頻穩(wěn)態(tài)值并未發(fā)生改變，說(shuō)明熱導(dǎo)率不改變波傳播的極限速度和衰減幅度；熱頻散過(guò)渡帶的頻寬也未見(jiàn)改變，但改變了熱頻散效應(yīng)出現(xiàn)的頻率，介質(zhì)熱導(dǎo)率越高，對(duì)應(yīng)的熱頻散效應(yīng)的初始頻率越低.需要強(qiáng)調(diào)的是熱波傳播特征發(fā)生了較大變化，從低頻慢速?gòu)?qiáng)衰減的擴(kuò)散傳播模式跨越到高頻快速弱衰減的波動(dòng)傳播模式，熱導(dǎo)率發(fā)揮了至關(guān)重要的作用.由方程(14)可知，弛豫時(shí)間與熱導(dǎo)率呈正相關(guān)，高熱導(dǎo)率情況下，介質(zhì)受到熱擾動(dòng)后達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間增大，即熱導(dǎo)率的升高增加了達(dá)到平衡的弛豫時(shí)間，從而降低了擴(kuò)散頻率，如圖4b所示，衰減頻帶向低頻移動(dòng).因此，在實(shí)驗(yàn)觀測(cè)中，高熱導(dǎo)率介質(zhì)更容易觀測(cè)到熱波，下一節(jié)將通過(guò)格林函數(shù)數(shù)值模擬熱波傳播，直觀觀測(cè)熱導(dǎo)率的影響.

熱膨脹系數(shù)表征介質(zhì)的熱膨脹量，不僅可以用來(lái)衡量介質(zhì)的熱穩(wěn)定性能，還與介質(zhì)受熱時(shí)所產(chǎn)生的熱應(yīng)力與熱應(yīng)變密切相關(guān)，因此熱膨脹系數(shù)對(duì)介質(zhì)的結(jié)構(gòu)有很大的影響，可能會(huì)導(dǎo)致結(jié)構(gòu)破壞.與熱導(dǎo)率影響不同，熱膨脹系數(shù)對(duì)熱彈介質(zhì)中波傳播特性的衰減影響主要表現(xiàn)在幅度方面.結(jié)合熱導(dǎo)率影響，可知，當(dāng)介質(zhì)熱導(dǎo)率較大時(shí)，可以觀測(cè)到波狀傳播的熱波.因此，取熱導(dǎo)率k=280 m·kg/(s3·K)對(duì)熱膨脹系數(shù)進(jìn)行分析，如此大的熱導(dǎo)率值在一般巖石材料中是沒(méi)有的，在此僅作為參照值來(lái)闡述熱參數(shù)變化會(huì)對(duì)彈性波傳播特征產(chǎn)生多大的影響.圖5為不同熱膨脹系數(shù)快縱波和熱波的波速和衰減頻散曲線，與圖4熱導(dǎo)率影響特征相比，熱膨脹系數(shù)不改變相速度及衰減熱頻散效應(yīng)發(fā)生的起始頻率及其過(guò)渡帶頻寬，說(shuō)明熱膨脹系數(shù)并不影響擴(kuò)散頻率，衰減頻帶未發(fā)生改變.由圖5a可知，熱膨脹系數(shù)改變了波傳播極限速度，特別是快縱波改變幅度較大.值得注意的是熱膨脹系數(shù)對(duì)兩縱波的影響方式相反，熱膨脹系數(shù)越大，快縱波相速度在全頻范圍內(nèi)越大，而此時(shí)介質(zhì)熱穩(wěn)定性能較低，熱波的相速度在高頻段越小.熱膨脹系數(shù)對(duì)熱波衰減系數(shù)影響很小，而對(duì)快縱波衰減系數(shù)的峰值影響稍大.

