自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵設(shè)計(jì)與性能試驗(yàn)

徐高歡 謝榮盛 孫培峰 趙華成

(浙江水利水電學(xué)院機(jī)械與汽車工程學(xué)院， 杭州 310018)

0 引言

差速泵是利用差速機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)的新型容積泵，可以取代農(nóng)業(yè)常用的容積泵，如大型植保機(jī)械的柱塞泵、隔膜泵等[1-4]，滿足農(nóng)業(yè)低脈動(dòng)率和大排量的要求，提高植保機(jī)械施藥效果[5-8]。差速泵主要通過不等速機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)相鄰葉輪周期性差速轉(zhuǎn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)容積腔密閉空間的周期性變化和液體的周向轉(zhuǎn)移，實(shí)現(xiàn)輸送液體的功能[9]。根據(jù)葉片的驅(qū)動(dòng)方式不同，目前差速泵主要有轉(zhuǎn)動(dòng)導(dǎo)桿齒輪式差速泵[10]、萬向節(jié)齒輪機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)差速泵[11]、非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵[12-13]3種類型。其中，非圓齒輪驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)是差速泵的主要驅(qū)動(dòng)形式，而傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)為優(yōu)選驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)[14-15]。由于傅里葉節(jié)曲線的調(diào)整參數(shù)為8個(gè)，局部優(yōu)化能力有限，因此傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵的脈動(dòng)率、不根切最大模數(shù)等性能還存在優(yōu)化空間。在變性高階比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的六葉片差速泵研究中，本課題組通過增加變性系數(shù)提升傅里葉節(jié)曲線局部優(yōu)化能力，改善了差速泵性能[13]，但是較大變性系數(shù)會(huì)導(dǎo)致排量和不根切最大模數(shù)變小，變性系數(shù)可調(diào)范圍較小，具有局限性。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，非圓齒輪節(jié)曲線利用k次B樣條曲線設(shè)計(jì)可進(jìn)一步改善局部調(diào)控能力。本文以結(jié)構(gòu)較為簡單的四葉片差速泵驅(qū)動(dòng)的最優(yōu)傅里葉節(jié)曲線為基礎(chǔ)，建立數(shù)學(xué)計(jì)算模型，編寫性能計(jì)算軟件，通過計(jì)算和試驗(yàn)分析，設(shè)計(jì)k次B樣條曲線控制頂點(diǎn)，再微調(diào)控制頂點(diǎn)生成自由節(jié)曲線，以期改善非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵的性能。

1 自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵結(jié)構(gòu)和原理

1.1 基本結(jié)構(gòu)和工作原理

驅(qū)動(dòng)差速泵的非圓齒輪利用k次B樣條曲線設(shè)計(jì)節(jié)曲線，該節(jié)曲線定義為自由節(jié)曲線，通過控制點(diǎn)確定控制多邊形，最后確定節(jié)曲線型值點(diǎn)，調(diào)整控制點(diǎn)可以任意控制節(jié)曲線形狀?？刂泣c(diǎn)可以對節(jié)曲線進(jìn)行任意位置形狀的調(diào)整，使節(jié)曲線具有任意的局部變形能力[16-21]，如圖1所示。自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵主要由自由節(jié)曲線非圓齒輪副和滑動(dòng)的差速葉輪組成，如圖2所示。

圖1 控制點(diǎn)與自由節(jié)曲線Fig.1 Control point and free pitch curve1.控制點(diǎn) 2.控制多邊形 3.自由節(jié)曲線

圖2 自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵Fig.2 Differential pump driven by non-circular gear with free pitch curve1.驅(qū)動(dòng)齒輪箱 2.輸入軸 3.輸出軸 4.第一自由節(jié)曲線非圓齒輪 5.第二自由節(jié)曲線非圓齒輪 6.第一共軛自由節(jié)曲線非圓齒輪 7.第二共軛自由節(jié)曲線非圓齒輪 8.軸套 9.聯(lián)軸器 10.電機(jī) 11.泵殼 12.第一排液口 13.第一吸液口 14.第二排液口 15.第二吸液口 16.第一滑動(dòng)葉輪 17.第二滑動(dòng)葉輪 18.第一滑軌 19.第二滑軌

