社會(huì)引力定律追根溯源*

閆小勇

1)(北京交通大學(xué),交通系統(tǒng)科學(xué)與工程研究院,北京 100044)

2)(電子科技大學(xué),復(fù)雜性實(shí)驗(yàn)室,成都 611731)

在交通出行、人口遷移、商品貿(mào)易、信息流通、社會(huì)交往、科研合作等大量人、物、信息的空間流動(dòng)現(xiàn)象中,都存在類(lèi)似萬(wàn)有引力定律的規(guī)律,即兩地之間的某種流動(dòng)量與兩地活力的乘積成正比、與兩地距離的冪成反比.類(lèi)比萬(wàn)有引力定律建立的引力模型也在交通出行分布預(yù)測(cè)、人口遷移量預(yù)測(cè)、地區(qū)間貿(mào)易量預(yù)測(cè)等諸多方面獲得了廣泛應(yīng)用.但復(fù)雜的社會(huì)系統(tǒng)中為何會(huì)有這樣簡(jiǎn)單的引力定律存在? 這是個(gè)非常有趣也有價(jià)值的問(wèn)題.本文對(duì)從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)和博弈論等不同視角探索社會(huì)引力定律根源的研究進(jìn)行了綜述.

1 引 言

預(yù)測(cè)地點(diǎn)間人、物、信息的流動(dòng)是社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)、交通科學(xué)、網(wǎng)絡(luò)科學(xué)等諸多學(xué)科長(zhǎng)期以來(lái)的一個(gè)重要研究主題[1,2].一百多年來(lái),研究者們陸續(xù)提出了多種預(yù)測(cè)地點(diǎn)間流動(dòng)量的模型(在經(jīng)濟(jì)學(xué)中被稱為空間交互模型[3]),其中最有影響力的是引力模型[4](gravity model,也譯為“重力模型”).引力模型在許多方面都獲得了廣泛應(yīng)用.例如在人口學(xué)中,引力模型被用來(lái)預(yù)測(cè)地區(qū)間的人口遷移量[5];在經(jīng)濟(jì)學(xué)中,引力模型被用來(lái)預(yù)測(cè)國(guó)家間的商品貿(mào)易量[6];在交通科學(xué)中,引力模型被用來(lái)預(yù)測(cè)地點(diǎn)間的交通出行量[7];在網(wǎng)絡(luò)科學(xué)中,引力模型被用來(lái)評(píng)估網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)的相似性[8]、影響力[9,10]等.引力模型之所以受到如此青睞,是由于在許多空間流動(dòng)現(xiàn)象中都存在類(lèi)似萬(wàn)有引力定律[11]的規(guī)律,即兩地之間的某種流動(dòng)量正比于兩地“活力”(多用地點(diǎn)人口數(shù)量、經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平、進(jìn)出流動(dòng)量等表示)的乘積,反比于兩地之間空間距離的冪函數(shù).這種規(guī)律被稱為社會(huì)引力定律[12].

早在1846年,Desart[13]就在比利時(shí)鐵路客運(yùn)數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn),兩個(gè)車(chē)站間的客運(yùn)量正比于兩個(gè)車(chē)站所在地的人口數(shù)乘積,反比于兩車(chē)站間距離的2.25次冪.這可能是關(guān)于發(fā)現(xiàn)社會(huì)引力定律的最早記載[14],其發(fā)現(xiàn)時(shí)間比Carey[15]在人口遷移現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)社會(huì)引力定律的時(shí)間(1858年)還要早12年.后來(lái),Ravenstein[16]從19世紀(jì)70—80年代英國(guó)人口普查數(shù)據(jù)中也發(fā)現(xiàn)兩地人口遷移量與兩地人口乘積成正比、與兩地距離成反比的現(xiàn)象.而Reilly[17]在1929年的著作中研究零售市場(chǎng)問(wèn)題時(shí)也發(fā)現(xiàn),零售中心從其周?chē)硞€(gè)城鎮(zhèn)吸引到的顧客數(shù)量與該零售中心的規(guī)模成正比,與兩地間的距離平方成反比.此后的幾十年中,研究者在交通[18]、人口[19]、經(jīng)濟(jì)[20]等領(lǐng)域又陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了許多服從社會(huì)引力定律的現(xiàn)象.

