高考“概率與統(tǒng)計”題：九個靶點(diǎn)，一舉突破

■安徽省利辛高級中學(xué)

考試范圍與要求：1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念,認(rèn)識分布列刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性,會求某些取有限個值的離散型隨機(jī)變量的分布列。2.了解超幾何分布,并能進(jìn)行簡單應(yīng)用。3.了解條件概率的概念,了解兩個事件互相獨(dú)立的概念,理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ图岸?xiàng)分布,并能解決一些簡單問題。4.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念,會求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差,并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單問題。5.借助直觀直方圖認(rèn)識正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義。6.了解回歸分析的思想、方法及其簡單應(yīng)用。7.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想、方法及其初步應(yīng)用。

要點(diǎn)簡析：以知識點(diǎn)1,2,3,5 為背景的試題以選擇題或填空題為主。以知識點(diǎn)4為背景的試題常以解答題的形式出現(xiàn),試題背景來源于社會實(shí)際,貼近生活,易于理解,體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計知識與社會生活的密切聯(lián)系,展現(xiàn)了概率與統(tǒng)計學(xué)的魅力,滲透了數(shù)學(xué)建模等核心素養(yǎng)。以知識點(diǎn)6,7為背景的統(tǒng)計試題,三種題型均有可能出現(xiàn),對回歸分析和獨(dú)立性檢驗(yàn)的考查以解答題為主,命題素材新穎,特別關(guān)注應(yīng)用與創(chuàng)新,突顯新課改精神。下面對本模塊的高考核心靶點(diǎn)進(jìn)行例析與歸納。

高考靶點(diǎn)一 條件概率及其應(yīng)用

例1(2016 年全國Ⅱ卷)某險種的基本保費(fèi)為a(單位：元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如表1：

表1

設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如表2：

表2

(1)求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率;

(2)若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi),求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率;

(3)求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值。

解析：(1)設(shè)A表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”,則事件A發(fā)生時一年內(nèi)出險次數(shù)大于1,故P(A)=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55。

(2)設(shè)B表示事件“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”,則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3,故P(B)=0.10+0.05=0.15。又P(AB)=P(B),故P(B|A)=。

(3)記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X,則X的分布列如表3：

表3

E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a。因此,續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23。

方法突破：1.設(shè)A、B是兩個事件,且P(A)＞0,稱P(B|A)=為在事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的概率,其中P(B|A)=既是條件概率的定義,也是條件概率的公式。

2.條件概率的性質(zhì)：①0≤P(B|A)≤1;②如果B和C是兩個互斥事件,那么P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);③若A、B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B)。

3.條件概率的兩種求解方法：(1)定義法,先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求之;(2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=。

高考靶點(diǎn)二 相互獨(dú)立事件的概率及其應(yīng)用

例2(2019 年沈陽市高三檢測)某商場舉行優(yōu)惠促銷活動,顧客僅可以從以下兩種優(yōu)惠方案中選擇一種。方案一：每滿200元減50元;方案二：每滿200元可抽獎一次,具體規(guī)則是依次從裝有3 個紅球、1 個白球的甲箱,裝有2 個紅球、2 個白球的乙箱,以及裝有1個紅球、3 個白球的丙箱中各隨機(jī)摸出1個球(注：所有小球僅顏色有區(qū)別),所得結(jié)果和享受的優(yōu)惠如表4：

表4

(1)若兩個顧客都選擇方案二,各抽獎一次,求至少一個人獲得半價優(yōu)惠的概率;

(2)若某顧客購物金額為320元,用所學(xué)概率知識比較哪一種方案更劃算。

解析：(1)設(shè)事件A為“顧客獲得半價優(yōu)惠”,則P(A)=,所以兩個顧客各抽獎一次,至少一個人獲得半價優(yōu)惠的概率P=。

(2)若該顧客選擇方案一,則付款金額為320-50=270(元)。若該顧客選擇方案二,記付款金額為X元,則X可取得值為160,224,256,320,P(X=160)=,P(X=224)==,P(X=256)=,P(X=320)=。

所以E(X)==240(元)。

因?yàn)?70＞240,所以方案二更劃算。

方法突破：求相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的概率的方法：(1)利用互相獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解;(2)正面計算較煩瑣或難以入手時,可從其對立事件入手,如本例第一問,由題意結(jié)合對立事件的概率公式求解。本題以商場舉行優(yōu)惠促銷活動為背景考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用。

