一類兩體量子態(tài)的量子失諧解析解

梅克輝，喬龍坤，胡曉莉

（江漢大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430056）

0 引言

量子糾纏是量子力學(xué)區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)最不可思議的特征，它以其獨(dú)特的物理性質(zhì)使量子信息突破經(jīng)典信息的極限，因此量子糾纏成為了量子信息處理和量子通信的關(guān)鍵資源之一。隨著學(xué)者在量子信息研究上的不斷深入，他們發(fā)現(xiàn)量子糾纏并不能包含所有的量子關(guān)聯(lián)。讓人意想不到的是，這種量子態(tài)之間非糾纏的關(guān)聯(lián)給量子信息帶來(lái)了更大的優(yōu)勢(shì)［1］。為此，引入量子失諧來(lái)描述相互作用的量子系統(tǒng)間量子相關(guān)的全部信息。目前，關(guān)于兩體量子態(tài)量子失諧的計(jì)算主要集中在比較經(jīng)典的兩體X- 態(tài)上［2-9］。最近，有學(xué)者給出了秩為2 的兩體量子態(tài)的解析解［10］，但是對(duì)于秩大于2 的兩體非X- 態(tài)還是很難給出解析解，其研究結(jié)果甚少。筆者討論了一類非X- 態(tài)的量子失諧的計(jì)算，并給出其解析解。下面先簡(jiǎn)單介紹其量子失諧相關(guān)的基本定義。

對(duì)于a?b空間上的一個(gè)兩體量子態(tài)ρa(bǔ)?b（簡(jiǎn)記為ρ），其量子交互信息定義為

式中，S(ρ)= -Trρlog2(ρ)為量子態(tài)ρ的馮·諾依曼熵，ρa(bǔ)(ρb)表示ρ在a(b)空間上的偏跡態(tài)。2001 年，Olliver 和Zurek［3］提出了利用密度算子的條件熵來(lái)測(cè)量多個(gè)量子態(tài)之間的經(jīng)典關(guān)聯(lián)，這里所用的測(cè)量為經(jīng)典的馮·諾依曼測(cè)量。馮·諾依曼測(cè)量即為滿足條件的測(cè)量集{Bk|k= 1,2}。當(dāng)馮·諾依曼測(cè)量作用在兩體量子態(tài)ρ的b子系統(tǒng)上時(shí)，得到a子系統(tǒng)上的兩個(gè)條件密度算子為

式中，pk=Tr(I?Bk)ρ(I?Bk),(k= 1,2)，為ρk出現(xiàn)的概率。對(duì)量子態(tài)ρ的b子系統(tǒng)進(jìn)行馮·諾依曼測(cè)量后的條件熵為

其條件量子交互信息為

從而經(jīng)測(cè)量后的兩體量子態(tài)ρ的經(jīng)典關(guān)聯(lián)為

定義［3］：兩體量子態(tài)ρ的量子失諧為經(jīng)典量子交互信息與經(jīng)典關(guān)聯(lián)的差，記為

若考慮選取Hilbert 空間C2?C2的一組基為則任意一個(gè)兩體量子態(tài)均可表示為［11-12］

式中，I為 2× 2 的單位矩陣，σi(i= 1,2,3)為 Pauli 矩陣（5）式中量子態(tài)ρ進(jìn)一步經(jīng)合適的局部酉變換，則ρ有如下等價(jià)的Bloch 球面表示［4］

因其密度矩陣除對(duì)角線外，其他元素全為零，故稱其為X- 型量子態(tài)，其量子失諧為［4］

式中，c= max {|c1|,|c2|,|c3|}。

當(dāng)r1=r2=s1=s2= 0 時(shí)，（6）式中的態(tài)為

此時(shí)，量子態(tài)ρ被稱為推廣的X- 型量子態(tài)，其量子失諧的解析解在文獻(xiàn)［13］中已給出。

1 r2=r3=s2=s3=0時(shí)的非X-型量子態(tài)的量子失諧

本文將給出參數(shù)r2=r3=s2=s3= 0 時(shí)，量子態(tài)ρ的量子失諧的解析解。此時(shí)