近年來(lái),隨著現(xiàn)代電子與信息技術(shù)的不斷發(fā)展,有越來(lái)越多的手段(如IC卡、GPS、手機(jī)、社交網(wǎng)站等)可長(zhǎng)期記錄人、物、信息在空間中的流動(dòng)數(shù)據(jù)[21,22].通過(guò)對(duì)這些大數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,統(tǒng)計(jì)物理與復(fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域的學(xué)者在很多復(fù)雜系統(tǒng)中都發(fā)現(xiàn)了符合社會(huì)引力定律的現(xiàn)象.例如,Viboud等[23]通過(guò)分析美國(guó)人口普查數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)兩郡之間的通勤出行量與郡人口、郡間距離的關(guān)系符合社會(huì)引力定律;Jung等[24]通過(guò)分析韓國(guó)高速公路收費(fèi)數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)兩城市間的高速公路交通量與城市人口、城市間距離的關(guān)系符合社會(huì)引力定律;Krings等[25]分析了比利時(shí)250萬(wàn)名匿名手機(jī)用戶在571個(gè)城鎮(zhèn)之間的手機(jī)通訊數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)城鎮(zhèn)間通訊量與城鎮(zhèn)人口、城鎮(zhèn)間距離的關(guān)系符合社會(huì)引力定律;Balcan等[26]通過(guò)分析國(guó)際航空運(yùn)輸協(xié)會(huì)的航空客運(yùn)數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)全球29個(gè)國(guó)家主要機(jī)場(chǎng)之間的航空運(yùn)輸量與機(jī)場(chǎng)服務(wù)區(qū)域人口、機(jī)場(chǎng)間距離的關(guān)系符合社會(huì)引力定律;Kaluza等[27]分析了全球船舶港口自動(dòng)識(shí)別系統(tǒng)數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)全球951個(gè)港口間的海運(yùn)量與港口進(jìn)出量、港口間距離的關(guān)系符合社會(huì)引力定律;Pan等[28]通過(guò)分析美國(guó)科學(xué)信息研究所 2003—2010年的論文數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)全球18199個(gè)城市之間的科研合作強(qiáng)度與城市整體科研水平、城市間距離的關(guān)系符合社會(huì)引力定律;Goh等[29,30]分析了韓國(guó)首爾市地鐵網(wǎng)絡(luò)和常規(guī)公交網(wǎng)絡(luò)中的刷卡數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)車(chē)站間客流與車(chē)站上下車(chē)客流、車(chē)站間距離的關(guān)系符合社會(huì)引力定律;Levy和Goldenberg[31]分析了Facebook等四類(lèi)社交網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù),發(fā)現(xiàn)兩人交往概率與兩人距離之間的關(guān)系符合社會(huì)引力定律.諸如此類(lèi)的研究還有很多.可以預(yù)見(jiàn),社會(huì)引力定律還會(huì)在更多的復(fù)雜系統(tǒng)中被發(fā)現(xiàn).

從以上研究回顧中可以看出,交通出行、人口遷移、商品貿(mào)易、信息流通、社會(huì)交往、科研合作等大量空間交互現(xiàn)象都符合社會(huì)引力定律.但在諸多復(fù)雜的社會(huì)系統(tǒng)中為何會(huì)有如此簡(jiǎn)單的社會(huì)引力定律存在? 這是一個(gè)困擾人類(lèi)上百年的問(wèn)題,也吸引了很多不同領(lǐng)域的學(xué)者對(duì)其追根溯源[32,33].從20世紀(jì)60年代起,統(tǒng)計(jì)物理領(lǐng)域的學(xué)者用最大熵原理[34]、經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的學(xué)者用效用理論[35,36]相繼對(duì)社會(huì)引力定律進(jìn)行了解釋.最近,復(fù)雜系統(tǒng)領(lǐng)域的研究人員又從博弈論角度探索了社會(huì)引力定律的根源[37].本文將對(duì)這些從不同視角探索社會(huì)引力定律根源的研究進(jìn)行綜述.