以自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的四葉片差速泵為例，第一、第二自由節(jié)曲線非圓齒輪同軸相位差180°安裝，自由節(jié)曲線參數(shù)相同，隨電機(jī)作勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，分別驅(qū)動(dòng)第一、第二共軛非圓齒輪，帶動(dòng)相連接的第一葉輪和第二葉輪作周期性差動(dòng)周轉(zhuǎn)，A、C腔處于第一、二吸液口時(shí)，第一葉輪轉(zhuǎn)速快于第二葉輪，A、C腔容積增大吸入液體；此時(shí)B、D腔容積減小，分別從第一、二排液口排出液體；共軛非圓齒輪帶動(dòng)葉輪周轉(zhuǎn)，驅(qū)動(dòng)B、D腔內(nèi)液體逆時(shí)針轉(zhuǎn)移，分別轉(zhuǎn)到第一、二排液口，根據(jù)設(shè)計(jì)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，實(shí)現(xiàn)容積的增加和縮小，上述運(yùn)動(dòng)不斷重復(fù)，實(shí)現(xiàn)容積泵功能[22-23]。另外該差速泵葉輪為滑動(dòng)葉片設(shè)計(jì)，第一滑動(dòng)葉輪和第一滑軌移動(dòng)副連接，第二滑動(dòng)葉輪和第二滑軌移動(dòng)副連接，第一滑軌、第二滑軌分別固定在輸出軸和軸套上，第一滑動(dòng)葉輪和第二滑動(dòng)葉輪均對稱設(shè)置有兩片滑動(dòng)葉片，沿圓周方向，第一滑動(dòng)葉輪的葉片與第二滑動(dòng)葉輪的葉片相間設(shè)置，所有葉片可沿著滑軌滑動(dòng)?？梢苑乐褂捎诒猛鈿ぷ冃慰ㄋ溃瑫r(shí)可以補(bǔ)償葉片弧面磨損造成葉片和泵殼縫隙過大，滑動(dòng)葉片在容積腔短暫困液時(shí)，葉片通過向軸心滑動(dòng)實(shí)現(xiàn)短時(shí)泄壓[23]。

1.2 基本數(shù)學(xué)模型

利用k次B樣條曲線設(shè)計(jì)自由節(jié)曲線，第一自由節(jié)曲線表達(dá)式為[22-23]

(1)

式中Pi——第i個(gè)控制點(diǎn)

ti——第i個(gè)參數(shù)節(jié)點(diǎn)向量

Ni,k(t)——k階k-1次B樣條函數(shù)

3階B樣條基函數(shù)表達(dá)式為

(2)

根據(jù)第一自由節(jié)曲線表達(dá)式，可得第一自由節(jié)曲線向徑表達(dá)式為

(3)

式中Cx(φ)——自由節(jié)曲線x方向分量

Cy(φ)——自由節(jié)曲線y方向分量

φ——自由節(jié)曲線轉(zhuǎn)角

根據(jù)非圓齒輪嚙合原理，第一自由節(jié)曲線非圓齒輪旋轉(zhuǎn)φ時(shí)，第一共軛自由節(jié)曲線非圓齒輪的角位移為

(4)

式中a——自由節(jié)曲線中心距

第一自由節(jié)曲線非圓齒輪為一階非圓齒輪，第一共軛自由節(jié)曲線非圓齒輪為二階非圓齒輪，因此，第一自由節(jié)曲線非圓齒輪旋轉(zhuǎn)2π時(shí)，第一共軛自由節(jié)曲線非圓齒輪旋轉(zhuǎn)π，可得計(jì)算中心距a的迭代式為

(5)

取中心距初值a0，采用進(jìn)退法搜索計(jì)算出中心距a。

第一自由節(jié)曲線非圓齒輪與第一共軛自由節(jié)曲線非圓齒輪的傳動(dòng)比為

(6)

壓力角α是衡量非圓齒輪傳動(dòng)優(yōu)良性的重要指標(biāo)，其影響傳動(dòng)效率，計(jì)算公式為[24]

(7)

其中

式中μ1——節(jié)曲線在該點(diǎn)的切線正方向與水平線夾角

α0——工具齒條的齒形角

建立節(jié)曲線凹凸性判斷條件， 主動(dòng)輪節(jié)曲線曲率半徑ρ1計(jì)算式為

(8)

從動(dòng)輪節(jié)曲線曲率半徑計(jì)算公式為

(9)

節(jié)曲線無內(nèi)凹部分的條件是曲率半徑ρ1、ρ2分別大于零。所以無內(nèi)凹的條件為

(10)

