高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展水平分析與教學(xué)建議
——2019 年高考（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）考試評價

劉 勇 沈 婕 傅 劍

2019 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）試卷（以下簡稱“2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷”）以《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）》為依據(jù)，以《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 版）》（以下簡稱“《新課標》”）為參考，堅持能力立意的指導(dǎo)思想，將數(shù)學(xué)必備知識、關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查融為一體，試題設(shè)計注重基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性相互融合，充分考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，也考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)提出問題和分析解決問題的能力。2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷保持了以往的框架結(jié)構(gòu)，突出主干知識與通性通法的考查，突出關(guān)聯(lián)情境的創(chuàng)設(shè)，突出源于教材的命題特點?？己髷?shù)據(jù)顯示，試卷難度為0.71，區(qū)分度為0.51，ALF 系數(shù)為0.86，試卷總體難度適當且保持穩(wěn)定，具有較高的區(qū)分度和信度。采用安戈夫法，將考生分為精通水平（G4 組）、熟練水平（G3 組），基本水平（G2 組）以及基本水平以下（G1 組）四組，其分數(shù)段分別為128-150 分、106-127 分、84-105 分、84 分以下；全體考生記為G5 組。

一、試卷特點分析

（一）突出數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能的考查

2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷以高中數(shù)學(xué)內(nèi)容為主線，對高中數(shù)學(xué)主干知識進行了考查，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、三角函數(shù)、概率、立體幾何、解析幾何等主干知識保持了較高的比例，既突出了基礎(chǔ)性，又達到了必要的深度。從試題的解題方法上看，全面考查了基礎(chǔ)知識與基本技能，引導(dǎo)教學(xué)要夯實基礎(chǔ)知識、提高基本技能、提煉通性通法。

（二）突出數(shù)學(xué)思想方法的考查

試卷體現(xiàn)了基礎(chǔ)知識與思想方法相融合解決問題的特點。例如，第2 題關(guān)于線性規(guī)劃、第5 題關(guān)于雙曲線與拋物線、第8 題關(guān)于分段函數(shù)、第14 題關(guān)于平面向量、第18 題關(guān)于直線與橢圓，考查了數(shù)形結(jié)合思想；第10 題關(guān)于二項式展開式、第12 題關(guān)于參數(shù)方程、第17 題第（III）問關(guān)于求空間線段長、第19 題關(guān)于數(shù)列的通項，考查了方程思想；第8 題考查了分類討論思想；第20 題考查了函數(shù)思想及轉(zhuǎn)化與化歸思想。這一特點引導(dǎo)了教學(xué)要注重數(shù)學(xué)思想方法的提煉、總結(jié)與應(yīng)用，提高學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的維度認識數(shù)學(xué)本質(zhì)的能力。

（三）突出基本活動經(jīng)驗的考查

試卷立足于學(xué)生較為熟悉的題型和方法，突出了對于學(xué)生基本活動經(jīng)驗的考查。試卷題目情境學(xué)生較為熟悉，有些題目是將教材中的例題、練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)參考題融合、嫁接而成的，例如第1、2、3、6、7、9、10、11、12、15 題；有些題目是學(xué)生常用的解題方法的整合，例如第13、14、18、19 題；另外有些題目涉及的知識點與以往試卷具有較高的相似度。這說明學(xué)生的基本活動經(jīng)驗與答題效果有著密切的關(guān)系。這一特點引導(dǎo)了教學(xué)中要注重幫助學(xué)生總結(jié)、積累、應(yīng)用和反思基本活動經(jīng)驗，同時要重視研究教材的學(xué)習(xí)功能，挖掘教材資源的多用價值。

（四）突出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查

試卷以設(shè)計關(guān)聯(lián)情境為載體，全面考查了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的水平。試卷通過設(shè)計一些新情境，考查學(xué)生選擇和應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決問題的能力，從而考查出學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)水平。 例如第20題，需要考生從數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出概念之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律做出新的判斷，并用數(shù)學(xué)語言予以表征。試卷通過所設(shè)置的問題，考查了考生在探索與表達過程中重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的理性思維能力，體現(xiàn)了對邏輯推理素養(yǎng)的考查。再如第17 題證明線面平行、第20 題證明不等關(guān)系，均需要考生通過對條件與結(jié)論的分析，探索論證思路，選擇合適的論證方法和準確的數(shù)學(xué)語言予以證明。數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的考查主要以第16 題為載體，考查了二項分布在解決實際問題中的應(yīng)用，考查了考生在實際問題情境中從數(shù)學(xué)視角發(fā)現(xiàn)問題和分析問題的能力，以及從數(shù)據(jù)中提取信息，運用概率模型解決問題的能力。數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的考查貫穿試卷始終，既考查了學(xué)生對運算對象的理解、運算思路的探究、運算方法的選擇能力，也考查了學(xué)生思維能力與運算技能相結(jié)合的能力。例如第18 題，需要考生結(jié)合橢圓與直線的幾何特征，尋找和設(shè)計合理、簡捷的運算途徑。試卷以立體幾何、平面向量、解析幾何、函數(shù)的圖象等內(nèi)容為載體，考查了學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)?？忌诮忸}中要利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題，建立形與數(shù)的聯(lián)系。這一特點引導(dǎo)了教學(xué)要將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿始終，不僅要重視如何教，更要重視如何學(xué)。

二、學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的過程及表現(xiàn)