2 社會(huì)引力定律的統(tǒng)計(jì)物理解釋

2.1 最大熵原理導(dǎo)出引力模型

Wilson[34]以交通系統(tǒng)中地點(diǎn)間的出行分布問(wèn)題為背景,用統(tǒng)計(jì)物理學(xué)中的最大熵原理[38]對(duì)社會(huì)引力定律給出了最早的理論解釋.在交通系統(tǒng)的出行需求預(yù)測(cè)工作中,常采用的模型框架是“四階段法”,即依次進(jìn)行出行生成預(yù)測(cè)、出行分布預(yù)測(cè)、交通方式劃分和交通分配[7].其中,在出行生成預(yù)測(cè)階段可得到地點(diǎn)i的出行發(fā)生量 Oi和出行吸引量Di.而在出行分布預(yù)測(cè)階段,則要求預(yù)測(cè)出的地點(diǎn)間出行分布量 Tij既滿足發(fā)生量約束又滿足吸引量約束Wilson用最大熵原理導(dǎo)出了滿足以上兩類(lèi)約束的引力模型: 在交通系統(tǒng)總出行量為T(mén)的情況下,系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)是任意兩個(gè)地點(diǎn)i,j之間的出行量為 Tij,則系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為

Wilson為地點(diǎn)間出行量 Tij又增加了一個(gè)出行成本約束

其中 cij為從地點(diǎn)i到j(luò)的出行成本,C為系統(tǒng)可支配的總成本.那么,系統(tǒng)最可能出現(xiàn)的出行分布就是以下最大熵模型的解:

用拉格朗日乘子法可求得該模型的解為

2.2 成本與距離的對(duì)數(shù)關(guān)系

經(jīng)典引力模型中的距離函數(shù)是冪律函數(shù)[4].但(4)式中用最大熵原理導(dǎo)出的引力模型,其成本函數(shù)是負(fù)指數(shù)函數(shù)e-γcij,這與經(jīng)典引力模型中使用的距離冪函數(shù)不同.簡(jiǎn)單地看,直接將γcij=βlndij這種成本與距離之間的對(duì)數(shù)關(guān)系代入(4)式,即可得到經(jīng)典的雙約束引力模型但為什么成本與距離之間具有這種對(duì)數(shù)關(guān)系,之前并未得到很好的解答[39].

Yan等[40]為社會(huì)引力定律中距離的冪函數(shù)形式提供了一種解釋.他們認(rèn)為,交通系統(tǒng)中的出行成本c主要由出行時(shí)間t和貨幣費(fèi)用m兩部分組成,可以表示為二者的加權(quán)和形式 c ≈ ηt+μm[41].其中,貨幣費(fèi)用通常與出行距離d具有近似線性關(guān)系 m ≈νd[41].他們通過(guò)分析出行日志數(shù)據(jù)[42]中出行時(shí)間與距離的關(guān)系,發(fā)現(xiàn)出行時(shí)間與距離也具有近似對(duì)數(shù)關(guān)系 t ≈φl(shuí)nd+ψ[43].這種對(duì)數(shù)關(guān)系源于人們?cè)诓煌鲂芯嚯x所采用交通方式的速度差異[44],例如人們?cè)谶M(jìn)行幾百米的出行時(shí)往往是步行或騎自行車(chē),而幾十千米時(shí)就要使用公交、小汽車(chē)等交通方式,當(dāng)幾百千米時(shí)就要乘坐更快速的火車(chē)或飛機(jī)了,這使得出行時(shí)間和距離之間呈現(xiàn)非線性關(guān)系.綜上,可得到出行成本與距離之間的關(guān)系為c=ηφl(shuí)nd+ηψ+μνd.進(jìn)而結(jié)合最大熵原理,還可導(dǎo)出群體出行距離的截尾冪律分布P(d)～d-βe-d/κ.這一研究不僅能解釋社會(huì)引力定律中距離函數(shù)的冪律形式,還解釋了一大批出行距離分布的實(shí)證統(tǒng)計(jì)結(jié)果[45-50].