采用數(shù)值法編寫程序計(jì)算式(10)的解。

1.3 差速泵計(jì)算模型

相鄰兩葉片最小張角為Δψmin，此時(shí)該封閉腔為最小容積，即

(11)

式中R——葉片半徑，mm

r——葉輪軸半徑，mm

h——葉片厚度，mm

相鄰兩葉片最大張角為Δψmax時(shí)，該封閉腔為最大容積，即

(12)

四葉片差速泵的排量計(jì)算式為

Q=8(Vmax-Vmin)=
4×10-3h(Δψmax-Δψmin)(R2-r2)

(13)

四葉片差速泵單泵瞬時(shí)流量計(jì)算式為

10-3hω(R2-r2)|i21-i43|

(14)

其中

式中V——排液腔容積，mL

i21——第一自由節(jié)曲線非圓齒輪副傳動(dòng)比

i43——第二自由節(jié)曲線非圓齒輪副傳動(dòng)比

φ1、φ2——第一、第二滑動(dòng)葉輪轉(zhuǎn)角

ω——主動(dòng)非圓齒輪角速度，rad/s

不產(chǎn)生根切時(shí)允許齒輪的最大模數(shù)mmax的條件為[24-25]

(15)

式中ρmin——節(jié)曲線的最小曲率半徑，mm

mmax=0.117ρmin

(16)

1.4 差速泵性能計(jì)算軟件

根據(jù)建立的自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵計(jì)算模型，采用Matlab編寫性能分析軟件，如圖3所示。通過編寫軟件GUI人機(jī)交互界面，可以調(diào)整自由節(jié)曲線傅里葉控制點(diǎn)參數(shù)a0、a1、a2、b1、b2、n1、n2、m、控制點(diǎn)個(gè)數(shù)、選取間隔數(shù)及差速泵結(jié)構(gòu)參數(shù)，通過該軟件可計(jì)算差速泵的流量脈動(dòng)率、排量和不根切最大模數(shù)等性能。

2 控制點(diǎn)對自由節(jié)曲線及差速泵性能的影響

2.1 自由節(jié)曲線控制點(diǎn)設(shè)置

混合高階傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)四葉片差速泵具有較優(yōu)性能，雙泵脈動(dòng)率22.04%已經(jīng)為該節(jié)曲線驅(qū)動(dòng)的最優(yōu)性能[12]，本文利用自由節(jié)曲線設(shè)計(jì)非圓齒輪進(jìn)一步降低脈動(dòng)率，選取經(jīng)過遺傳算法多目標(biāo)優(yōu)化的1階對2階傅里葉節(jié)曲線為控制點(diǎn)選取源，通過離散后每30個(gè)序列間距提取1個(gè)控制點(diǎn)，共提取24個(gè)控制點(diǎn)，如表1所示。根據(jù)B樣條曲線生成原理，為保證節(jié)曲線封閉，其中K1和K23、K2和K24設(shè)置為重疊，如圖4所示。

圖3 自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵性能分析軟件界面Fig.3 Performance analysis software of differential pump driven by non-circular gear with free pitch curve

2.2 控制點(diǎn)影響分析

自由節(jié)曲線控制點(diǎn)直接影響傳動(dòng)比以及差速泵進(jìn)出口分布、排量、瞬時(shí)流量、非圓齒輪不根切最大模數(shù)等，本文以四葉片差速泵為研究對象，葉輪外半徑為90 mm，葉輪軸半徑為20 mm，葉片厚度為50 mm，進(jìn)出口和葉片角角度差2°，輸入軸轉(zhuǎn)速300 r/min，葉輪平均轉(zhuǎn)速為150 r/min，雙泵并聯(lián)相位相差90°,通過逐級改變K11、K12、K13控制點(diǎn)，研究分析控制點(diǎn)變化對單泵和雙泵的脈動(dòng)率、排量、不根切最大模數(shù)的影響，對應(yīng)的節(jié)曲線如圖5所示，差速泵性能如表2所示。