（一）義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的整體水平分析

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，它是從小學(xué)到高中逐步積累和連續(xù)發(fā)展的過程。義務(wù)教育階段通過設(shè)置“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”“綜合與實踐”這四部分課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展到一定程度。例如：①在數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)方面，初中畢業(yè)生能從問題中抽象出數(shù)量關(guān)系，能根據(jù)法則和運算律進行加減乘除、乘方、開方的運算，能解較為簡單的方程（組）和不等式，初步理解了運算算理，能進行簡單的估算，能嘗試尋求合理簡潔的運算途徑。但他們?nèi)狈凶帜傅拇鷶?shù)運算程序的設(shè)計能力，不能駕馭較復(fù)雜的含有字母的運算。②在直觀想象素養(yǎng)方面，初中畢業(yè)生能借助幾何直觀把較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，特別是能夠運用數(shù)形結(jié)合的方法解決一次函數(shù)、反比例函數(shù)及二次函數(shù)的相關(guān)問題。此外，他們也具備了根據(jù)物體抽象出幾何圖形的能力，具有識別、畫出和想象簡單的平面及立體圖形的能力，能夠解決一些圖形變化問題，能夠分析平面圖形中元素的相關(guān)關(guān)系。但通過圖形探索解決問題的思路較為狹隘，對數(shù)形結(jié)合思想的理解并不透徹，用運動的觀點分析圖形的能力欠缺，還不能建立圖形與數(shù)量之間的關(guān)系。③在邏輯推理素養(yǎng)方面，初中畢業(yè)生能進行簡單的歸納推理，能根據(jù)已知、定理、公理、運算法則等進行證明和計算的演繹推理；特別是平面幾何的證明問題培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯推理能力，但駕馭較復(fù)雜問題的推理能力較弱，推理中的轉(zhuǎn)化能力不強，不具備通過構(gòu)造中間量完成推理的能力。

（二）數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的實測數(shù)據(jù)分析

2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷突出考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，試題所體現(xiàn)的核心素養(yǎng)既相對獨立又相互融合。其中，考查數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的題目有 第 1、6、9、10、13、15_I、15_II、17_II、17_III、19_I、19_II（i）、20_I 題，共59 分，得分率為0.81，主要體現(xiàn)了“思維先導(dǎo)把控數(shù)學(xué)運算”的特點，突顯運算思路的探究與運算程序的設(shè)計能力；考查直觀想象素養(yǎng)的題目有第2、5、7、8、11、12、14、18_I、18_II 題，共48分，得分率為0.68，主要體現(xiàn)了“直觀分析發(fā)現(xiàn)數(shù)形關(guān)系”的特點，突顯數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力；考查邏 輯 推 理 素 養(yǎng) 的 題 目 有 第3、4、17_1、19_II（ii）、20_II、20_III 題，共30 分，得分率為0.46，主要體現(xiàn)了“建立關(guān)系探究思路”的特點，突顯發(fā)現(xiàn)提出問題、分析解決問題能力；考查數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的題目是第16 題，共13 分，得分率為0.92，主要體現(xiàn)了“應(yīng)用模型與數(shù)據(jù)分析相結(jié)合”的特點，突顯數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用。

以試題特點及試題得分數(shù)據(jù)作為評價高中畢業(yè)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平的依據(jù)，以考生高中入學(xué)時的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平為參考，可分析學(xué)生在高中階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展情況。據(jù)此可評價高中數(shù)學(xué)教學(xué)的得失，從中吸取經(jīng)驗，對今后教學(xué)產(chǎn)生指導(dǎo)意義。

三、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)發(fā)展水平分析

學(xué)生進入高中后，在不同的知識領(lǐng)域中提高了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，主要涉及集合運算、解不等式、指數(shù)對數(shù)運算、三角函數(shù)運算、解三角形、數(shù)列、運用空間向量解決立體幾何問題、解析幾何中的運算、概率統(tǒng)計中的運算等內(nèi)容，不同的知識點其運算特點各有千秋。例如，解三角形的運算特點有直接運算、消去運算、整體運算等，函數(shù)運算的特點有變量整理、解析式的整理與變形等，三角函數(shù)有三角公式、三角值運算等，數(shù)列的運算特點有構(gòu)造模型、基本量（方程思想）運算等，解析幾何的運算特點有消變量、解方程等。這些運算均以加減乘除四則運算為基礎(chǔ)。學(xué)生在高中學(xué)習(xí)過程中，不斷提高形成運算思路和設(shè)計運算程序的能力，同時運算的準確性也在提高。

例1：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第6 題

已知a=log52，b=log0.50.2，c=0.50.2，則a、b、c 的大小關(guān)系為

A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

【內(nèi)涵分析】本題考查指數(shù)和對數(shù)的運算，及運用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行估值。當一次估算不能解決問題時，要提高估算的精確度，于是與二分法的相關(guān)思想關(guān)聯(lián)，進行進一步估值。此題需要考生會設(shè)計運用估算比較大小的運算程序，考查了考生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.77，屬于簡單題。

表1 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第6 題各水平組得分

從考生答題情況看，G1 組考生對指數(shù)、對數(shù)運算及函數(shù)單調(diào)性的基礎(chǔ)知識理解不到位，部分G2 組和少數(shù)G3 考生不能正確比較出與的大小關(guān)系，即不能找到以為中間量，進行比較大小。

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段具備利用估值法比較實數(shù)的大小的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，也能運用“中間量法”比較兩個實數(shù)的大小關(guān)系，例如比較兩個無理數(shù)（式）的大小。學(xué)生對比較大小的過程是從代數(shù)運算的角度進行的，并不能以函數(shù)的圖象與性質(zhì)作為工具。在高中的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對估值運算發(fā)展到以熟悉的函數(shù)為工具，進行適當?shù)墓乐?，并能以“二分法的相關(guān)思想”探索估值的思路并設(shè)計估值程序。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中要注重指數(shù)、對數(shù)運算，并能結(jié)合指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖象與單調(diào)性進行估值，用“二分法的相關(guān)思想”提高估值的精確度，要使學(xué)生理解估值運算的基本程序。