對(duì)于超高溫介質(zhì)熱擴(kuò)散率與比熱是不可或缺的參數(shù)，而熱擴(kuò)散率可由熱導(dǎo)率和比熱計(jì)算得到.前面已經(jīng)對(duì)熱導(dǎo)率和熱膨脹系數(shù)的波傳播影響進(jìn)行了分析，本節(jié)研究比熱對(duì)熱彈介質(zhì)中波傳播特性的影響，介質(zhì)的比熱由介質(zhì)組成成分決定.圖6為不同比熱介質(zhì)快縱波和熱波的頻散曲線與衰減曲線，其中熱導(dǎo)率也為280 m·kg/(s3·K).可見(jiàn)，比熱的影響兼顧熱導(dǎo)率和熱膨脹系數(shù)的影響，既改變熱頻散效應(yīng)發(fā)生的起始頻率，又影響極限速度的大小及快縱波弛豫峰值，但影響幅度要小得多.由圖6a可知，隨著比熱的增大，快縱波和熱波相速度的增量區(qū)均向高頻方向移動(dòng)，但對(duì)兩縱波的影響相反.比熱越大快縱波的相速度在全頻范圍內(nèi)越小，而熱波的相速度在高頻段越大；相比于快縱波，比熱對(duì)熱波相速度影響較小.且由圖可知，隨著比熱的增大，對(duì)縱波相速度的影響會(huì)越小.分析圖6b可知，隨著比熱增加，擴(kuò)散頻帶向高頻移動(dòng)，此時(shí)弛豫時(shí)間減小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)的時(shí)間縮短.比熱綜合晶格振動(dòng)和粒子熱運(yùn)動(dòng)的貢獻(xiàn)來(lái)表征巖石熱容性，是描述介質(zhì)熱學(xué)性質(zhì)的重要物理量，在常溫及高溫條件下，晶格振動(dòng)影響占主導(dǎo)，因而對(duì)快縱波速度影響相對(duì)較大.

圖4 不同熱導(dǎo)率快縱波和熱波的(a)速度頻散曲線和(b)振幅衰減曲線Fig.4 Effect of thermal conductivity variety on Velocity dispersion curves (a) and Amplitude attenuation curves (b) of fast P and thermal waves

3 數(shù)值模擬

格林函數(shù)一般定義為偏微分方程自由空間中點(diǎn)源的解，是構(gòu)成偏微分方程積分形式的基本解.針對(duì)L-S熱彈性動(dòng)力學(xué)方程的格林函數(shù)研究鮮有發(fā)表(Wang et al.，2019)，其頻率域的二階格林函數(shù)張量解的簡(jiǎn)要推導(dǎo)見(jiàn)附錄B，本文利用該格林函數(shù)張量進(jìn)行熱介質(zhì)波場(chǎng)快照數(shù)值模擬，直觀觀察熱彈性介質(zhì)中縱波、橫波和熱波的傳播行為，傳播特征與第2節(jié)中的頻散分析結(jié)果一致.本文著重分析不同力源方向?qū)θN波的波形特征及能量衰減的影響，同時(shí)再現(xiàn)熱彈介質(zhì)參數(shù)對(duì)快縱波和熱波傳播特性的影響.

本節(jié)利用二階格林函數(shù)張量模擬波動(dòng)傳播的快縱波和熱波，模型大小為NX×NZ=200×200，縱橫網(wǎng)格間隔均為0.1 mm，集中點(diǎn)源采用位于網(wǎng)格中點(diǎn)處主頻為3.5 MHz的雷克子波，時(shí)間步長(zhǎng)dt=0.1 μs.

圖7表示在表1熱彈參數(shù)條件下，即熱導(dǎo)率為2.8 m·kg/(s3·K)，3 μs時(shí)刻的波場(chǎng)快照，(a)表示在水平力源條件下，水平方向位移的波場(chǎng)快照；(b)表示在垂直力源條件下，垂直方向位移的波場(chǎng)快照；(c)表示在熱源條件下，溫度場(chǎng)的波場(chǎng)快照.為了研究熱導(dǎo)率對(duì)快縱波和熱波傳播特征的影響，圖8中熱導(dǎo)率k=280 m·kg/(s3·K).由圖7和圖8可知，在力源作用下的波場(chǎng)快照中觀察到快縱波與橫波，在熱源作用下的溫度位移場(chǎng)中觀察到快縱波與熱波.由圖4可知，在該主頻下，當(dāng)k=2.8 m·kg/(s3·K)時(shí)，熱波表現(xiàn)為慢速?gòu)?qiáng)衰減的擴(kuò)散傳播模式，而k=280 m·kg/(s3·K)時(shí)，熱波以快速弱衰減的波動(dòng)模式傳播，對(duì)于快縱波，高熱導(dǎo)率比低熱導(dǎo)率的傳播速度更快，而對(duì)于橫波，熱彈性介質(zhì)參數(shù)不影響其傳播特性，均與格林函數(shù)數(shù)值模擬結(jié)果一致.