高考靶點(diǎn)三 獨(dú)立重復(fù)與二項(xiàng)分布

例3(2020 屆河北衡水第一次調(diào)研)生蠔即牡蠣,亞熱帶、熱帶沿海都適宜蠔的養(yǎng)殖,蠔乃軟體有殼、依附寄生的動物,咸淡水交界所產(chǎn)尤為肥美,因此,生蠔成為了一年四季不可或缺的美食。某飯店從某水產(chǎn)養(yǎng)殖場大量購進(jìn)了一批生蠔,并隨機(jī)抽取了40只統(tǒng)計質(zhì)量,得到的結(jié)果如圖1所示。(用區(qū)間中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)的平均值)

(1)若購進(jìn)這批生蠔500 kg,試估計這批生蠔的數(shù)量;(結(jié)果四舍五入,保留整數(shù))

(2)以頻率估計概率,若在本次購買的生蠔中隨機(jī)挑選4 只,記質(zhì)量在[5,25)內(nèi)的生蠔的只數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望。

解析：①先估算出生蠔的平均質(zhì)量為28.5g,由此能估計出這批生蠔的數(shù)量。②任意挑選一只,質(zhì)量在［5,25）內(nèi)的概率p=,X的可能取值為0,1,2,3,4,X～,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(1)由圖1 中的數(shù)據(jù)可以估算生蠔的平均質(zhì)量為：

(2)由圖1 中數(shù)據(jù)知,任意挑選一只,質(zhì)量在[5,25)內(nèi)的概率為,則由題意可知X～。X的可能取值為0,1,2,3,4,則P(X=0)=;

所以X的分布列如表5：

表5

由X～,得E(X)=。

方法突破：解決二項(xiàng)分布問題的關(guān)鍵：(1)二項(xiàng)分布的判斷,判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,應(yīng)判斷兩個方面,一是判斷是否為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),二是判斷隨機(jī)變量是否為這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)。(2)二項(xiàng)分布的期望與方差公式：若X～B(n,p),則P(X=k)=(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)。(3)特別地,若n=1,又稱隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,則E(X)=p,D(X)=p(1-p)。

高考靶點(diǎn)四 超幾何分布

例4(2020年湖北省部分重點(diǎn)中學(xué)高三聯(lián)考)為了引導(dǎo)居民合理用電,國家決定實(shí)行合理的階梯電價,居民用電原則上以住宅為單位(一套住宅一戶),如表6：

表6

某市隨機(jī)抽取10個用戶同一個月的用電情況,如表7所示：

表7

(1)若規(guī)定第一階梯電價每度0.5元,第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元,第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元,試計算居民用電戶月用電410度時應(yīng)交電費(fèi)多少元。

(2)現(xiàn)要在這10 戶家庭中任意選取3戶,求取到第二階梯電量的用戶數(shù)的分布列與期望。

(3)以表中抽到的10個用戶作為樣本估計全市居民用電,現(xiàn)從全市中依次抽取10戶,若抽到k戶月用電量為第一階梯的可能性最大,求k的值。

解析：(1)由題意知,居民用電戶月用電410度時應(yīng)交電費(fèi)210×0.5+(400-210)×0.6+(410-400)×0.8=227(元)。

(2)設(shè)取到第二階梯電量的用戶數(shù)為ξ,可知第二階梯電量的用戶有3 戶,則ξ可取0,1,2,3,P(ξ=0)=,P(ξ=1)=,P(ξ=2)=,P(ξ=3)=。

故ξ的分布列如表8：

表8

所以E(ξ)=。

(3)由題意可知,從全市中抽取10戶,設(shè)其中月用電量為第一階梯的戶數(shù)為X,則X～(k=0,1,2,3,…,10)。

方法突破：解決超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用問題時,應(yīng)關(guān)注：(1)定義：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中,任取n件,其中恰有X件次品數(shù),則事件{X=k}發(fā)生的概率為P(X=k)=,k=0,1,2,…,m,其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*稱分布列為超幾何分布列。如果隨機(jī)變量X的分布列為超幾何分布列,則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布。(2)其特點(diǎn)：①對于服從該分布的隨機(jī)變量,其分布列可直接應(yīng)用公式給出,如E(X)=,D(X)=,可作參考備之。②該分布描述的是不放回抽樣問題,隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù),隨機(jī)變量取值的概率實(shí)質(zhì)上是古典概型。

高考靶點(diǎn)五 正態(tài)分布

例5(洛陽市2020學(xué)年上學(xué)期高三尖子生聯(lián)考)“過大年,吃水餃”是我國不少地方過春節(jié)的一大習(xí)俗。2019年春節(jié)前夕,A市某質(zhì)量檢測部門隨機(jī)抽取了100包某種品牌的速凍水餃,檢測其某項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值,所得頻率分布直方圖如圖2。