例2：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第13 題

【內(nèi)涵分析】本題主要考查運用基本不等式求最值。其中，基本數(shù)學(xué)運算是解題的關(guān)鍵，考生需要熟悉基本不等式求最小值的“模型”，即通過數(shù)學(xué)運算構(gòu)造“倒數(shù)關(guān)系”，這樣能產(chǎn)生積為“定值”，從而求最小值。

【考生表現(xiàn)】 本題得分率為0.51，屬于中等難度題。

表2 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第13 題各水平組得分

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段能夠運用基本數(shù)學(xué)運算對代數(shù)式變形從而構(gòu)造“基本模型”是較為熟悉的，例如構(gòu)造平方關(guān)系、倒數(shù)關(guān)系等。在高中的學(xué)習(xí)過程中，G3 和G4 組大部分考生運用運算變形代數(shù)式的能力日益增強，但G1 和G2 組考生對運算的觀察能力仍然較弱，即事先預(yù)判運算過程的能力沒能得到較好發(fā)展。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中要強調(diào)基本運算在解題中的作用，特別是在構(gòu)造“基本模型”時的作用。教學(xué)中要通過設(shè)計數(shù)學(xué)運算與基本不等式、函數(shù)、數(shù)列等相關(guān)聯(lián)的問題情境，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)運算是解題的重要工具，增強學(xué)生的運算意識，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)運算的觀察能力。

例3：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第15 題

在△ABC 中，內(nèi)A，B，C 角所對的邊分別a，b，c為．已知b+c=2a，3csin B=4asin C．

（Ⅰ）求cos B 的值；

【內(nèi)涵分析】本題設(shè)計了正余定理、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式、二倍角公式的關(guān)聯(lián)情境，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平，特別是在運用余弦定理求時，需要帶有變量進行消去運算，這是評價考生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平的重要依據(jù)。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.91，屬于簡單題。

表3 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第15 題各水平組得分

從解題情況看，學(xué)生能夠結(jié)合定理及公式進行求值運算，基本達到了《新課標》中數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平二的要求。只有少部分G1 組的考生，缺乏對含有a，b，c 三個變量的運算的規(guī)劃能力，也有個別考生在基本運算上出現(xiàn)失誤。

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)運算發(fā)展到具體數(shù)值運算、代數(shù)式整理的運算水平，并不能對含有多個變量的代數(shù)式設(shè)計出消去運算程序。通過高中的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠?qū)卸鄠€變量的代數(shù)式設(shè)計合理的運算途徑，數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)得到了提高。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中，要幫助學(xué)生分析運算的特點，從為何算、如何算、由何算的角度對數(shù)學(xué)運算進行分析。

可見，學(xué)生在高中階段的數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)明顯提高，主要表現(xiàn)在運用數(shù)學(xué)運算解決問題的意識、數(shù)學(xué)運算技能、數(shù)學(xué)運算方法以及設(shè)計運算程序、調(diào)節(jié)運算思路等方面的能力得到了提高。不過，學(xué)生對基本運算有時會出現(xiàn)錯誤，影響了數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的表現(xiàn)水平，同時G1 組考生運算程序的設(shè)計水平較低。

四、直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展水平分析

學(xué)生進入高中后，直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展機會最多，也是最先發(fā)展起來的。特別是在高一學(xué)習(xí)函數(shù)概念與性質(zhì)及應(yīng)用和指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用時，對直觀想象在解決問題中的作用有了較為系統(tǒng)的理解，同時對數(shù)形結(jié)合的思想方法的認識也得到了提升。高二學(xué)習(xí)立體幾何，發(fā)展了學(xué)生的空間想象力；學(xué)習(xí)解析幾何，提高了學(xué)生幾何與代數(shù)之間的轉(zhuǎn)化能力，發(fā)展了分析圖形的能力；學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)時，學(xué)生再次體會函數(shù)圖象在解題中的作用，又一次提升了直觀想象素養(yǎng)。

例4：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第11 題

【內(nèi)涵分析】本題主要考查棱錐的性質(zhì)和圓柱的體積等基礎(chǔ)知識，考查考生“識圖”、“畫圖”和“想圖”的空間想象能力。解題的關(guān)鍵在于正確理解并想象出題目中四個中點的外接圓，并求此圓的半徑和圓柱的高。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.47，屬于中等難度題。

表4 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第11 題各水平組得分

【內(nèi)涵分析】本題考查平面向量基本定理和平面向量的數(shù)量積運算。運用平面向量基本定理將所求向量用已知向量表示是解題的出發(fā)點，運用平面幾何知識挖掘圖形中的幾何條件是解題的關(guān)鍵，上述

考生總體表現(xiàn)水平低于預(yù)期， 其中G1 和G2組考生不能想象出圖形的形狀，想象和構(gòu)建幾何圖形的能力較弱。 部分G3 組考生將棱錐看成實物，所以將題目想象成從棱錐中截取圓柱，即將四個中點的外接圓想象成了內(nèi)切圓，這部分考生對圖形的抽象能力有待提高。另外，有些考生在求圓柱的高時出現(xiàn)錯誤，主要原因是沒能發(fā)現(xiàn)圓柱高與圓錐高的關(guān)系。

