全國(guó)名校高二數(shù)學(xué)選修2-3綜合測(cè)試（B卷）

■四川省閬中市川綿外國(guó)語(yǔ)學(xué)校

一、選擇題

1.從1,2,…,9這9個(gè)數(shù)中,隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的數(shù),則這兩個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是( )。

2.根據(jù)中央對(duì)“精準(zhǔn)扶貧”的要求,某市決定派7 名黨員去甲、乙、丙三個(gè)村進(jìn)行調(diào)研,其中有4名男性黨員,3名女性黨員?，F(xiàn)從中選3人去甲村,若要求這3人中既有男性,又有女性,則不同的選法共有( )。

A.35種 B.30種

C.28種 D.25種

3.利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法調(diào)查高中生的寫(xiě)作水平與喜好閱讀是否有關(guān),通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)120名高中生是否喜好閱讀,利用2×2列聯(lián)表,由計(jì)算可得K2=4.236。

表1

參照表1,可得正確的結(jié)論是( )。

A.有95%的把握認(rèn)為“寫(xiě)作水平與喜好閱讀有關(guān)”

B.有97.5%的把握認(rèn)為“寫(xiě)作水平與喜好閱讀有關(guān)”

C.有95%的把握認(rèn)為“寫(xiě)作水平與喜好閱讀無(wú)關(guān)”

D.有97.5%的把握認(rèn)為“寫(xiě)作水平與喜好閱讀無(wú)關(guān)”

4.在3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同,若事件A至少發(fā)生1次的概率為,則事件A發(fā)生次數(shù)ξ的期望和方差分別為( )。

5.若m,n均為非負(fù)整數(shù),在做m+n的加法時(shí)各位均不進(jìn)位(例如：2 019+100=2 119,則稱(m,n)為“簡(jiǎn)單的”有序?qū)?而m+n稱為有序?qū)?m,n)的值,那么值為2 019的“簡(jiǎn)單的”有序?qū)Φ膫€(gè)數(shù)是( )。

A.100 B.96 C.60 D.30

6.二項(xiàng)式展開(kāi)式中只有一項(xiàng)的系數(shù)為有理數(shù),則n可能取值為( )。

A.6 B.7 C.8 D.9

7.漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的珍寶。如圖1所示的弦圖中,由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成?，F(xiàn)用5種不同的顏色涂色,要求相鄰的區(qū)域不能用同一種顏色,則不同的涂色方案有( )。

A.180種 B.192種

C.420種 D.480種

8.設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布X～,則函數(shù)存在零點(diǎn)的概率是( )。

9.設(shè)X～N(1,1),其正態(tài)分布密度曲線如圖2 所示,那么向正方形ABCD中隨機(jī)投擲10 000 個(gè)點(diǎn),則落入陰影部分的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值是( )。

(注：若X～N(μ,σ2),則P(μ-σ＜X＜μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ＜X＜μ+2σ)=0.954 4)

A.7 539 B.7 028

C.6 038 D.6 587

10.某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊5個(gè)人玩搶紅包游戲,現(xiàn)有4個(gè)紅包,每人最多搶1個(gè),且紅包被全部搶完,4個(gè)紅包中有2個(gè)6元,1個(gè)8元,1個(gè)10元(紅包中金額相同視為相同紅包),則甲、乙都搶到紅包的情況有( )。

A.18種 B.24種

C.36種 D.48種

11.一位射箭運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練時(shí)只記射中9環(huán)和10環(huán)的成績(jī),未擊中9環(huán)或10環(huán)就記為0環(huán)。該運(yùn)動(dòng)員在訓(xùn)練時(shí)擊中10環(huán)的概率為a,擊中9環(huán)的概率為b,既未擊中9環(huán)也未擊中10環(huán)的概率為c(a,b,c∈［0,1）),如果已知該運(yùn)動(dòng)員一次射箭擊中環(huán)數(shù)的期望為9環(huán),則當(dāng)取最小值時(shí),c的值為( )。

12.設(shè)一個(gè)正三棱柱ABC-DEF,每條棱長(zhǎng)都相等,一只螞蟻從上底面ABC的某頂點(diǎn)出發(fā),每次只沿著棱爬行并爬到另一個(gè)頂點(diǎn),算一次爬行。假設(shè)它選擇三個(gè)方向爬行的概率相等,若螞蟻爬行10 次,仍然在上底面的概率為P10,則P10為( )。

二、填空題

13.已知,則x=_______。

14.有10個(gè)不同的小球,其中4個(gè)紅球,6個(gè)白球。若取到1個(gè)紅球記2分,取到1個(gè)白球記1分,現(xiàn)從10個(gè)球中任取4 個(gè),使總分不低于5分的取法有_______種。

15.若(1-ax+x2)4的展開(kāi)式中x5的系數(shù)為-56,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______。

16.有4個(gè)大人,2個(gè)小孩組團(tuán)去某景區(qū)旅游,準(zhǔn)備同時(shí)乘觀光纜車,現(xiàn)有3輛不同的纜車可供選擇,每輛纜車最多可乘3人,為了安全起見(jiàn),小孩乘纜車必須有大人陪同,則不同的乘車方式有______種。

三、解答題

17.用0,1,2,3,4,5,6 構(gòu)成無(wú)重復(fù)數(shù)字的七位數(shù),其中：

(1)能被25整除的數(shù)有多少個(gè)?