由ρ的正定性可知λi≥ 0,(i= 1,2,3,4)，從而

由以上不等式可知，（7）式中的ρ可被定義在R5的一個(gè)封閉區(qū)域上，記為R(ρ)。它的邊界滿足以下約束條件的邊界同時(shí)也被包含在如下的超平面內(nèi)：

為了計(jì)算交互信息I(ρ)，我們需要先計(jì)算ρ的兩個(gè)邊際態(tài)：

從而由（1）式，可得ρ的量子交互信息為

接下來(lái)，引入馮·諾依曼測(cè)量來(lái)計(jì)算經(jīng)典關(guān)聯(lián)C(ρ)的值。已知任何一個(gè)針對(duì)兩體態(tài)的馮·諾依曼測(cè)量都可以寫(xiě)成形如的張量積形式，其中V為2× 2 的酉矩陣。選取矩陣I,σ1,σ2,σ3為2 階酉矩陣構(gòu)成的酉空間的一組基，則矩陣V可表示為這組基的線性組合，即這里V滿足下列對(duì)稱式：

由于V+σiV落在三維單位球面上，因此可引入新變量z1,z2,z3，且令

通過(guò)計(jì)算可得，

接下來(lái)求maxG(θ,z1)解析表達(dá)式。由（12）式，易驗(yàn)證G(θ,z1)為z1的一個(gè)偶函數(shù)，那么只需要考慮z1∈[0,1]時(shí)G(θ,z1)的最大值。先求函數(shù)G(θ,z1)對(duì)θ的偏導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果如下：

可知，上式恒大于零。因此，G(θ,z1)關(guān)于θ是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)遞增的函數(shù)。為了求G(θ,z1)的最大值，最理想的方法是將二元函數(shù)G(θ,z1)變?yōu)閱巫兞亢瘮?shù)。由此，可對(duì)θ做如下處理，

下面分兩種情況討論G(θ,z1)的最大值，從而求出Q(ρ)的解析解。

1）當(dāng) |c1|≥ |c|時(shí)，θmax=此時(shí)z1= 1，

此時(shí)，ρ的量子失諧為

2）當(dāng) |c1|＜ |c|時(shí)，θmax=c2，此時(shí)z1= 0，則

此時(shí)，ρ的量子失諧為

例：當(dāng)r1= 0.3,s1= 0.7,c1= 0.1,c2= 0.2,c3= 0.3 時(shí)，ρ的矩陣形式為

其特征值為λ1= 0.526 2，λ2= 0.385 1，λ3= 0.064 9，λ4= 0.023 8。由|c1|＜ |c|，則θmax=c2=0.09，則Gmax=Gz1=0=0.134 1。由（15）式，可得Q(ρ)= 0.007 8。

2 結(jié)語(yǔ)

量子失諧是衡量?jī)审w量子態(tài)之間不可缺少的量子關(guān)聯(lián)之一。對(duì)于任意兩體量子態(tài)，其量子失諧的計(jì)算是相當(dāng)不容易的一項(xiàng)工作，而給出其解析解更是一件困難的事。本文在考慮r2=r3=s2=s3= 0 這類帶5 個(gè)參數(shù)的量子態(tài)的量子失諧時(shí)，發(fā)現(xiàn)其解析解的求法與兩體X- 態(tài)的求法基本上是一致的。事實(shí)上，對(duì)（6）式中帶9 個(gè)參數(shù)的一般兩體量子態(tài)而言，其特征值的根式表達(dá)式往往非常復(fù)雜，沒(méi)有簡(jiǎn)潔的解析表達(dá)式。因此導(dǎo)致其很難求出一般兩體態(tài)的量子失諧的解析式。但是對(duì)一個(gè)確定的不帶參數(shù)的量子態(tài)，其密度矩陣為四階正定矩陣，總是能求出其確定的特征值，從而能求出（1）式中確定的量子交互信息的解。在求經(jīng)典關(guān)聯(lián)時(shí)，用筆者的方法，將多變量函數(shù)化成單變量函數(shù)后再討論其最值，總能求出馮·諾依曼測(cè)量集下（2）式中條件信息的最大值。從而可給出一個(gè)已知量子態(tài)的量子失諧的解析解。