求離散型隨機(jī)變量期望與方差的常見策略

■江蘇省鹽城市時楊中學(xué)

離散型隨機(jī)變量最重要的特征數(shù)是數(shù)學(xué)期望與方差,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平與波動幅度,它們都是建立在分布列基礎(chǔ)之上,與概率相聯(lián)系,因而成為高考的重點(diǎn)。通常情況下,求解離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差,都是先求出隨機(jī)變量取每個值時的概率,再得其分布列,最后用數(shù)學(xué)期望與方差的定義求解。

一、利用離散型隨機(jī)變量的期望與方差的定義求解

例1(2019年北京理數(shù)第17題)改革開放以來,人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變,近年來,移動支付已成為主要支付方式之一。為了解某校學(xué)生上個月A,B兩種移動支付方式的使用情況,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,發(fā)現(xiàn)樣本中A,B兩種支付方式都不使用的有5人,樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如表1：

表1

(1)從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人,估計(jì)該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率。

(2)從樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望。

(3)已知上個月樣本中學(xué)生的支付方式在本月沒有變化,現(xiàn)從樣本中僅使用A的學(xué)生中,隨機(jī)抽查3人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于 2 000。根據(jù)抽查結(jié)果,能否認(rèn)為樣本中僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000的人數(shù)有變化? 請說明理由。

解析：(1)由題意知,從全校所有的1 000名學(xué)生中隨機(jī)抽取的100人中,A,B兩種支付方式都不使用的有5人,僅使用A的有30人,僅使用B的有25 人,故A,B兩種支付方式都使用的人數(shù)為100-5-30-25=40。

則從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1 人,估計(jì)該學(xué)生上個月A,B兩種支付方式都使用的概率。

(2)從樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人,以X表示這2人中上個月支付金額大于1 000元的人數(shù),則X的可能取值為0,1,2。樣本中僅使用A的學(xué)生有30人,其中支付金額在(0,1 000]的有18人,超過1 000元的有12人。樣本中僅使用B的學(xué)生有25 人,其中支付金額在(0,1 000]的有10人,超過1 000元的有15人。

故X的分布列如表2：

表2

(3)不能認(rèn)為樣本中僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000 元的人數(shù)有變化,理由如下：從樣本知僅使用A的學(xué)生有30人,其中27人月支付金額不大于2 000,有3人月支付金額大于2 000,隨機(jī)抽查3 人,發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2 000的概率為,但也有發(fā)生的可能。

故不能認(rèn)為樣本中僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2 000的人數(shù)有變化。

點(diǎn)評：本題考查概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,又考查古典概型、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識,也考查同學(xué)們的推理能力與計(jì)算能力,是中檔題。

練習(xí)1：某市有甲、乙、丙3個旅游景點(diǎn),一位客人游覽這3個景點(diǎn)的概率分別是0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個景點(diǎn)互不影響,設(shè)ξ表示客人離開該城市時游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對值。

(1)求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望;

(2)記“函數(shù)f(x)=x2-3ξx+1在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A的概率。

解析：用A1表示游覽了第一個景點(diǎn),表示沒游覽第一個景點(diǎn);A2表示游覽了第二個景點(diǎn),表示沒游覽第二個景點(diǎn);A3表示游覽了第三個景點(diǎn),表示沒游覽第三個景點(diǎn)。

(1)由分析得,P(ξ=3)=P(A1·A2·A3)+=P(A1)·P(A2)·P(A3)+=2×0.4×0.5×0.6=0.24。

P(ξ=1)=1-0.24=0.76。

所以ξ的分布列如表3：

表3

故E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48。

(2)因?yàn)閒(x)=,所以 函 數(shù)f(x)=x2-3ξx+1 在區(qū)間上單調(diào)遞增。要使f(x)在[2,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)且僅當(dāng),即ξ≤。從而P(A)==P(ξ=1)=0.76。

二、利用特殊分布的數(shù)學(xué)期望與方差求解

例2(2019 年天津理16)設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間,每天7：30之前到校的概率均為。假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響,且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立。

(1)用X表示甲同學(xué)上學(xué)期間的3天中7：30之前到校的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(2)設(shè)M為事件“上學(xué)期間的3天中,甲同學(xué)在7：30 之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”,求事件M發(fā)生的概率。

解析：(1)甲同學(xué)上學(xué)期間的3天中到校情況相互獨(dú)立,且每天7：30之前到校的概率均為,故X～,從而P(X=k)=。

X的分布列如表4：

表4

(2)設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的3天中7：30到校的天數(shù)為Y,則Y～。

由題意知M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}。并且{X=3,Y=1}與{X=2,Y=0}互斥,{X=3}與{Y=1},{X=2}與{Y=0}相互獨(dú)立,由(1)知,P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P({X=3,Y=1})+P({X=2,Y=0})=P(X=3)·P(Y=1)+P(X=2)·P(Y=0)==。

點(diǎn)評：本題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望,互斥事件與相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式,也考查特殊分布的期望與方差公式,同時考查同學(xué)們應(yīng)用概率公式解決實(shí)際問題的能力。

