正弦空間在相控陣?yán)走_(dá)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

欒鑄徵，史厚寶

(中國(guó)船舶重工集團(tuán)公司第七二三研究所，江蘇 揚(yáng)州 225101)

0 引 言

正弦空間是研究陣列天線波束掃描編排與分布特性的數(shù)學(xué)工具。在球面坐標(biāo)系研究陣列天線波束掃描時(shí)，掃描角偏離法線方向波束將展寬，且展寬與掃描角間的關(guān)系非線性。在球面坐標(biāo)系研究波束排列和柵瓣分布比較困難，因此就希望選擇一個(gè)方便的坐標(biāo)系。而在正弦空間中，天線方向圖不隨掃描角而變化，與掃描角成比例地平移，正弦空間就是單元球面在陣列平面上的投影[1-3]。在參考文獻(xiàn)中，一般只給出了正弦空間具備性質(zhì)的結(jié)論，沒有結(jié)合物理意義給予說明，尤其中文文獻(xiàn)分析得較少；所以本文從實(shí)際工程應(yīng)用角度出發(fā)，對(duì)正弦空間的物理意義給予分析，對(duì)一維相控陣?yán)走_(dá)、二維相控陣?yán)走_(dá)的正弦空間的性質(zhì)進(jìn)行了數(shù)學(xué)推導(dǎo)。通過分析會(huì)發(fā)現(xiàn)，正弦空間是把形象的波束掃描的三維球坐標(biāo)空間通過正弦變換壓縮到關(guān)于掃描角的二維正弦空間，僅保留了角度性質(zhì)，與距離無關(guān)。正是由于相控陣?yán)走_(dá)波束掃描特性，相控陣波束排列選擇了正弦空間來描述，在正弦空間中有利于描述波束空域覆蓋、波束排列及柵瓣分布分析。本文后面給出了正弦空間在雷達(dá)工程設(shè)計(jì)中的應(yīng)用分析。

1 一維相掃相控陣

如圖1所示，對(duì)于一個(gè)陣元間距為dx的均勻線陣，陣長(zhǎng)度L，各向同性陣元輻射的電磁波在空間以滿足相干疊加原理合成波束方向圖，波束寬度和線陣尺寸成反比，陣列法線的波束寬度可以表示為：

(1)

式中：θ0.5為法線方向波束寬度；λ為波長(zhǎng)；k為波束寬度因子，和加權(quán)系數(shù)有關(guān)；L為陣長(zhǎng)度。

當(dāng)波束相對(duì)法線方向掃描θ角時(shí)，由于波束指向偏移θ角，天線有效孔徑是天線法向孔徑在波束指向方向的投影，如圖1，孔徑由L變?yōu)長(zhǎng)′，由式(1)可知，掃描角波束寬度為：

L′=L·cosθ

(2)

(3)

圖1 一維線陣掃描示意圖

波束寬度變化與掃描角的余弦函數(shù)成反比，現(xiàn)將掃描特性在單位半圓上研究，如圖2所示，單位半圓上研究的特點(diǎn)是，圓弧長(zhǎng)度就是弧度表示的角度，陣列法線方向波束掃描的過程就是由AB掃描到A′B′，波束寬度在陣列平面的投影分別為MN、M′N′，下面研究投影的特征。

圖2 單位圓波束正弦投影示意圖

如圖2，在法線波束方向，波束邊點(diǎn)A和B在線陣投影可以表示為MN，有如下關(guān)系：

MN=sinθA-sinθB=sin(θ0.5+)-sin(-θ0.5-)=

(4)

根據(jù)正弦函數(shù)的泰勒展開公式有：

(5)

從而有：

(6)

而：

(7)

有：

(8)

當(dāng)忽略高階無窮小后，有：

α0.5=MN=sin(θ0.5)

(9)

可見，法線波束寬度在陣列平面投影可以用波束寬度角度正弦表示。同時(shí)波束相對(duì)法線掃描θ角度后的P點(diǎn)，指向OP投影也用正弦表示為：

α=OP′=OP·sinθ=sinθ

(10)

(11)

A′B′在X軸投影為M′N′，該投影刻畫了波束掃描展寬特性，有：

(12)

根據(jù)泰勒展開公式有：

(13)

