提高解決數(shù)列問(wèn)題能力的幾個(gè)對(duì)策

■福建省龍巖市永定區(qū)城關(guān)中學(xué) (特級(jí)教師)

一、重視基本量解題意識(shí)，厘清知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，切實(shí)掌握數(shù)列的概念與性質(zhì)

在高考試題中,選擇題和填空題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì),解答題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和公式及簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系(主要是Sn與an的關(guān)系),一般是中檔題,注重通性通法。而等差、等比數(shù)列常涉及a1,an,n,d(q),Sn五個(gè)量和兩組基本公式,而這兩組公式可看作多元方程,利用這些方程可將等差、等比數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于基本量的方程(組),所以加強(qiáng)用基本量法解題是一種常用且行之有效的方法。

例1(2019年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)卷文科第3題)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a8-a5=9,S8-S5=66,則a33=( )。

A.82 B.97 C.100 D.115

解法1：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d。

所以a33=a1+32d=100,選C。

解法2：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d。

因?yàn)閍8-a5=3d,S8-S5=3a7,依題意解得d=3,a7=22。

所以a33=a7+26d=22+26×3=100,選C。

點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)等差數(shù)列的定義,再利用已知條件列出首項(xiàng)和公差滿(mǎn)足的方程組并求解,即可解決問(wèn)題;或者根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),分別求出公差和a7,即可迅速求解。

二、重視公式的應(yīng)用

數(shù)列的運(yùn)算,高考中常見(jiàn)的是用有關(guān)公式和性質(zhì)求解一些基本量的問(wèn)題,an與Sn的關(guān)系也是高考考查的熱點(diǎn)。

例2已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a2=2,S5=15。數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿(mǎn)足Tn=(n+5)an。

(1)求an;

解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,依題意知。

解得a1=d=1。因此,an=n。

(2)由(1)得an=n,所以Tn=n(n+5)。

當(dāng)n≥2 時(shí),Tn-Tn-1=n(n+5)-(n-1)(n+4)=2n+4;

當(dāng)n=1時(shí),b1=T1=6也滿(mǎn)足上式。

所以bn=2n+4(n∈N*)。

當(dāng)n=1時(shí),P1=,也滿(mǎn)足上式。

綜上可得Pn=。

例3已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),求{an}的通項(xiàng)公式。

解析：因?yàn)閍n=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2),所以an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)·an-2(n≥3)。

兩式相減得an-an-1=(n-1)an-1,即=n(n≥3)。

因?yàn)閍2=a1=1,所以an=n=。

又因?yàn)閍1=1不適合上式,a2=1適合上式,所以an=。

三、合理選擇運(yùn)算途徑

從多年高考對(duì)數(shù)列考查的趨勢(shì)看,兩類(lèi)特殊數(shù)列基本量的計(jì)算、兩類(lèi)特殊數(shù)列的定義與通項(xiàng)an的求法及數(shù)列求和方法等是考查的重點(diǎn)。同學(xué)們解題時(shí)只有合理選擇運(yùn)算方法才能簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程(如,經(jīng)常要把作為整體代換)。

例4(2019年福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢查測(cè)卷文科第12 題)數(shù)列{an}中,a1=2,且an+an-1=+2(n≥2),則數(shù)列的前2 019項(xiàng)和為( )。

解析：由題意得=n+2(anan-1),即。

兩邊配方整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n。

由累加法可得(an-1)2-(a1-1)2=2+3+…+n(n≥2)。因?yàn)?a1-1)2=1,所以(an-1)2=(n≥2)。

又a1=2 也滿(mǎn)足上式,所以(an-1)2=(n∈N*)。

點(diǎn)評(píng)：只要通過(guò)去分母、配方將條件中的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為(an-1)2與(an-1-1)2間的關(guān)系,用“累加法”求出(an-1)2的表達(dá)式,再利用“裂項(xiàng)相消法”即可求解。

四、強(qiáng)化合情推理的訓(xùn)練

數(shù)列是按一定次序排列的一列數(shù),這決定了數(shù)列解題中離不開(kāi)規(guī)律性和技巧性的探究,故靈活應(yīng)用合情推理方法解決數(shù)列問(wèn)題就顯得尤為重要。