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段建立了基本的空間觀念，認識了簡單的幾何體。在平面幾何的學(xué)習(xí)中，能夠分析平面幾何中圖形與圖形的關(guān)系、圖形與數(shù)量的關(guān)系。在高中階段，G3、G4 組考生已經(jīng)發(fā)展到具備想象并構(gòu)建立體幾何圖形的能力，并能發(fā)現(xiàn)空間圖形之間的關(guān)系，能分析立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系。G1 和G2 組考生在關(guān)聯(lián)情境中想象和建構(gòu)空間的能力仍然較弱，未能達到《新課標》中直觀想象素養(yǎng)水平二的要求。

【教學(xué)啟示】立體幾何的教學(xué)要進一步培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，教學(xué)要在提高學(xué)生“識圖、畫圖、想圖”的能力上下功夫，在提高探索圖形與圖形之間關(guān)系上下功夫，在運用平面幾何知識挖掘截面圖形的性質(zhì)上下功夫。

例5：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第14 題兩點均需要學(xué)生達到《新課標》中直觀想象素養(yǎng)水平二的要求。若本題運用平面坐標的坐標運算，通過挖掘幾何條件寫出坐標仍然是解題的關(guān)鍵。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.43，屬于中等難度題。

表5 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第14 題各水平組得分

G1、G2 組考生對平面向量的理解不夠清晰，運用平面向量基本定理解決問題的能力較差，解題也就無從入手。G3 組考生主要由于缺乏運用平面幾何知識探索圖形中條件的經(jīng)驗，沒能意識到可以求三角形中的邊和角，所以確定基底出現(xiàn)了困難。另外，在利用坐標運算解此題時，考生解題難點也在于運用平面幾何知識探索出圖形的邊和角，進而寫出點的坐標。

【素養(yǎng)發(fā)展】學(xué)生在義務(wù)教育階段解決平面幾何問題時，能借助全等、等量代換等方法將線段和角進行轉(zhuǎn)化，即能夠發(fā)現(xiàn)較為明顯的圖形與圖形間的關(guān)系，這反映出學(xué)生已達到了在熟悉的或關(guān)聯(lián)的幾何情境中發(fā)現(xiàn)三角形的邊的關(guān)系、角的關(guān)系的水平。高中階段通過平面向量基本定理與運算的學(xué)習(xí)，G4 及部分G3 組考生能在向量與平面幾何的關(guān)聯(lián)情境中，探索出向量與向量的關(guān)系，能正確選擇基底，將向量進行合理的轉(zhuǎn)化，其直觀想象素養(yǎng)達到了在關(guān)聯(lián)情境中發(fā)現(xiàn)圖形與圖形、圖形與數(shù)量關(guān)系的水平。但G1 和G2 組考生在向量與平面幾何的關(guān)聯(lián)情境中，沒有達到正確選擇基底轉(zhuǎn)化向量的水平。

【教學(xué)啟示】向量的教學(xué)要以理解向量的概念為出發(fā)點，以平面向量的基本定理為抓手，以向量運算為工具，提升學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)。 教學(xué)中要將選擇基底并運用基底表示向量作為重點和難點，要讓學(xué)生理解 “為何運用基底”“如何選擇基底”“由何確定基底”等問題。同時，還要訓(xùn)練學(xué)生在平面幾何與平面向量的關(guān)聯(lián)情境中，注重平面幾何條件的挖掘和平面向量基本定理的應(yīng)用。對于G1 和G2 組考生還要落實向量的概念、 向量線性運算和數(shù)量積運算等基礎(chǔ)知識， 循序漸進地對平面向量進行學(xué)習(xí)。

例6：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第18 題：

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)點P 在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M 為直線PB 與x 軸的交點，點N 在y 軸的負半軸上．若（O 為原點），且OP⊥MN，求直線PB 的斜率．

【內(nèi)涵分析】本題主要考查由橢圓性質(zhì)求橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓相交時，通過交點坐標所滿足的條件和直線與直線的垂直關(guān)系，列方程并求參數(shù)的方法。解答此題需要考生具備將幾何圖形及圖形之間的關(guān)系用代數(shù)形式表達的能力，還要具備用方程思想解決幾何圖形相關(guān)問題的能力。由于此題僅涉及一個參數(shù)，所以只需列一個方程即可解決，難度并不大。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.69，屬于中等偏易題。其中第（Ⅰ）問占4 分，得分為率為0.93；第（Ⅱ）問占9 分，得分率為0.58。

表6 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第18_Ⅱ問各水平組得分

從答題情況上看，考生基本掌握了橢圓的方程與性質(zhì)，以及用代數(shù)法表達直線與橢圓相交問題。在熟悉的情境中，大部分考生能通過列等式、解方程的方法求得參數(shù)。但部分考生未能求出交點坐標，也有部分考生不能將圖形中的幾何條件用代數(shù)式正確表達，還有部分考生在運算中出現(xiàn)錯誤。

【素養(yǎng)發(fā)展】在義務(wù)教育階段，學(xué)生能從函數(shù)角度解決直線與直線、直線與拋物線相交時的相關(guān)問題，也能運用待定系數(shù)法求函數(shù)中的參數(shù)，學(xué)生初步了解圖形與數(shù)量的關(guān)系，對數(shù)形結(jié)合思想也有了初步的認識。高中階段通過解析幾何的學(xué)習(xí)，學(xué)生從數(shù)學(xué)原理的角度認識了曲線與方程的關(guān)系，大部分學(xué)生能夠掌握將圖形關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的基本方法，理解并會運用解方程來研究圖形問題的基本方法，形成了系統(tǒng)的數(shù)形結(jié)合思想，直觀想象的素養(yǎng)得到更為全面、細致、深入的發(fā)展。