從而有：

(14)

根據(jù)式(4)得到：

(15)

當(dāng)忽略高階無窮小后，有：

α0.5=M′N′=sin(θ0.5)=MN

(16)

可見波束相對(duì)法線掃描時(shí)，波束在單位圓內(nèi)運(yùn)動(dòng)，波束掃描角正弦就是在陣列平面的投影，代表波束指向；法向波束寬度的正弦可以表示波束寬度在陣列平面的投影，并且掃描后波束寬度在陣列平面的投影長(zhǎng)度和法線波束在陣列平面投影相等，和波束掃描角無關(guān)。由公式(12)可見，這種特性的主要原因是：波束掃描后波束展寬與掃描角余弦成反比，而掃描波束寬度在陣列天線的投影和掃描角余弦成正比，形成互逆關(guān)系從而產(chǎn)生相互抵消效應(yīng)?？梢?，正是波束掃描的這種展寬特性與陣列平面投影特性相結(jié)合，產(chǎn)生了正弦空間的特征。

公式(15)高階小的忽略，會(huì)引起誤差，用掃描后波束邊角在正弦空間的投影，相對(duì)法線波束寬度正弦值，兩者的差與法線波束寬度正弦歸一化的一半表示誤差的大小，即：

(17)

該誤差大小表征了相鄰波束間波束的交疊程度,誤差曲線仿真條件如下：法線波束寬度3°，從法線掃描到70°，誤差變化過程如圖3所示。由于誤差數(shù)值極小，采用對(duì)數(shù)(dB)表示。

圖3 一維線陣正弦空間誤差曲線

可見在該仿真條件下，陣列天線掃描后的波束正弦投影產(chǎn)生的交疊極小(小于1/2 000),可以認(rèn)為等于法線波束寬度正弦。根據(jù)公式(15)可見，在掃描角60°時(shí)有一個(gè)下凹口(因?yàn)槿A量為0)。在波束掃描過程中，波束指向沒有誤差,但相鄰3 dB波束寬度間有交疊,并且波束交疊量在工程應(yīng)用可以忽略，所以正弦空間消除了波束掃描后展寬的影響，可用于研究波束空域覆蓋和波束排列。

2 二維相掃相控陣

2.1 二維正弦投影分析[1-6]

為了形象地描述正弦空間的物理意義，研究二維相控陣按照矩形分布在XOY平面，如圖4所示。在X軸向間距dx，陣元數(shù)N，在Y軸向陣元間距dy，陣元數(shù)M，陣列的法線指向OZ，即取正半球。

圖4 二維陣列布陣圖

在一維相控陣中波束掃描角定義為與陣列法線方向OZ的夾角，但是在二維相控陣中，波束指向與法線方向只有一個(gè)夾角，難以定位波束空間指向，所以按與X、Y軸夾角定義，假設(shè)波束指向OP，OP與X軸間的夾角θ′為方位角，OP與Y軸間的夾角φ′為仰角，如圖5所示。

圖5 三維空間波束指向立體圖

現(xiàn)分析在該夾角定義下，波束掃描特性，陣列分布在XOY平面，首先求單位向量OP在XYZ各坐標(biāo)軸投影，由于已知P點(diǎn)與X、Y軸夾角，所以投影分別為：

(18)

P向Z軸的投影是通過P點(diǎn)在XOZ平面的投影P′，∠PxOP′為φ，根據(jù)立體角關(guān)系：

∠POP′=π/2-φ′

(19)

cosφ=cos(π/2-φ′)·cosθ′=sinφ′·cosθ′

(20)

(21)

從而求出單位向量OP指向在直角坐標(biāo)系中各坐標(biāo)軸的分量。而陣列中每一個(gè)陣元矢量坐標(biāo)可表示為：

Amn=(ndx，mdy，0)

(22)

式中：n∈[1,2，…,N]；m∈[1,2，…,M]。

陣元相對(duì)坐標(biāo)系原點(diǎn)的波程差，是陣元在OP指向的投影，即陣元矢量與波束指向矢量的內(nèi)積：

Lmn=Amn·P=ndx·cosθ′+mdy·cosφ′

(23)