(1)求所抽取的100 包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)。

(2)(i)由頻率分布直方圖可以認(rèn)為,速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),利用該正態(tài)分布,求Z落在(14.55,38.45]內(nèi)的概率;(ii)將頻率視為概率,若某人從該市某超市購買了4 包這種品牌的速凍水餃,記這4 包速凍水餃中該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值位于(10,30]內(nèi)的包數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

附：計算得所抽查的這100 包速凍水餃的該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的標(biāo)準(zhǔn)差σ=≈11.95,若ξ～N(μ,σ2),則P(μ-σ＜ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ＜ξ≤μ+2σ)≈0.954 4。

解析：(1)所抽取的100包速凍水餃該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)為：

(2)(i)因?yàn)閆服從正態(tài)分布N(μ,σ2),且μ=26.5,σ≈11.95,所以P(14.55＜Z≤38.45)=P(26.5-11.95＜Z≤26.5+11.95)≈0.682 6,Z落在(14.55,38.45]內(nèi)的概率是0.682 6。

(ii)根據(jù)題意得X～,P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,P(X=4)=。

故X的分布列如表9：

表9

則E(X)==2。

方法突破：解此類問題的關(guān)鍵是利用正態(tài)曲線的對稱性,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化,解題時要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解,要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用。(1)熟記P(μ-σ＜X≤μ+σ),P(μ-2σ＜X≤μ+2σ),P(μ-3σ＜X≤μ+3σ)的值。(2)充分利用正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1。(3)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱,從而在關(guān)于x=μ對稱的區(qū)間上概率相同。(4)P(X≤a)=1-P(X≥a),P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a)。

高考靶點(diǎn)六 變量的相關(guān)性與回歸分析

例6(昆明市2019屆高考模擬考試)改革開放以來,我國農(nóng)村7 億多貧困人口擺脫貧困,貧困發(fā)生率由1978年的97.5%下降到2018年底的1.4%,創(chuàng)造了人類減貧史上的中國奇跡,為全球減貧事業(yè)貢獻(xiàn)了中國智慧和中國方案?！柏毨Оl(fā)生率”是指低于貧困線的人口占全體人口的比例。2012 年至2018年我國貧困發(fā)生率的數(shù)據(jù)如表10：

表10

(1)從表中所給的7 個貧困發(fā)生率數(shù)據(jù)中任選2個,求至少有1個低于5%的概率;

(2)設(shè)年份代碼x=t-2 015,利用回歸方程,分析2012 年至2018 年貧困發(fā)生率的變化情況,并預(yù)測2019年貧困發(fā)生率。

解析：(1)所求概率P=。

(2)由題意可得表11：

表11

方法突破：(1)本模塊已成為高考命題的熱點(diǎn)之一,要求理解用回歸分析處理相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)方法,理解最小二乘法,了解回歸的基本思想方法及其簡單應(yīng)用,充分表明新課程對統(tǒng)計思想的重視。(2)求回歸性方程時,關(guān)鍵是正確求其系數(shù),由于計算量大,計算時需謹(jǐn)慎;數(shù)據(jù)分析后,關(guān)鍵是如何獲得與解釋結(jié)論;同時,應(yīng)用過程就是正確構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,即數(shù)學(xué)建模。因此要不斷地提升同學(xué)們的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

高考靶點(diǎn)七 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用

例7(大同市2020屆高三調(diào)研卷)某學(xué)校為了對教師教學(xué)水平和教師管理水平進(jìn)行評價,從該校學(xué)生中選出300人進(jìn)行統(tǒng)計,其中對教師教學(xué)水平給出好評的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的60%,對教師管理水平給出好評的學(xué)生人數(shù)為總數(shù)的75%,對教師教學(xué)水平和教師管理水平都給出好評的有120人。

(1)填寫下面對教師教學(xué)水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表(表12)：

表12

問：是否可以在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為對教師教學(xué)水平給出好評與對教師管理水平給出好評有關(guān)?