【教學(xué)啟示】解析幾何的教學(xué)要使學(xué)生形成用代數(shù)法解決幾何問題的意識，強化學(xué)生將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)式的技能。要讓學(xué)生掌握“建參”與“消參”的技巧，理解圖形的特征與建立等式（或不等式）的關(guān)系，理解參數(shù)個數(shù)與方程個數(shù)間的關(guān)系。還要讓學(xué)生能夠從運動變化的觀點分析圖形，進而分析圖形中變量與變量之間的代數(shù)關(guān)系。

總之，學(xué)生在高中階段直觀想象素養(yǎng)有較大提升，無論是運用數(shù)形結(jié)合解決函數(shù)問題，還是運用代數(shù)方法解決幾何問題，學(xué)生均形成了一定的解題模式。不但數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識增強了，還能分析數(shù)與形為何能結(jié)合、如何進行數(shù)形結(jié)合等問題。但部分考生的空間想象力還存在一定的差距，建立空間圖形間聯(lián)系的能力以及在較復(fù)雜的關(guān)聯(lián)情境中挖掘平面圖形幾何性質(zhì)的能力有待進一步加強。

五、邏輯推理素養(yǎng)的發(fā)展水平分析

邏輯推理是數(shù)學(xué)的“靈魂”，也是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的最重要的標志。學(xué)生在義務(wù)教育階段，通過參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數(shù)學(xué)活動，發(fā)展了合情推理和演繹推理能力，并能較為清晰地用數(shù)學(xué)語言表達自己的思考過程與結(jié)果。例如，在解決簡單的探索規(guī)律問題、幾何證明問題和函數(shù)綜合問題時，學(xué)生能運用合情推理和演繹推理的方法，也能運用“分析法”尋找解決問題的思路；但不同水平組學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)水平的差異較大。

在高中階段，邏輯推理貫穿學(xué)習(xí)的始終，特別是含參的代數(shù)問題、幾何證明問題、轉(zhuǎn)化與化歸的問題等，均能提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)強調(diào)在關(guān)聯(lián)的情境中通過分析問題的條件與結(jié)論的關(guān)系，以相關(guān)概念、命題、定理為工具，探索論證思路，并用準確的數(shù)學(xué)語言進行表達。

例7：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第19 題

設(shè){an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列．已知a1=4，b1=6，b2=2a2-2，b3=2a3+4，．

（Ⅰ）求{an}和{bn}的通項公式；

【內(nèi)涵分析】本題主要考查等差等比數(shù)列的通項公式及其前項和公式等基礎(chǔ)知識。在第（Ⅱ）問的第（ii）小問中，需要考生將所研究的數(shù)列轉(zhuǎn)化為能求和的數(shù)列，這是一個具有創(chuàng)造性思維的推理過程，考查了數(shù)列求和的基本方法和化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法，以及邏輯推理素養(yǎng)。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.53，屬于中等難度題。其中第（Ⅰ）問占6 分，得分為率為0.93。第（Ⅱ）問的第（i）小問占3 分，得分率為0.46；第（ii）小問占5 分，得分率為0.08。

表7 2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第19_Ⅱ_i小問各水平組得分

考生的主要問題表現(xiàn)為沒有轉(zhuǎn)化的意識，即不能通過構(gòu)造的方法將所求數(shù)列與結(jié)論中的特殊數(shù)列建立聯(lián)系。

【素養(yǎng)發(fā)展】在義務(wù)教育階段，學(xué)生具有將所求轉(zhuǎn)化為熟悉“模型”從而解決問題的能力。通過高中階段的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生能在關(guān)聯(lián)情境下將所求與熟悉的概念、定理、結(jié)論和方法相聯(lián)系，通過邏輯推理的思考過程將問題進行合理的化歸與轉(zhuǎn)化。但學(xué)生對于將所求問題轉(zhuǎn)化為一些不常見的“模型”缺乏經(jīng)驗，特別是像本題中要綜合運用數(shù)學(xué)運算與邏輯推理解決問題的情況，只有G4 組中三分之一的考生能夠達到該水平。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中要提高學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸意識，提高學(xué)生用“分析法”探索解題方法的能力，讓學(xué)生分析或反思解題思路的形成過程，將思維的推理過程呈現(xiàn)出來。幫助學(xué)生積累轉(zhuǎn)化的“模型”和“經(jīng)驗”，還要幫助學(xué)生理解并運用數(shù)學(xué)符號語言求解或證明。

例8：2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷第20 題

設(shè)函數(shù)f（x）=excosx，g（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

【內(nèi)涵分析】本題綜合考查了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，圍繞函數(shù)的單調(diào)性、最值和零點設(shè)計問題，三個設(shè)問間具有很強的層次性和關(guān)聯(lián)性。第（Ⅱ）問要建立不等關(guān)系與最值的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為運用導(dǎo)數(shù)求最值的問題。第（Ⅲ）問要通過換元與第（Ⅰ）（Ⅱ）問建立聯(lián)系，從而構(gòu)造出不等關(guān)系，再運用不等式的性質(zhì)進行放縮?？疾榱撕瘮?shù)思想和化歸思想以及考生的邏輯推理素養(yǎng)水平。