例5無(wú)窮數(shù)列{an}由k個(gè)不同的數(shù)組成,Sn為{an}的前n項(xiàng)和。若對(duì)任意n∈N*,Sn∈{2,3},則k的最大值為_(kāi)_____。

解析：當(dāng)n=1時(shí),a1=2或a1=3。當(dāng)n≥2時(shí),若Sn=2,則Sn-1=2,于是an=0;若Sn=3,則Sn-1=3,于是an=0。從而存在k∈N*,當(dāng)n≥k時(shí),ak=0。其中數(shù)列{an}：2,1,-1,0,0,0,…,滿(mǎn)足條件,所以kmax=4。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同學(xué)們的邏輯推理能力。從研究Sn與an的關(guān)系入手,推斷數(shù)列的構(gòu)成特點(diǎn),解題時(shí)應(yīng)特別注意對(duì)“數(shù)列{an}由k個(gè)不同的數(shù)組成”和“k的最大值”的理解。

例6若a,b是函數(shù)f(x)=x2-px+q(p＞0,q＞0)的兩個(gè)不同的零點(diǎn),且a,b,-2這三個(gè)數(shù)適當(dāng)排序后可成等差數(shù)列,適當(dāng)排序后也可成等比數(shù)列,則p+q的值等于_____。

解析：由韋達(dá)定理得a+b=p,a·b=q,則a＞0,b＞0。當(dāng)a,b,-2適當(dāng)排序后成等比數(shù)列時(shí),-2必為等比中項(xiàng),故a·b=q=4,b=。當(dāng)適當(dāng)排序后成等差數(shù)列時(shí),-2必不是等差中項(xiàng),當(dāng)a是等差中項(xiàng)時(shí),2a=-2,解得a=1,b=4;當(dāng)是等差中項(xiàng)時(shí),=a-2,解得a=4,b=1。

綜上所述,a+b=p=5,p+q=9。

點(diǎn)評(píng)：本題以零點(diǎn)為載體考查等比中項(xiàng)和等差中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),考查分類(lèi)討論思想,也考查了邏輯推理能力。

五、關(guān)注數(shù)列的簡(jiǎn)單應(yīng)用

新定義題型是高考試題永不過(guò)時(shí)的創(chuàng)新題型,也是傳承高考試題革新的重要途徑和手段。在近幾年高考中以數(shù)列知識(shí)為背景滲透數(shù)學(xué)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的題型經(jīng)常出現(xiàn),這類(lèi)題以新課標(biāo)教材內(nèi)容為背景,給出某種新概念、新公式或新符號(hào)等,要求同學(xué)們?cè)诶斫庀嚓P(guān)新概念、新公式或新符號(hào)之后,運(yùn)用所學(xué)知識(shí),結(jié)合已掌握的技能,通過(guò)推理、運(yùn)算等尋求問(wèn)題解決。

例7艾薩克·牛頓(1643 年1 月4日—1727年3月31日)英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)長(zhǎng),英國(guó)著名物理學(xué)家,同時(shí)在數(shù)學(xué)上也有很多杰出的貢獻(xiàn)。牛頓用“作切線(xiàn)”的方法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)時(shí)給出一個(gè)數(shù)列{xn},滿(mǎn)足xn+1=,把該數(shù)列稱(chēng)為牛頓數(shù)列。如果函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2,數(shù)列{xn}為牛頓數(shù)列,設(shè)an=,已知a1=2,xn＞2,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=______

解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)有兩個(gè)零點(diǎn)1,2,所以：

又因?yàn)閍n=,且a1=2,所以an+1=2an,即數(shù)列{an}為等比數(shù)列,且{an}的通項(xiàng)公式an=2n。

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)在于得到xn+1=后如何繼續(xù)下去。需要對(duì)問(wèn)題有整體性的理解與把握,與后面的an=建立聯(lián)系,即可想到要計(jì)算xn+1-2和xn+1-1的值,體現(xiàn)了綜合法與分析法的結(jié)合。