3 社會(huì)引力定律的微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋

Wilson用最大熵原理為社會(huì)引力定律提供了一個(gè)非常合理的宏觀解釋.但是,最大熵原理僅能給出系統(tǒng)最可能的宏觀分布狀態(tài),并不考慮系統(tǒng)中個(gè)體選擇出行目的地的微觀決策過(guò)程.從出行目的地選擇決策行為的角度來(lái)看,社會(huì)引力定律的微觀底層機(jī)制仍未得到滿意解答[32,33].而經(jīng)濟(jì)學(xué)家則很早就開(kāi)始用效用理論來(lái)研究個(gè)體選擇出行目的地的微觀決策行為[35,36].早期的研究使用確定效用理論來(lái)解釋社會(huì)引力定律[35],而影響更為廣泛的研究則是基于隨機(jī)效用理論的離散選擇模型[36].離散選擇模型是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中非常重要的描述個(gè)體選擇行為的方法,在交通系統(tǒng)出行選擇問(wèn)題上已獲得了非常廣泛的應(yīng)用[51,52].本節(jié)將介紹用離散選擇模型對(duì)個(gè)體出行目的地選擇行為進(jìn)行建模以及導(dǎo)出引力模型的方法.

3.1 目的地離散選擇模型

離散選擇模型被用來(lái)描述、解釋和預(yù)測(cè)決策者對(duì)多個(gè)離散的選項(xiàng)進(jìn)行選擇的行為.一次離散選擇行為通常包含以下要素[51].

1)決策者,即做出選擇行為的主體.在出行目的地選擇行為中,決策者就是指位于某起點(diǎn)選擇目的地的一個(gè)出行者.

2)選項(xiàng),即供決策者選擇的多項(xiàng)事物.在出行目的地選擇行為中,選項(xiàng)是指供出行者選擇的目的地.

3)選項(xiàng)屬性.決策者選擇選項(xiàng)時(shí)會(huì)考慮諸如價(jià)格、質(zhì)量等因素,每一種因素稱為一個(gè)屬性.在出行目的地選擇行為中,選項(xiàng)屬性一般包括各地點(diǎn)的活力、到各地點(diǎn)的距離或出行成本等.

4)決策準(zhǔn)則,即決策者在做出選擇時(shí)的行為準(zhǔn)則.最常用的是效用最大化準(zhǔn)則[53],即決策者在所有選項(xiàng)中選擇效用最高的選項(xiàng).此處的效用是指決策者選擇某個(gè)選項(xiàng)所能獲得的滿意程度.在出行目的地選擇問(wèn)題中,可用下式來(lái)表達(dá)這一準(zhǔn)則:

其中 Uij是位于地點(diǎn)i的出行者所選擇的目的地j的效用,Uik則是其他任一目的地的效用,K是所有目的地的集合.

(5)式的效用值 Uik本質(zhì)上是指目的地k所具有的真實(shí)效用.根據(jù)效用最大化準(zhǔn)則,決策者會(huì)選擇所有選項(xiàng)中真實(shí)效用最大的一個(gè)選項(xiàng).但實(shí)際選擇問(wèn)題中,決策者有可能并不是總選擇一個(gè)固定的選項(xiàng),而是以不同的概率選擇不同的選項(xiàng).這可能是決策者受到一些內(nèi)部或外部因素的影響,對(duì)選項(xiàng)效用的認(rèn)知發(fā)生了變化.但研究者并不能直接觀測(cè)真實(shí)效用變化,只能觀測(cè)選項(xiàng)的確定效用值[54].在離散選擇模型中,這種概率選擇的情況是用隨機(jī)效用理論來(lái)處理的.此時(shí)目的地k的真實(shí)效用表示為

其中 Vik是研究者直接觀測(cè)到的選項(xiàng)k的確定效用,εik是 描述 Vik與 真實(shí)效用 Uik偏差程度的隨機(jī)項(xiàng).

3.2 離散選擇模型導(dǎo)出引力模型

根據(jù)(5)式和(6)式可知,在出行目的地選擇問(wèn)題中,所處i地點(diǎn)的決策者選擇目的地j能獲得的效用是 Uij=Vij+εij,則目的地j被i點(diǎn)決策者選擇的概率是

其中K是所有備選目的地集合(不包括起點(diǎn)i).

如果(7)式中所有隨機(jī)項(xiàng) ε 都服從相互獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)Gumbel分布 F(ε)=e-e-ε,那么決策者選擇目的地j的概率就是

這就是Logit模型[54],是微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛的離散選擇模型.