【考生表現(xiàn)】本題得分率為0.13，屬于難題。其中第（Ⅰ）問占3 分，得分為率為0.47，第（Ⅱ）問占4分，得分率為0.10，第（Ⅲ）問7 分，得分率為0.00，本問G4 組得分率為0.01。第（Ⅰ）問，考生知道用求導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性，但部分考生未掌握求導(dǎo)公式，還有部分考生不會解三角不等式。第（Ⅱ）問，考生知道用求最小值的方法進行證明，但考生不具備運用抽象函數(shù)形式表達導(dǎo)數(shù)的能力，在用具體函數(shù)求導(dǎo)后分析導(dǎo)函數(shù)的符號有些復(fù)雜。第（Ⅲ）問，由于問題形式較復(fù)雜， 考生沒能將所證問題與第（Ⅰ）（Ⅱ）問的結(jié)論建立聯(lián)系，對本問無從入手。

【素養(yǎng)發(fā)展】義務(wù)教育階段學(xué)生對不等式關(guān)系的證明，只能運用“作差法”和解不等式的方法，推理的思路是將比較轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)運算。高中階段學(xué)生對不等式證明的邏輯推理有了新的發(fā)展，其中有兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實、不等式的性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性、求最值、放縮法等。在探究推理思路時，大部分學(xué)生能聯(lián)想到將所證轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值和函數(shù)單調(diào)性解決問題，但在較復(fù)雜的情境中，學(xué)生的論證思路就有些紊亂，不能將所證問題與已知的結(jié)論或方法等建立聯(lián)系，用數(shù)學(xué)符號表達的能力也存在問題。

【教學(xué)啟示】教學(xué)中要增強學(xué)生的“論據(jù)”意識，強調(diào)推理方法的形成過程，強調(diào)轉(zhuǎn)化思想在證明中的作用，幫助學(xué)生總結(jié)和體會證明方法的特點。G4組考生要厘清復(fù)雜情境中條件之間、結(jié)論之間的關(guān)系，要重視運用“構(gòu)造法”建立條件與結(jié)論間的聯(lián)系，增強數(shù)學(xué)符號語言的表達能力。

高中階段，學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)得到了一定程度的提高，學(xué)生具有將所證與已知、定理、公理或數(shù)學(xué)思想方法建立聯(lián)系的意識，能將問題進行適當?shù)幕瘹w與轉(zhuǎn)化。但在較為復(fù)雜的情境中，學(xué)生建立聯(lián)系的能力不能發(fā)揮出來，數(shù)學(xué)語言表達推理過程的能力較弱。對比各水平組發(fā)展空間，G4 組考生遠遠高于其他水平組。

六、教學(xué)建議

（一）研讀“課程標準”，根據(jù)學(xué)生實際確定教學(xué)目標

“課程標準”既是教學(xué)的依據(jù)，也是衡量教學(xué)質(zhì)量的工具。高中學(xué)習(xí)目標的確定要以課程內(nèi)容相關(guān)要求為標準，突出重點問題與核心問題。為此，教師要能夠衡量“了解”“理解”“掌握”“運用”等描述結(jié)果的行為動詞所表示的程度，要反思“經(jīng)歷”“體驗”“探索”等表述過程的目標是否達成。教學(xué)目標的制定既要關(guān)注基礎(chǔ)知識、基本技能力，又要強調(diào)數(shù)學(xué)思想方法及基本活動經(jīng)驗。同時還要通過研讀課程內(nèi)容，提煉其中蘊含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并融入到學(xué)生知識與技能的發(fā)展之中，逐步落實和滲透。教師還要認真研究數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分，以其中的“水平二”作為高考要求，用水平劃分的標準來衡量教學(xué)內(nèi)容和練習(xí)題目所達到的水平，分析每位學(xué)生的實際水平與高考要求的差距和問題所在。

教學(xué)目標的制定還要依據(jù)學(xué)生的實際水平，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，制定適合學(xué)生學(xué)習(xí)又接近課程要求的目標。達到高考要求的教學(xué)目標不是一步到位的，要以學(xué)生實際水平為起點，著眼于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，關(guān)注主干知識的學(xué)習(xí)效果，關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的落實。教學(xué)目標的制定，要注重分析情境與問題的水平，即學(xué)生可以解決什么水平的情境與問題；要注重分析知識與技能的達成程度，即學(xué)生可以運用什么知識與技能解決問題；要注重分析思維與表達所要達到的水平，即學(xué)生思考問題的能力與表述過程的水平；要注重分析交流與反思的水平，即對學(xué)生運用數(shù)學(xué)語言解釋、交流、反思問題的水平進行評價。根據(jù)上述四個方面學(xué)生的表現(xiàn)水平，評價學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平。

（二）以落實“四基”為抓手，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

高中學(xué)習(xí)以高中數(shù)學(xué)主干知識為載體，全面落實基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想方法和基本活動經(jīng)驗，即以建立主干知識結(jié)構(gòu)為核心，梳理基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)基本解題技能，反思知識中所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法，并從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的角度審視知識的特點及學(xué)生學(xué)習(xí)水平。教學(xué)中既要從知識層面對主干知識進行細致學(xué)習(xí)，又要從數(shù)學(xué)思想方法的角度分析知識與練習(xí)題目的特點。

1.梳理框架，創(chuàng)設(shè)適宜的問題情境

教師要梳理主干知識框架，形成思維導(dǎo)圖，并在學(xué)習(xí)過程中不斷充實思維導(dǎo)圖。幫助學(xué)生在教師的引領(lǐng)下，最終形成個人的思維導(dǎo)圖。教師要經(jīng)常思考知識間的關(guān)聯(lián)，將單元內(nèi)部和單元之間的知識關(guān)聯(lián)起來創(chuàng)設(shè)問題情境，幫助學(xué)生理解并找到解決關(guān)聯(lián)問題情境的要點，使學(xué)生達到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分中“水平二”的要求。教學(xué)中，教師把握好試題的難度及容量，適當引入一些具有應(yīng)用性、開放性、探究性的問題，不可走入“題海戰(zhàn)術(shù)”的誤區(qū)。