圖7 熱導(dǎo)率k=2.8 m·kg/(s3·K)，3 μs時(shí)刻的波場(chǎng)快照，震源分別為(a)水平力源，(b)垂直力源和(c)熱源Fig.7 Snapshots at 3 μs for k=2.8 m·kg/(s3·K), the source are a horizontal elastic force (a), a vertical elastic force (b) and a heat source (c), respectively

圖8 熱導(dǎo)率k=280 m·kg/(s3·K)，3 μs時(shí)刻的波場(chǎng)快照，震源分別為(a)水平力源，(b)垂直力源和(c)熱源Fig.8 Snapshots at 3 μs for k=280 m·kg/(s3·K), the source are a horizontal elastic force (a), a vertical elastic force (b) and a heat source (c), respectively

為了研究熱膨脹系數(shù)與比熱對(duì)快縱波和熱波傳播特性影響，在熱源條件下，熱導(dǎo)率k=280 m·kg/(s3·K)時(shí)，分別觀察介質(zhì)熱膨脹系數(shù)不同和介質(zhì)比熱不同時(shí)的波場(chǎng)快照.圖9a為熱膨脹系數(shù)αT=4.0×10-6K-1，對(duì)比圖8c和圖9a波場(chǎng)快照?qǐng)D可知，熱膨脹系數(shù)對(duì)兩縱波的影響方式相反，在該主頻條件下，熱膨脹系數(shù)越大，快縱波速度越大，而熱波速度越小，與頻散分析結(jié)果(圖5)相符合.圖9b為比熱c=194 kg/(m·s2·K)，3 μs時(shí)刻的波場(chǎng)快照，通過(guò)與圖8c對(duì)比可知，比熱增大時(shí)快縱波速度減小，而熱波傳播速度增加，與圖6中的頻散分析結(jié)果一致.

圖9 熱源條件下(a)熱膨脹系數(shù)αT=4.0×10-6K-1和(b)比熱c=194 kg/(m·s2·K)時(shí)的波場(chǎng)快照Fig.9 Snapshots for c=194 kg/(m·s2·K) (a) and αT=4.0×10-6K-1 (b), where source is a heat source, respectively

4 討論與結(jié)論

地震波在熱彈介質(zhì)中的傳播是巖石圈高溫結(jié)構(gòu)探測(cè)、地?zé)豳Y源勘查和深層-超深油氣勘探等領(lǐng)域的重要研究課題.基于傅里葉拋物型熱傳導(dǎo)定律的經(jīng)典熱彈性動(dòng)力學(xué)理論，由于忽略了溫度分布趨于平衡需要時(shí)間而導(dǎo)致波速隨頻率無(wú)限增大的非物理現(xiàn)象.基于L-S雙曲型熱傳導(dǎo)方程的熱彈性動(dòng)力學(xué)理論，由于引入弛豫時(shí)間修正項(xiàng)而解決了這一非物理現(xiàn)象問(wèn)題，本文通過(guò)對(duì)比這兩種熱彈性動(dòng)力學(xué)理論的頻散曲線，分析了弛豫時(shí)間對(duì)熱彈介質(zhì)中波傳播特征的影響.

含弛豫時(shí)間修正項(xiàng)的L-S雙曲型熱耦合熱彈波動(dòng)方程，從理論上預(yù)測(cè)了在熱彈性介質(zhì)中存在兩種熱耗散衰減縱波(即快縱波和熱波)和橫波，本文利用平面波頻散分析和數(shù)值模擬再現(xiàn)了這些波的傳播特征.熱波與孔彈介質(zhì)中的Biot慢縱波(如，Ba et al.，2017，2019；Zhang et al.，2019)具有相似特征，兩種波分別為壓力和溫度的局部差異而產(chǎn)生的流體和熱流局域流，其頻散和衰減特征分別受制于介質(zhì)的熱導(dǎo)率和流體黏度.兩種波低頻時(shí)呈現(xiàn)慢速高衰減的擴(kuò)散特征，而高頻時(shí)表現(xiàn)為高速弱衰減的波動(dòng)模式.本文的數(shù)值模擬表明，高熱導(dǎo)率材料在高頻實(shí)驗(yàn)條件下可以觀測(cè)到熱波.Ackerman等(1966)在固體氦中觀測(cè)到熱波，McNelly等(1970)和Jackson等(1970)在NaF晶體中觀察到熱波.作為熱彈性問(wèn)題不可分割的理論組成部分，熱波的客觀存在具有重要的科學(xué)意義(Gueguen，2013).