蘇佩斯對科學(xué)理論問題的研究始于邏輯經(jīng)驗(yàn)主義學(xué)派向歷史主義學(xué)派的轉(zhuǎn)型期，這便決定了其問題論證的出發(fā)點(diǎn)必然是基于對邏輯經(jīng)驗(yàn)主義“公認(rèn)觀點(diǎn)”的批判，但他秉持一種多元論的包容性觀點(diǎn)，并未對其完全加以否定，而是針對其簡單性提出了質(zhì)問。此外，蘇佩斯基于自身多年來對集合論的研究，把較強(qiáng)的數(shù)學(xué)元素引入討論中，這使得對理論的闡述在一階邏輯范圍內(nèi)得以實(shí)現(xiàn)。再者，模型作為蘇佩斯科學(xué)理論研究中的重要基點(diǎn)，“集合論模型”的構(gòu)建為直接描述科學(xué)理論問題提供了更為深入理論本質(zhì)的探討。

練習(xí)2：一家面包房根據(jù)以往某種面包的銷售記錄,繪制了日銷售量的頻率分布直方圖,如圖1 所示。將日銷售量落入各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天的銷售量相互獨(dú)立。

(1)求在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個的概率;

(2)用X表示在未來3天里日銷售量不低于100 個的天數(shù),求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望E(X)及方差D(X)。

解析：(1)設(shè)A1表示事件“日銷售量不低于100個”,A2表示事件“日銷售量低于50個”,B表示事件“在未來連續(xù)3天里,有連續(xù)2天的日銷售量都不低于100個且另1天的日銷售量低于50個”,因此：

P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6,P(A2)=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108。

(2)X可能取的值為0,1,2,3,其相應(yīng)的概率為：

X的分布列如表5：

因?yàn)閄～B(3,0.6),所以數(shù)學(xué)期望E(X)=3×0.6=1.8,方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72。

三、利用離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差解決其他問題

例3有一幢樓房共19 層,若選擇其中某一層作為會議室,開會時每層去1 人,則會議室設(shè)在第幾層時,可使每人所走過的路程最短?(每層樓高度相同)

解析：大部分的同學(xué)拿到該題首先想到利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式建立與路程之間的關(guān)系,然后求最值,這是一種常規(guī)的思路。如果我們換一個角度思考：會議室設(shè)在哪一層都是隨機(jī)的,而設(shè)在任一層樓的概率都為。這樣,與上面兩個問題完全相同,所以我們“希望”會議室所在的樓層即為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。

由題意得會議室所在的樓層的分布列如表6：

表6

會議室設(shè)在第10層滿足題意。

點(diǎn)評：換一種角度,海闊天空,利用離散型隨機(jī)變量的分布列的數(shù)學(xué)期望可解決上述問題的最值問題。若把19改為n,則可進(jìn)一步引申出更為一般的結(jié)論：當(dāng)n為奇數(shù)時,會議室應(yīng)設(shè)在層;當(dāng)n為偶數(shù)時,會議室設(shè)在層均滿足題設(shè)要求。

練習(xí)3：設(shè)n把外形完全相同的鑰匙,其中只有1 把能打開大門,用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖,若抽取鑰匙是相對獨(dú)立且等可能,每把鑰匙用后都不放回,試求開鎖次數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。

解析：求P(ξ=k)時,由題意知前k-1次沒有打開,恰好第k次打開,取ξ=1,2,3,發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,再推廣到一般。ξ的可能取值為1,2,3,…,n。

故ξ的分布列如表7：

表7

故E(ξ)==。

若按一般方法求方差,顯然相當(dāng)麻煩,我們換作D(X)=E(X2)-(EX)2。

四、利用數(shù)學(xué)期望和方差制定出正確的方案

例4受轎車在保修期內(nèi)維修費(fèi)等因素的影響,每輛轎車產(chǎn)生的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān),某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車,保修期均為2 年,現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機(jī)抽取50輛,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表8：

表8

將頻率視為概率,解答下列問題：

(1)從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機(jī)抽取一輛,求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率;

(2)若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出,設(shè)生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為X1,生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為X2,分別求X1,X2的分布列;

(3)該廠預(yù)計(jì)今后這兩種品牌轎車銷量相當(dāng),由于資金限制,只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車,若從經(jīng)濟(jì)效益的角度考慮,你認(rèn)為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車,并說明理由。

解析：(1)設(shè)“甲品牌轎車首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)”為事件A,則P(A)=。

(2)依題意得,X1的分布列如表9：

表9

X2的分布列如表10：

表10

(3)由(2)得,E(X1)==2.86(萬元);

E(X2)==2.79(萬元)。

因?yàn)镋(X1)＞E(X2),所以應(yīng)生產(chǎn)甲品牌轎車。

點(diǎn)評：利用數(shù)學(xué)期望來作出決策,在實(shí)際問題中有非常重要的比較價值。解決實(shí)際應(yīng)用問題時,關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值時所表示的具體事件。