2.夯實基礎(chǔ)，提高技能

基礎(chǔ)知識一直是高考主要的考查內(nèi)容。2019 年高考數(shù)學(xué)（理）天津卷考后數(shù)據(jù)顯示，容易題共99分，占試卷總分值的三分之二。這些題目涵蓋高中數(shù)學(xué)的每個主題，因此，掌握基礎(chǔ)知識、提高解題基本技能是高中學(xué)習(xí)的重中之重，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的保障與途徑。

基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)要全面、有效。以課標要求為依據(jù)，對相關(guān)概念、定理、公式的學(xué)習(xí)要厘清其脈絡(luò)，讓學(xué)生能夠理解知識的來龍去脈，形成探究知識的基本活動經(jīng)驗和典型題目的解題經(jīng)驗?；A(chǔ)知識的學(xué)習(xí)要全面，不能存在盲區(qū)，對教材中例題、習(xí)題、學(xué)習(xí)參考題等提到的問題，均要重視起來，以免造成學(xué)生遇到問題感到陌生，對解題無從入手?；A(chǔ)知識的學(xué)習(xí)還要追求高效，教學(xué)中要直擊主題，題目設(shè)計以課標要求為依據(jù)，不偏不怪，幫助學(xué)生融會貫通地理解知識，特別是對基本水平及以下的學(xué)生，要做好面向全體教學(xué)與個別輔導(dǎo)相結(jié)合，對最重要的知識點要逐個落實，逐人幫扶。

高三學(xué)習(xí)是形成解題基本技能的關(guān)鍵時期。教學(xué)中要讓學(xué)生理解并體會基本技能在解題中的作用。學(xué)生基本技能的形成不是一蹴而就的，要在各個單元的學(xué)習(xí)中螺旋式地提高。教師也要根據(jù)單元特點提前做好規(guī)劃，循序漸進地提升學(xué)生的基本技能。例如運算求解能力，首先要讓學(xué)生要理解并體會數(shù)學(xué)運算在解題中作用，體會運算過程的表現(xiàn)形式，再結(jié)合單元知識特征分析本單元運算的特點，逐步積累運算的經(jīng)驗，讓學(xué)生經(jīng)歷并體驗運算程序的設(shè)計、運算思路的探究以及運算過程執(zhí)行過程。在各單元的教學(xué)中都要訓(xùn)練學(xué)生運算的準確率，讓學(xué)生積累運算技巧的經(jīng)驗。這樣就能系統(tǒng)地培養(yǎng)學(xué)生的運算求解能力。提高解題基本技能要根據(jù)學(xué)生特點嘗試運用適當?shù)慕虒W(xué)方法，例如“點播總結(jié)”“練習(xí)體驗”“誤試”“反思”等方法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷解題過程，形成基本技能，積累解題技巧和經(jīng)驗。

3.提煉數(shù)學(xué)思想方法，知識與思想方法相互融合

數(shù)學(xué)思想方法是解決數(shù)學(xué)問題的精髓，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的抓手。學(xué)生要達到數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分中“水平二”的要求，就必須能夠從數(shù)學(xué)思想方法的維度分析和解決問題。滲透數(shù)學(xué)思想方法，首先，教師要幫助學(xué)生進行提煉，使學(xué)生理解思想方法表現(xiàn)的形態(tài)，并體會其在解題中的作用。其次，要讓學(xué)生將知識與思想方法相結(jié)合，體會思想方法在每個單元內(nèi)容中的特點。例如，數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)與解析幾何單元中的表現(xiàn)特點不同，教學(xué)中要讓學(xué)生理解其在解決函數(shù)問題中“以形助數(shù)”的功能，在解決解析幾何問題中“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化功能，最后還要幫助學(xué)生整體地理解數(shù)形結(jié)合，提高學(xué)生的直觀想象能力，這樣就能讓學(xué)生逐步深入、層層遞進地理解和運用數(shù)形結(jié)合思想。再有，教學(xué)中要經(jīng)常開展解題反思活動，讓學(xué)生從數(shù)學(xué)思想方法的維度分析題目，從“為何用”“如何用”“由何用”等方面分析數(shù)學(xué)思想方法在解題中的作用。

4.積累基本活動經(jīng)驗，形成“模型”思想

積累基本活動經(jīng)驗是提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志，也是學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)思維思考世界的基礎(chǔ)。高三學(xué)習(xí)中，學(xué)生養(yǎng)成積累活動經(jīng)驗的良好習(xí)慣是提高學(xué)習(xí)效率的有效途徑。幫助學(xué)生積累活動經(jīng)驗要做好以下三個方面。第一，積累活動經(jīng)驗靠教師 “點撥”。即教師要對基本圖形、基本題型、常見條件、常見問題的處理方法輕車熟路，教學(xué)中要強調(diào)其重要性，并指導(dǎo)學(xué)生把這些活動經(jīng)驗納入到認知結(jié)構(gòu)中，形成基本的解題“模型”。第二，運用活動經(jīng)驗要靠學(xué)生“嫁接”。即在關(guān)聯(lián)情境中將不同的活動經(jīng)驗嫁接在一起，找到情境之間的關(guān)聯(lián)，發(fā)揮每種經(jīng)驗的作用。第三，豐富活動經(jīng)驗要靠學(xué)生“轉(zhuǎn)化”。即增強學(xué)生將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉經(jīng)驗的意識，教師可通過提問引導(dǎo)的方式，幫助學(xué)生將新問題轉(zhuǎn)化為熟悉的“模型”。另外，活動經(jīng)驗的積累要呈螺旋式上升的結(jié)構(gòu)。即由積累解決單一知識的經(jīng)驗，逐步發(fā)展到積累解決知識點交匯問題的經(jīng)驗，由積累解決簡單問題方法的經(jīng)驗，逐步發(fā)展到積累復(fù)雜問題方法的經(jīng)驗，這樣知識與方法層面的活動經(jīng)驗逐步提升、相互整合，最終形成高中數(shù)學(xué)整體的活動經(jīng)驗。