由Logit模型可以很容易地導(dǎo)出引力模型: 假設(shè)目的地j對(duì)i點(diǎn)出行者的確定效用主要受目的地活力 Aj和地點(diǎn) i到 j的距離 dij影響,即

如果所有出行者之間的選擇決策行為無(wú)差異,那么從點(diǎn)i到j(luò)的出行量 Tij就是從i出發(fā)的總出行量Oi乘以出行者們選擇j點(diǎn)的概率,即

這就是經(jīng)典的單約束引力模型[7].

3.3 收益與活力的對(duì)數(shù)關(guān)系

從(9)式中可以看出,目的地的效用 Vij實(shí)際上是目的地活力為出行者帶來(lái)的收益 l nAj與出行者到目的地的成本 β lndij的差值.2.2節(jié)已對(duì)出行成本與距離的對(duì)數(shù)關(guān)系進(jìn)行了解釋,本節(jié)將解釋為何使用地點(diǎn)活力的對(duì)數(shù)來(lái)表達(dá)地點(diǎn)會(huì)帶給出行者收益.

根據(jù)心理物理學(xué)中著名的Weber-Fechner定律[55],人的直觀感覺(jué)差異 dp 正比于某種物理刺激強(qiáng)度W的相對(duì)變化量 d W/W,即 d p=κdW/W,其中 κ 是個(gè)常數(shù).據(jù)此可導(dǎo)出人的直觀感覺(jué)程度p與物理刺激強(qiáng)度之間的對(duì)數(shù)關(guān)系 p=κln(W/W0),其中 W0可以解釋為刺激閾值.Weber-Fechner定律在行為經(jīng)濟(jì)學(xué)中被廣泛應(yīng)用于收益函數(shù)[55],即認(rèn)為選項(xiàng)帶給決策者的收益是決策者對(duì)選項(xiàng)屬性的實(shí)際度量指標(biāo)(如商品的價(jià)格、反映地點(diǎn)活力的人口數(shù)等)的直觀感覺(jué).在本文即將介紹的目的地選擇博弈研究工作中,Weber-Fechner定律導(dǎo)出的收益活力對(duì)數(shù)關(guān)系也會(huì)被再次使用.

4 社會(huì)引力定律的博弈論解釋

基于隨機(jī)效用理論的離散選擇模型從個(gè)體選擇決策角度為社會(huì)引力定律提供了新的解釋,但這類(lèi)模型并未考慮實(shí)際出行目的地選擇過(guò)程中個(gè)體之間的相互作用.在包括交通系統(tǒng)在內(nèi)的社會(huì)經(jīng)濟(jì)復(fù)雜系統(tǒng)中,個(gè)體間的相互作用是一個(gè)非常普遍的現(xiàn)象,而博弈論則是社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)以至軍事、政治等社會(huì)科學(xué)學(xué)科研究個(gè)體相互作用的一個(gè)重要科學(xué)工具[56].最近,Yan和Zhou[37]從博弈論的角度解釋了社會(huì)引力定律的可能根源.他們將出行者選擇目的地的過(guò)程刻畫(huà)為一種擁擠博弈[57,58],體現(xiàn)了出行者個(gè)體之間的相互作用.本節(jié)將介紹這種目的地選擇博弈模型的基本框架及其導(dǎo)出引力模型的方法.

4.1 目的地選擇博弈模型

出行目的地選擇問(wèn)題可以看作是多個(gè)參與者進(jìn)行的博弈.每個(gè)參與者在面對(duì)多個(gè)可供選擇的目的地時(shí),總會(huì)選擇帶給自己收益(或稱效用)最大的目的地.位于地點(diǎn)i的個(gè)體選擇目的地j獲得的收益 Uij由兩部分組成.

1)出行成本 Cij+g(Tij),即負(fù)收益,與i到j(luò)的固定出行成本 Cij直接相關(guān),并且隨兩地間出行量 Tij的 增加而增加.其中 g(Tij)是一個(gè)增函數(shù),體現(xiàn)了路途上的擁擠效應(yīng).

2)目的地帶給選擇者的收益 h(Aj)-f(Dj),取決于目的地的活力 Aj和選擇該目的地的人數(shù)是一個(gè)增函數(shù),體現(xiàn)了目的地的擁擠效應(yīng),即目的地的收益會(huì)隨著選擇人數(shù)的增加而下降.這種擁擠效應(yīng)具有現(xiàn)實(shí)依據(jù): 例如在城市出行中,對(duì)于非通勤出行(例如購(gòu)物、娛樂(lè)等)來(lái)說(shuō),選擇某一目的地的人數(shù)增加后可能導(dǎo)致環(huán)境不舒適或可獲取資源的減少,從而降低選擇者的收益.