(2)若將頻率視為概率,有4名教師參與了此次評價,設(shè)教師教學(xué)水平和教師管理水平全為好評的教師人數(shù)為隨機(jī)變量X。

①求教師教學(xué)水平和教師管理水平全為好評的教師人數(shù)X的分布列(概率用數(shù)值作答);

②求X的數(shù)學(xué)期望和方差。

附：K2=,其中n=a+b+c+d。

表13

解析：(1)由題意可得對教師教學(xué)水平和教師管理水平評價的2×2列聯(lián)表：

表14

K2=≈16.667＞10.828。

故可以在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為對教師教學(xué)水平給出好評與對教師管理水平給出好評有關(guān)。

故X的分布列如表15：

表15

②由于X～,則E(X)=4×=,D(X)=。

方法突破：運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想考查兩個分類變量是否有關(guān)系是高考命題的熱點(diǎn),其求解關(guān)鍵步驟為：根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表;根據(jù)公式計算出k的值;比較k的值與臨界值的大小關(guān)系,作出統(tǒng)計推斷,確定給出這種判斷的可靠程度。

高考靶點(diǎn)八 概率、統(tǒng)計與其他知識的綜合問題

例8(武漢市2020屆高三質(zhì)量檢測)武漢又稱江城,是湖北省省會城市,被譽(yù)為中部地區(qū)中心城市,它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化,更有著眾多旅游景點(diǎn),每年來武漢參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù),其中黃鶴樓與東湖被稱為兩張名片。為合理配置旅游資源,現(xiàn)對已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查,若不游玩東湖記1分,若繼續(xù)游玩東湖記2 分,每位游客選擇是否游覽東湖景點(diǎn)的概率均為,游客之間選擇意愿相互獨(dú)立。

(1)從游客中隨機(jī)抽取3人,記總得分為隨機(jī)變量X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望。

(2)(i)若從游客中隨機(jī)抽取m人,記總得分恰為m的概率為Am,求數(shù)列{Am}的前10項(xiàng)和;

(ii)在對所有游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查過程中,記已調(diào)查過的累計得分恰為n的概率為Bn,探討B(tài)n與Bn-1之間的關(guān)系,并求數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)公式。

解析：(1)X的可能取值為3,4,5,6,P(X=3)=,P(x=4)=,P(X=5)=,P(X=6)=。

故X的分布列如表16：

表16

(2)(i)總得分恰為m的概率Am=,數(shù)列{Am}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,前10 項(xiàng)和S10==。

(ii)已調(diào)查過的累計得分恰為n的概率為Bn,得不到n分的情況只有先得(n-1)分,再得2分,概率為,故1-,即Bn=。

故Bn=。

方法突破：解決此類綜合題的關(guān)鍵是：(1)認(rèn)真審題,合理、準(zhǔn)確地建立概率、統(tǒng)計模型,判斷隨機(jī)變量的所有可能取值,根據(jù)概率分布類型,計算各隨機(jī)變量取值時的概率、列出分布列;(2)根據(jù)知識間的綜合類型找出知識交匯處的突破點(diǎn),從而把模塊間的綜合轉(zhuǎn)化為模塊知識內(nèi)的綜合,然后在某知識體系內(nèi)進(jìn)行求解。

高考靶點(diǎn)九 利用概率與統(tǒng)計知識解釋方案的合理性

例9(惠州市2020 屆高三第一次調(diào)研)某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商,對一次性購買2 臺機(jī)器的客戶,推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案：

方案一：交納延保金7 000元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次,超過2次每次收取維修費(fèi)2 000元;

方案二：交納延保金10 000 元,在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次,超過4次每次收取維修費(fèi)1 000元。

某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2 臺這種機(jī)器,現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時應(yīng)購買哪種延保方案,為此搜集并整理了50 臺這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù),如表17：

表17

以這50臺機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替一臺機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率,記X表示這兩臺機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)。

(1)求X的分布列;

(2)以所需延保金與維修費(fèi)用的和的期望值為決策依據(jù),醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算?

解析：(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6。

故X的分布列如表18：

表18

(2)選擇延保方案一,所需延保金與維修費(fèi)用的和Y1(單位：元)的分布列如表19：

表19

選擇延保方案二,所需延保金與維修費(fèi)用的和Y2(單位：元)的分布列如表20：

表20

因?yàn)镋(Y1)＞E(Y2),所以該醫(yī)院選擇延保方案二更合算。

方法突破：解決此類問題的關(guān)鍵是：以實(shí)際生產(chǎn)、生活等問題中的環(huán)保、民生、科技、旅游或經(jīng)濟(jì)效益或方案的合理性(優(yōu)化問題)等為背景,準(zhǔn)確建立概率、函數(shù)、數(shù)列等數(shù)學(xué)模型,然后根據(jù)整合的數(shù)據(jù),并利用不同的特征值對研究對象給出定量計算或合理定性判斷。