鑒于熱彈參數(shù)對(duì)熱彈介質(zhì)中彈性波傳播的重要影響，本文詳細(xì)分析了熱導(dǎo)率、熱膨脹系數(shù)和比熱三個(gè)基本參數(shù)的變化對(duì)波速頻散和振幅衰減的影響.結(jié)果表明，熱導(dǎo)率決定了兩種熱耗散縱波波速頻散與能量衰減的臨界變化；熱膨脹系數(shù)主要影響快縱波的波速和熱波衰減的幅度，而比熱既影響波速和衰減的臨界變化，又影響變化的幅度.格林函數(shù)方法數(shù)值模擬展現(xiàn)了熱彈介質(zhì)中橫波、快縱波和熱波的波場(chǎng)快照，熱參數(shù)(熱導(dǎo)率、熱膨脹系數(shù)和比熱)對(duì)快縱波和熱波傳播特征的影響與平面波頻散分析結(jié)果一致.本文研究為地?zé)豳Y源勘查、巖石圈高溫結(jié)構(gòu)探測(cè)和超深層油氣勘探提供理論依據(jù)，也為實(shí)驗(yàn)室條件下兩類熱耗散衰減縱波的觀測(cè)提供參數(shù)依據(jù).

附錄A 文中涉及的符號(hào)列表

符號(hào)含義符號(hào)含義ui位移分量(i=1,2,3)ω角頻率εij應(yīng)變分量(i, j=1,2,3)vc復(fù)速度σij應(yīng)力分量(i, j=1,2,3)d慢度矢量λ, μ拉梅系數(shù)x位置矢量

續(xù)表

附錄B

關(guān)于熱彈問(wèn)題的格林函數(shù)，前人做了大量研究，主要涉及熱靜力學(xué)問(wèn)題格林函數(shù)(Kupradze et al.，1976)和時(shí)間域及頻率域的經(jīng)典熱彈性耦合熱彈波動(dòng)方程的格林函數(shù)(Nowacki,1975；Tosaka,1985；Tosaka and Suh,1991；Norris,1994；Scarpetta et al.，2014)，未考慮弛豫時(shí)間，存在非物理解問(wèn)題. Wang等(2019)推導(dǎo)了含弛豫時(shí)間修正項(xiàng)的L-S雙曲型熱耦合熱彈波動(dòng)方程，得到了均勻各向同性材料中點(diǎn)載荷(力或熱源)對(duì)應(yīng)的二階張量格林函數(shù).

若不考慮熱流的影響，方程(6)簡(jiǎn)化為：

(B1)

對(duì)耦合系統(tǒng)運(yùn)用傅里葉變換進(jìn)行求解，傅氏變換為：

(B2)

得到熱彈性動(dòng)力學(xué)方程在頻率域的雙曲型微分控制方程(為了方便，在下面的公式表達(dá)中去掉-)：

(B3)

將(B3)式寫成矩陣方程形式：LijUj=0，考慮二維情況，經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)計(jì)算得到系數(shù)算子Lij：

其中Di=?/?xi(i=1,2).

(B4)

式中l(wèi)ij為L(zhǎng)ij的代數(shù)余子式，因此系數(shù)lij為：

(B5)

式中βij為lij的余子式.將(B5)式代入方程(20)得到：

ΛΦ*=-δ(x-y)，

(B6)

式中微分算子Λ為：

(B7)

(B8)

其中：

(B9)

(B10)

其中：

(B11)

K0，K1，K2分別為修正的零階、一階和二階貝塞爾函數(shù)，并且：

(B12)