(2)設(shè)x、y、z分別表示個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字,滿足x＜y＜z的數(shù)有多少個(gè)?

(3)偶數(shù)必須相鄰的數(shù)有多少個(gè)?

18.在研發(fā)新型冠狀病毒疫苗實(shí)驗(yàn)中,某教授所帶的實(shí)驗(yàn)小組為了分析某藥物用藥量與血液中某種抗體水平的關(guān)系,選取6 只實(shí)驗(yàn)動(dòng)物進(jìn)行血檢,得到如下資料(表2)：

表2

記s為抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差,若抗體指標(biāo)落在內(nèi),則稱該動(dòng)物為有效動(dòng)物,否則稱為無(wú)效動(dòng)物。研究方案規(guī)定先從6只動(dòng)物中選取2只,用剩下的4只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求線性回歸方程,再對(duì)被選取的2 只動(dòng)物數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)。

(1)求選取的2 只動(dòng)物都是有效動(dòng)物的概率。

(2)若選取的是編號(hào)為1和6的2 只動(dòng)物,且利用剩余4只動(dòng)物的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程為=0.17x+a,試求出a的值。

(3)若根據(jù)回歸方程估計(jì)出的1 號(hào)和6號(hào)動(dòng)物抗體指標(biāo)數(shù)據(jù)與檢驗(yàn)結(jié)果誤差都不超過(guò)抗體指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)差,則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的。試判斷(2)中所得線性回歸方程是否可靠。

參考公式：樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的標(biāo)準(zhǔn)差：s=,其中為樣本平均數(shù)。

19.設(shè)(1+mx)2020=a0+a1x+a2x2+…+a2020x2020(m∈R)。

(1)若m=2,求a1+2a2+… +2 020a2020的值;

(2)若m=-1,求的值。

20.在新中國(guó)成立七十周年之際,某市宣傳部為了了解每天晚上7：30～10：00 這2.5 h內(nèi)居民瀏覽“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)間,進(jìn)行了一個(gè)調(diào)查,如果這個(gè)社區(qū)共有成人按10 000人計(jì)算,每人每天晚上7：30～10：00打開(kāi)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)APP”的概率均為p(某人在某一時(shí)刻打開(kāi)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的概率p=,0＜p＜1),并且是否打開(kāi)進(jìn)行學(xué)習(xí)是彼此相互獨(dú)立的。他們統(tǒng)計(jì)了其中100名成人每天晚上瀏覽“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的時(shí)間(單位：min),得到下面的頻數(shù)表(表3)：

表3

以樣本中100名成人的平均學(xué)習(xí)時(shí)間作為該社區(qū)每個(gè)人的學(xué)習(xí)時(shí)間。

(1)試估計(jì)p的值。

(2)設(shè)X表示這個(gè)社區(qū)每天晚上打開(kāi)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”進(jìn)行學(xué)習(xí)的人數(shù),①求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X);②若隨機(jī)變量Z滿足Z=,可認(rèn)為Z～N(0,1),假設(shè)當(dāng)4 950＜X≤5 100時(shí),表示社區(qū)處于最佳的學(xué)習(xí)氛圍,試由此估計(jì),該社區(qū)每天晚上處于最佳學(xué)習(xí)氛圍的時(shí)間長(zhǎng)度(結(jié)果保留為整數(shù))。

附：若Z～N(μ,σ2),則P(μ-σ＜Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ＜Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ＜Z≤μ+3σ)≈0.997 4。

21.在某省高中數(shù)學(xué)學(xué)科競(jìng)賽中,某一個(gè)考區(qū)4 000 名考生的參賽成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖3所示。

(1)求這4 000 名考生的競(jìng)賽平均成績(jī)ˉx(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表)。

(2)由直方圖可認(rèn)為考生競(jìng)賽成績(jī)z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),其中μ,σ2分別取考生的平均成績(jī)和考生成績(jī)的方差s2,那么該區(qū)4 000名考生成績(jī)超過(guò)84.81分的人數(shù)估計(jì)有多少人?

(3)如果用該區(qū)參賽考生成績(jī)的情況來(lái)估計(jì)全省的參賽考生的成績(jī)情況,現(xiàn)從全省參賽考生中隨機(jī)抽取4 名考生,記成績(jī)不超過(guò)84.81 分的考生人數(shù)為ξ,求P(ξ≤3)。(精確到0.001)

附：①s2=204.75,=14.31;

②z～N(μ,σ2),則P(μ-σ＜z＜μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ＜z＜μ+2σ)=0.954 4;

③0.841 34=0.501。

22.從2021 年起很多省將實(shí)施新高考,2018年秋季入學(xué)的高一學(xué)生是新高考首批考生,新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3 科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛(ài)好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3科參加考試,每科目滿分100分。

為了應(yīng)對(duì)新高考,某高中從高一年級(jí)1 000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查。

(1)已知抽取的n名學(xué)生中含女生45人,求n的值及抽取到的男生人數(shù)。

(2)學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目,為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況,對(duì)在(1)的條件下抽取到n名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目),下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的2×2列聯(lián)表(表4)：

表4

請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān),說(shuō)明你的理由。

表5

參考公式：K2=

(3)在抽取到的45名女生中按分層抽樣再抽出9名女生,了解女生對(duì)“歷史”的選課意向情況,在這9名女生中再抽取4人,設(shè)這4人中含選擇“地理”的人數(shù)為X,求X的分布列及期望。