表1 初始24個(gè)自由節(jié)曲線控制點(diǎn)Tab.1 Initial 24 free pitch curve control points

圖4 24個(gè)控制點(diǎn)和自由節(jié)曲線Fig.4 24 control points and free pitch curve

由圖5和表2可知，當(dāng)節(jié)曲線為傅里葉節(jié)曲線且參數(shù)最優(yōu)時(shí)，此時(shí)不根切最大模數(shù)為1.55 mm，單泵脈動(dòng)率為159.8%，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為22.04%，雙泵并聯(lián)轉(zhuǎn)排量為3 870.4 mL。自由節(jié)曲線以表1控制點(diǎn)為基礎(chǔ)，設(shè)置K11(-23.64,9.99)mm、K12(-24.90,0)mm、K13(-23.64,-9.99)mm，經(jīng)自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵性能分析軟件計(jì)算，不根切最大模數(shù)提升為1.83 mm，單泵脈動(dòng)率為157.0%，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為21.45%，脈動(dòng)率相比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)分別降低1.8%和2.7%，雙泵并聯(lián)轉(zhuǎn)排量為3 977.9 mL。設(shè)置K11(-23.24,9.99)mm、K12(-23.90,0)mm、K13(-23.24,-9.99)mm，不根切最大模數(shù)增加為1.84 mm，單泵脈動(dòng)率152.0%，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為19.50%，脈動(dòng)率相比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)分別降低4.9%和11.5%，但其轉(zhuǎn)排量為4 031.7 mL，排量增加明顯。設(shè)置K11(-22.84,8.99)mm、K12(-23.90,0)mm、K13(-22.84,-8.99)mm，單泵脈動(dòng)率為151.6%，雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率為19.20%，脈動(dòng)率相比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)分別降低5.1%和12.9%，其中不根切最大模數(shù)和轉(zhuǎn)排量保持不變。

圖5 不同節(jié)曲線演變過程Fig.5 Evolution process of different pitch curves

表2 控制點(diǎn)變化對單泵和雙泵并聯(lián)的脈動(dòng)率、排量和不根切最大模數(shù)的影響
Tab.2 Effects of change of control point on pulsation rate, displacement and maximum modulus without undercutting of single and double pumps

節(jié)曲線類型參數(shù)或變化控制點(diǎn)/mm單泵脈動(dòng)率/%雙泵并聯(lián)脈動(dòng)率/%轉(zhuǎn)排量/mL不根切最大模數(shù)/mm傅里葉節(jié)曲線最優(yōu)傅里葉參數(shù)159.822.043870.41.55自由節(jié)曲線1K11(-23.64,9.99)K12(-24.90,0)K13(-23.64,-9.99)157.021.453977.91.83自由節(jié)曲線2K11(-23.24,9.99)K12(-23.90,0)K13(-23.24,-9.99)152.019.504031.71.84自由節(jié)曲線3K11(-22.84,8.99)K12(-23.90,0)K13(-22.84,-8.99)151.619.204031.71.84

研究表明，自由節(jié)曲線技術(shù)可以通過有限的控制頂點(diǎn)構(gòu)建控制多邊形精確控制節(jié)曲線局部形狀，以四葉片差速泵驅(qū)動(dòng)的最優(yōu)傅里葉節(jié)曲線為基礎(chǔ)，通過局部修改節(jié)曲線最小曲率半徑處的控制點(diǎn)，增加曲率半徑，可增加不根切最大模數(shù)。再通過微調(diào)節(jié)曲線局部變化規(guī)律，改變?nèi)~輪傳動(dòng)比局部差值，根據(jù)式(14)，可調(diào)整瞬時(shí)流量局部變化規(guī)律，合適的控制點(diǎn)即可降低脈動(dòng)率和增加排量。因此自由節(jié)曲線可實(shí)現(xiàn)在最優(yōu)傅里葉節(jié)曲線基礎(chǔ)上進(jìn)行節(jié)曲線局部編輯，精準(zhǔn)優(yōu)化節(jié)曲線特性，進(jìn)一步提升差速泵性能。由表2可知，自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵能有效提升轉(zhuǎn)排量和增加不根切最大模數(shù)，有利于提升非圓齒輪的承載能力，同時(shí)明顯降低脈動(dòng)率，以降低差速泵流體噪聲，因此自由節(jié)曲線設(shè)計(jì)更有利于非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵性能提高。