綜上,i地點(diǎn)的出行者選擇目的地j的收益可表示為

這種模型被命名為目的地選擇博弈(destination choice game,DCG)模型[37].在DCG模型中,當(dāng)個(gè)體信息完備并總是選擇使自己收益最大化的目的地時(shí),相同起點(diǎn)出行的所有個(gè)體都具有相等的收益,沒(méi)有人能通過(guò)單方面改變選擇而增加自己的收益.

實(shí)際應(yīng)用中,需要先把(11)式中的各項(xiàng)成本和收益函數(shù)具體化.根據(jù)出行成本與距離之間的對(duì)數(shù)關(guān)系(見(jiàn)2.2節(jié)),可令 Cij∝lndij.根據(jù)Weber-Fechner定律[55](見(jiàn)3.3節(jié)),則可將目的地活力收益函數(shù) h(Aj)、 目的地?fù)頂D成本函數(shù) f(Dj)和路途擁擠函數(shù) g(Tij)均表示為對(duì)數(shù)函數(shù).此時(shí)(11)式可寫(xiě)為

其中 α,β和γ 是三個(gè)非負(fù)參數(shù).通過(guò)使用多種真實(shí)人類(lèi)移動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行的模型測(cè)試結(jié)果[37]顯示,DCG模型相對(duì)于傳統(tǒng)的引力模型[4]、介入機(jī)會(huì)模型[59]和新型輻射模型[60]、人口權(quán)重機(jī)會(huì)模型[61,62],具有更高的預(yù)測(cè)精度.

4.2 擁擠博弈模型導(dǎo)出引力模型

若忽略DCG模型收益函數(shù)中的目的地?fù)頂D成本,則可得到一個(gè)簡(jiǎn)化的目的地選擇博弈(degenerated destination choice game,DDCG)模型,其收益函數(shù)如下:

這是一個(gè)典型的擁擠博弈模型[57,58].擁擠博弈可表示為一個(gè)四元組:(N,R,(Ψk)k∈N,(wj)j∈R)[58,63],其中 N={1,2,···,n} 是所有 參 與 博弈的個(gè)體(在DDCG中就是某個(gè)出發(fā)地點(diǎn)i上數(shù)量為 Oi的所有出行者),R={1,2,···,m} 是備選資源集合(在DDCG中就是備選目的地),(Ψk)? 2R是參與者k的策略空間,wj是備選資源j的收益函數(shù)(在DDCG中就是目的地j對(duì)i起點(diǎn)出行者的收益函數(shù) Uij).所有參與者的策略集合 S=S1,···,Sn就是擁擠博弈的一個(gè)狀態(tài),其中參與者k的策略Sk∈Ψk.資源j的擁擠程度 nj(S)(在DDCG中就是目的地j的路途擁擠程度)則表示在狀態(tài)S下選擇該資源的參與者數(shù)量(在DDCG中就是從起點(diǎn)i到目的地j的出行量 Tij).據(jù)此可知,DDCG中每個(gè)出行者獲取的收益不僅取決于其所選擇的目的地的活力與距離,還受選擇同樣目的地的其他出行者數(shù)量的影響,即個(gè)體之間的相互作用.根據(jù)擁擠博弈理論中的勢(shì)函數(shù)[58,63]定義,可知DDCG的勢(shì)函數(shù)為

最大化此勢(shì)函數(shù)的策略集合,就是擁擠博弈的納什均衡解[57,63].

為求解DDCG的納什均衡解,可將 Tij視為一個(gè)連續(xù)變量,并令勢(shì)函數(shù)最大化,即可得到一個(gè)最優(yōu)化模型

用拉格朗日乘子法可求得該模型的解為

是一個(gè)雙參數(shù)的單約束引力模型.若令參數(shù) α=1,則可轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)的單約束引力模型,見(jiàn)(10)式.