（三）以單元教學(xué)思想為指導(dǎo)，形成高中數(shù)學(xué)整體知識結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是逐漸建構(gòu)起來的一個整體，高中學(xué)習(xí)要著眼于此整體結(jié)構(gòu)的建構(gòu)過程。該結(jié)構(gòu)可分為函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)探究活動四大主題，每個主題又可分成若干個單元。高考所考查的內(nèi)容以創(chuàng)設(shè)單元內(nèi)或單元之間的關(guān)聯(lián)情境為載體，考查學(xué)生抽象概念、推理論證、數(shù)形結(jié)合、空間想象、運算求解、數(shù)據(jù)分析等解題能力，以及發(fā)現(xiàn)提出問題和分析解決問題的能力，從而考查學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平。由此可見，高中學(xué)習(xí)要以單元教學(xué)思想為指導(dǎo)，即將高中數(shù)學(xué)知識中“具有某種內(nèi)在關(guān)聯(lián)性”的內(nèi)容進行分析、重組、整合，有目標、有計劃、有控制地組織整體性教學(xué)。這種學(xué)習(xí)具有知識的整體性、問題的關(guān)聯(lián)性、目標的規(guī)劃性、難點的分散性、結(jié)構(gòu)的彌漫性等特點，體現(xiàn)出高中學(xué)習(xí)要在學(xué)生原有的認知基礎(chǔ)上進行遞進式、螺旋式、交織式的建構(gòu)。

1.注重單元內(nèi)整體性的教學(xué)

高三學(xué)習(xí)要以主題為單位，整體布局內(nèi)容，突出知識間的聯(lián)系性和主題的整體性。教學(xué)中要將以往教學(xué)設(shè)計的“線性結(jié)構(gòu)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤熬W(wǎng)狀結(jié)構(gòu)”，將關(guān)注課時的局部化設(shè)計轉(zhuǎn)變?yōu)殛P(guān)注全局的整體式設(shè)計。教學(xué)中要找到單元的核心內(nèi)容和核心數(shù)學(xué)思想方法，找出一條串聯(lián)整個單元的“邏輯線”。通常以知識結(jié)構(gòu)圖為工具，根據(jù)結(jié)構(gòu)圖分解單元內(nèi)容，合理布局、布點，將知識目標及數(shù)學(xué)思想方法目標合理地分布在各課時中，時刻關(guān)注分解后的知識間的關(guān)聯(lián)。另外，教學(xué)中例題和練習(xí)題的選取要體現(xiàn)單元內(nèi)容交匯的關(guān)聯(lián)情境，圍繞“交匯點”設(shè)計問題，以點帶面，強化訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生綜合解決問題的能力。

2.注重單元內(nèi)關(guān)鍵數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升

高三學(xué)習(xí)中，各單元內(nèi)容所要培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)往往具有共性和一致性。教學(xué)中首先要提煉教學(xué)內(nèi)容所要培養(yǎng)的關(guān)鍵數(shù)學(xué)素養(yǎng)，然后依據(jù)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平，設(shè)計遞進式的培養(yǎng)計劃，即從縱向聯(lián)系的角度規(guī)劃課時之間的關(guān)系，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的起點和目標間的關(guān)系，通過適當問題的探究、反思等活動，有計劃有目的地提高學(xué)生在單元學(xué)習(xí)中的關(guān)鍵數(shù)學(xué)素養(yǎng)。例如，解析幾何單元所培養(yǎng)的關(guān)鍵素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運算和直觀想象素養(yǎng)。教師要從整體設(shè)置好直線、圓和圓錐曲線三個小單元的“職能”。在直線學(xué)習(xí)中，學(xué)生要體會數(shù)學(xué)運算解決幾何問題的作用，體會解析幾何中運算的特點，培養(yǎng)學(xué)生簡單的“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化能力；在圓的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要再次體會圖形與方程的關(guān)系，提高學(xué)生數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，進一步理解運算中“消參”的方法及意義。在圓錐曲線的學(xué)習(xí)中，再次提高學(xué)生運用代數(shù)法解決幾何問題的意識，提高學(xué)生運算程序的設(shè)計及運算思路的探究能力，理解運用“建參”和“消參”解決解析幾何問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生對較復(fù)雜問題的“由形到數(shù)”的轉(zhuǎn)化能力。這樣在此單元的學(xué)習(xí)中，就有計劃地提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)運算與直觀想象素養(yǎng)。

總之，高三學(xué)習(xí)要以學(xué)生已具備的認知水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng)水平為出發(fā)點，以達到課標中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平劃分的“水平二”的要求為目標，以鞏固“四基”、提高“四能”為抓手，以單元教學(xué)思想為指導(dǎo)，通過創(chuàng)設(shè)適當?shù)那榫常柟袒A(chǔ)知識，提高解題技能，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)思想方法，積累基本活動經(jīng)驗，從而有計劃有目的地提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平。