3 試驗(yàn)與性能比較

搭建試驗(yàn)臺分別對自由節(jié)曲線非圓齒輪與傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的四葉片差速泵性能進(jìn)行試驗(yàn)比較。為了具有可比性，四葉片差速泵泵殼容積、葉輪結(jié)構(gòu)及測試管路相同。差速泵試驗(yàn)臺動(dòng)力為5 kW的電機(jī)，通過變頻器進(jìn)行調(diào)速控制，為避免高速造成額外的沖擊，變頻器設(shè)定輸入軸低轉(zhuǎn)速，為300 r/min。由于泵源流量脈動(dòng)具有高頻的特點(diǎn)，現(xiàn)有流量計(jì)不能直接測試，只能采用間接方法測量，目前主要基于瞬態(tài)壓力來換算脈動(dòng)率，在相同負(fù)載及管路環(huán)境下，差速泵輸出口的高頻壓力脈動(dòng)可以表征不同非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵泵源脈動(dòng)強(qiáng)度。試驗(yàn)使用愛爾AE-H型高頻壓力傳感器，量程為0～1 MPa，輸出電壓為0～10 V，數(shù)據(jù)采集裝置使用阿爾泰的高頻信號采集卡和采集軟件，由此組成差速泵出口高頻瞬態(tài)壓力測試系統(tǒng)，通過軟件將電壓變化值實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)換為壓力，測量差速泵瞬態(tài)壓力和脈動(dòng)率。試驗(yàn)臺的非圓齒輪和差速泵如圖6～8所示，性能比較如圖9和表3所示。

圖6 試驗(yàn)用非圓齒輪Fig.6 Non-circular gear for test

圖7 差速泵內(nèi)部Fig.7 Inside of differential pump

圖8 非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵試驗(yàn)臺Fig.8 Test bed of differential pump driven by non-circular gear

圖9 不同節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵單泵出口壓力曲線Fig.9 Pressure curves at outlet of single differential pump driven by non-circular gears with different pitch curves

表3 同等管路條件下傅里葉和自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)四葉片差速泵性能試驗(yàn)結(jié)果比較Tab.3 Performance comparison between Fourier and free pitch curve non-circular gear drive four blade differential pump under the same pipeline condition

由于自由節(jié)曲線控制點(diǎn)來源于傅里葉節(jié)曲線，為此自由節(jié)曲線非圓齒輪和傅里葉非圓齒輪基本輪廓非常接近，如圖6所示。自由節(jié)曲線較優(yōu)的局部優(yōu)化能力，便于找到合適控制點(diǎn)優(yōu)化提升差速泵性能。如圖9所示，自由節(jié)曲線非圓齒輪和傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵產(chǎn)生的壓力變化周期相同，但自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵出口壓力峰值更寬，表明自由節(jié)曲線更有利于差速泵出口壓力恒定和排量增加，壓力波峰對稱性更好，更有利于降低脈動(dòng)率。

由表3可知，自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)相比傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的四葉片差速泵的排量增加6.6%，不根切最大模數(shù)增加18.7%，非圓齒輪承載能力增加，差速泵單泵脈動(dòng)率降低8.3%，腔內(nèi)的沖擊減弱，泵內(nèi)部泄漏減少，容積效率有所提升。

4 結(jié)論

(1)根據(jù)自由節(jié)曲線生成原理，建立自由節(jié)曲線非圓齒輪傳動(dòng)數(shù)學(xué)模型，建立自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)差速泵的排量、流量、脈動(dòng)率和不根切最大模數(shù)計(jì)算模型，編寫差速泵性能計(jì)算軟件。

(2)分析了控制點(diǎn)局部變化對差速泵不根切最大模數(shù)、排量和脈動(dòng)率等性能的影響，結(jié)果表明，自由節(jié)曲線非圓齒輪有利于提高差速泵性能，可實(shí)現(xiàn)傅里葉非圓齒輪最優(yōu)狀態(tài)下通過自由節(jié)曲線的局部修正，再次提升不根切最大模數(shù)和轉(zhuǎn)排量，并有效降低脈動(dòng)率。

(3)對自由節(jié)曲線非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵和傅里葉非圓齒輪驅(qū)動(dòng)的差速泵進(jìn)行了試驗(yàn)，在泵殼容積和管路環(huán)境相同情況下，排量增加6.6%，不根切最大模數(shù)增加18.7%，有效提升了非圓齒輪的承載能力；差速泵單泵脈動(dòng)率降低8.3%，腔內(nèi)的沖擊減弱，泵內(nèi)部泄漏減少，容積效率有所改善。理論計(jì)算和試驗(yàn)結(jié)果均表明，自由節(jié)曲線非圓齒輪更有利于提升差速泵性能。