4.3 DDCG模型與Logit模型的對(duì)比

DDCG模型與3.2節(jié)中介紹的離散選擇Logit模型都體現(xiàn)了個(gè)體選擇目的地的微觀決策行為,且都假設(shè)個(gè)體總是追求效用最大.二者導(dǎo)出的引力模型在形式上也沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別,見(jiàn)(10)式和(16)式.但二者的底層機(jī)制并不相同: Logit模型假設(shè)個(gè)體對(duì)效用的認(rèn)知具有隨機(jī)性,但并未考慮復(fù)雜系統(tǒng)中廣泛存在的個(gè)體相互作用[56];而DDCG模型則考慮了群體中個(gè)體間的相互作用.

著名的紅藍(lán)巴士問(wèn)題[64]可以用來(lái)說(shuō)明這兩個(gè)模型的機(jī)制差異.在紅藍(lán)巴士問(wèn)題中,出行者可選擇的交通方式有小汽車(chē)與藍(lán)巴士?jī)煞N.簡(jiǎn)單起見(jiàn),假設(shè)這兩種交通方式的確定效用是相等的,根據(jù)Logit模型可知二者的被選概率為 Pcar=Pblue=1/2 .現(xiàn)在把一半藍(lán)巴士的顏色改為紅色,并把紅藍(lán)巴士看成是兩種交通方式,那么兩者的確定效用也必然相等.按照Logit模型的結(jié)果,此時(shí)出行者選擇這三種交通方式的概率為 Pcar=Pblue=Pred=1/3 .然而,從常識(shí)推斷,將半數(shù)巴士涂紅僅會(huì)影響原先選擇藍(lán)巴士的人,而小汽車(chē)的被選概率仍為Pcar=1/2,紅、藍(lán)巴士則各為 Pred=Pblue=1/4 .但Logit模型卻高估了巴士被選擇的概率,低估了小汽車(chē)被選擇的概率,形成了典型的悖論[64].

在考慮了個(gè)體相互作用的DDCG模型中則不存在這種悖論: 假設(shè)總共有b輛巴士,每輛巴士的固定收益值為 Abus,擁擠成本(體現(xiàn)了個(gè)體之間相互作用的結(jié)果)為 l n(ax),其中x代表乘坐這輛巴士的人數(shù).那么當(dāng)把所有巴士看成同一交通方式時(shí),其收益值為 Ubus=Abus-ln(ax/b);而把紅藍(lán)巴士看作兩種交通方式時(shí),二者的收益值則均為Ured=Ublue=Abus-ln(2ax/b).根據(jù) DDCG模型的均衡條件,如果在m個(gè)人中選擇巴士和小汽車(chē)的比例各為1/2,說(shuō)明Ucar(m/2)=Ubus(m/2)=Abus-ln[am/(2b)].那么把紅藍(lán)巴士看作兩種方式時(shí),一定有 Ucar(m/2)=Ured(m/4)=Ublue(m/4),即選擇紅藍(lán)巴士的比例各為1/4,與實(shí)際相符.

當(dāng)然,實(shí)際中的出行者對(duì)目的地效用(即收益)的感知可能會(huì)有一定的隨機(jī)性.此時(shí)可對(duì)DDCG模型進(jìn)行進(jìn)一步的擴(kuò)展: 假設(shè)出行者對(duì)目的地收益的理解與可觀測(cè)的目的地固定收益之間存在服從獨(dú)立同Gumbel分布的隨機(jī)性偏差,根據(jù)Fisk[65]的證明,此時(shí)的均衡解等價(jià)于如下最優(yōu)化模型的解

其解為

式中的參數(shù) θ 體現(xiàn)了隨機(jī)性程度對(duì)目的地選擇結(jié)果的影響: 當(dāng) θ →∞ 時(shí)該模型退化為DDCG模型,均衡結(jié)果與(16)式一致;當(dāng) θ=0 時(shí),個(gè)體將完全隨機(jī)地選擇目的地,各目的地被選擇的概率相等.這一結(jié)果說(shuō)明,DDCG模型可以擴(kuò)展到個(gè)體對(duì)目的地收益感知有隨機(jī)性的情形.但是,基于隨機(jī)效用理論的離散選擇模型卻無(wú)法退化到目的地收益固定的情形: 如果離散選擇模型不假設(shè)個(gè)體對(duì)收益感知具有隨機(jī)性,那么所有個(gè)體都會(huì)選擇固定收益最高的同一目的地.這是因?yàn)殡x散選擇模型并未考慮實(shí)際社會(huì)系統(tǒng)中普遍存在的個(gè)體相互作用,即群體擁擠問(wèn)題.

5 結(jié) 論

社會(huì)引力定律是諸多社會(huì)復(fù)雜系統(tǒng)中廣泛存在的普適規(guī)律,受到社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、地理學(xué)、交通科學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理與復(fù)雜系統(tǒng)等學(xué)科學(xué)者持久的關(guān)注[1,4,6,7,32,33,39].本文綜述了解釋社會(huì)引力定律存在根源的三類(lèi)主要理論,既包括傳統(tǒng)的最大熵原理和效用理論,也包括最近提出的目的地選擇擁擠博弈.其中,最大熵原理為社會(huì)引力定律建立了一個(gè)統(tǒng)計(jì)物理的理論基礎(chǔ),但其僅能給出系統(tǒng)最可能的宏觀分布狀態(tài),卻無(wú)法反映系統(tǒng)中個(gè)體的微觀決策行為.從個(gè)體決策行為角度建立的隨機(jī)效用離散選擇模型為社會(huì)引力定律提供了微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋,但其并未考慮在實(shí)際社會(huì)系統(tǒng)中普遍存在的個(gè)體相互作用.而目的地選擇博弈則為社會(huì)引力定律建立了一個(gè)更簡(jiǎn)潔的理論框架: 它不需像最大熵模型一樣事先指定出行總成本作為額外的約束條件,也不需像隨機(jī)效用理論一樣作出個(gè)體對(duì)效用感知具有隨機(jī)性的假設(shè),除“個(gè)體追求收益最大化”這條經(jīng)濟(jì)學(xué)公理之外,目的地選擇博弈的核心假設(shè)就只有“群體擁擠影響收益”這一體現(xiàn)個(gè)體相互作用的基本事實(shí).與現(xiàn)有對(duì)社會(huì)引力定律的其他理論解釋相比,從博弈論角度給出的解釋更符合“奧卡姆剃刀”原理[66],有助于我們理解很多復(fù)雜社會(huì)系統(tǒng)中由個(gè)體相互作用而涌現(xiàn)出的群體空間交互模式.

本文介紹的這些對(duì)社會(huì)引力定律的理論解釋都是以交通出行問(wèn)題為背景的,離散選擇模型和目的地選擇博弈模型分析的核心都是出行者如何選擇目的地.但這種個(gè)體選擇交互對(duì)象的行為并不僅僅存在于交通系統(tǒng)中,在空間交互模式符合社會(huì)引力定律的系統(tǒng)中幾乎都存在.例如,人口遷移是選地點(diǎn)做居住地,社會(huì)交往是選人做交流對(duì)象,科研合作則是選研究者做合作伙伴等.在這些系統(tǒng)中,個(gè)體多會(huì)傾向于選擇活力相對(duì)高、距離相對(duì)近的對(duì)象.但往往選擇同一對(duì)象的人越多,該對(duì)象能帶來(lái)的收益就會(huì)越低: 在交通系統(tǒng)中擁擠會(huì)導(dǎo)致出行成本上升,在商品貿(mào)易中競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手增加會(huì)導(dǎo)致商品價(jià)格下降,在科研合作中選擇某人的合作者增多會(huì)導(dǎo)致雙方的合作強(qiáng)度降低,等等.而這些不同系統(tǒng)中的空間交互對(duì)象選擇行為,都能被本文所介紹的目的地選擇博弈等模型來(lái)刻畫(huà).總之,對(duì)社會(huì)引力定律追根溯源,不僅有助于深入理解交通出行、人口遷移、商品貿(mào)易、信息流通、社會(huì)交往、科研合作等空間交互現(xiàn)象的底層機(jī)制,對(duì)于更好地預(yù)測(cè)、引導(dǎo)甚至控制各種復(fù)雜社會(huì)系統(tǒng)中人、物、信息的流動(dòng),都具有廣闊的應(yīng)用前景.

感謝合作者周濤、汪秉宏、韓筱璞對(duì)本文中相關(guān)研究成果所做出的貢獻(xiàn).