上式中，當(dāng)θ′固定，而φ′連續(xù)變化時(shí)，波束指向與X軸、Y軸夾角分別為：

cos(∠XOP)=X·P=1·cosθ′+0·cosφ′+

cos(∠YOP)=Y·P=0·cosθ′+1·cosφ′+

可得：

∠XOP=θ′

(24)

∠YOP=φ′

(25)

可見，波束指向與OX軸夾角不變，說明波束指向是在與OX軸夾角為θ′的圓錐曲面上運(yùn)動(dòng)。如圖6所示，即繞OX軸上圓C從Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，且從波束掃描圍繞圓錐運(yùn)動(dòng)可知波束也分布在圓錐曲面上，同時(shí)說明了，如果僅在仰角φ′方向做數(shù)字波束形成(DBF)，那么多波束是分布在一個(gè)圓錐曲面上，而不是一個(gè)扇形的平面上。同理，當(dāng)仰角φ′不變，而θ′連續(xù)變化時(shí)，波束指向按照與OY夾角為φ′圓錐曲面做運(yùn)動(dòng)，即繞OY軸上圓D從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)。

圖6 雙圓錐曲面運(yùn)動(dòng)掃描圖

下面對(duì)方位角θ′固定、仰角φ′掃描運(yùn)動(dòng)時(shí)的波束掃描特性進(jìn)行分析，由上述可知，波束指向OP在圓錐曲面C上運(yùn)動(dòng)，如圖7所示。

圖7 圓錐曲面分析正弦空間示意圖

該圓錐曲面PCQ與坐標(biāo)平面YOZ夾角為θ，且圓錐上圓C在YOZ面投影為AOM，則：

θ=π/2-θ′

(26)

則∠QOA=∠POM=θ，OP運(yùn)動(dòng)期間在X軸的投影長(zhǎng)度等于OP與YOZ平面夾角的正弦，即：

α=PM=AQ=sinθ

(27)

因?yàn)閽呙杞铅壤碚撋峡梢匀　?0°，所以上式的取值范圍為[-1,+1]。同理定義仰角φ，即圖8中圓錐曲面BDP與坐標(biāo)平面XOZ夾角為φ，則：

φ=π/2-φ′

(28)

OP在Y軸的投影長(zhǎng)度等于OP與XOZ平面夾角的正弦，即：

β=BE=sinφ

(29)

掃描角φ理論上也可以取±90°，所以取值范圍也是[-1,+1]。

從而重新定義二維陣列掃描角θ，φ，基于圓錐曲面定義的角度，其中θ表示波束指向與坐標(biāo)平面YOZ的夾角，φ表示波束指向與坐標(biāo)平面XOZ的夾角。該夾角的正弦就是波束指向角分別在OX、OY軸的投影，也就是波束在陣列平面的投影。從上述論證過程可以看出，波束掃描角與OX、OY軸夾角的定義，和波束指向與XOZ、YOZ平面夾角呈互為余角的關(guān)系；后面將會(huì)發(fā)現(xiàn)，與OX、OY軸夾角更有利于工程應(yīng)用分析，但是用與OX、OY軸夾角定義，會(huì)出現(xiàn)波束指向角陣列投影呈余弦關(guān)系，波束寬度投影是正弦關(guān)系，不統(tǒng)一，所以不宜采用。

在新的定義下，陣元在OP方向的投影為：

Lmn=Amn·P=ndx·sinθ+mdy·sinφ

(30)

(31)

根據(jù)公式(12)～(16)可得：

β0.5=sinφ0.5

(32)

從而可知，波束仰角向掃描時(shí)，波束寬度在OY軸向的投影等于仰角在法向的波束寬度φ0.5的正弦，由于方位角和仰角取值的一般性，可見仰角波束寬度投影不隨仰角和方位角掃描的變化而變化。

同理可以證明，仰角φ一定，方位角θ掃描時(shí)，波束指向和波束寬度在圖8中圓D上做圓錐掃描運(yùn)動(dòng)，由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，方位角波束寬度分布在圓D上，波束指向和波束寬度仍然滿足和仰角相似的性質(zhì)，即波束指向在OY軸的投影就是波束仰角的正弦值，波束寬度的投影就是法線方向的波束寬度，即：

仰角指向在Y軸投影為：

β=sinφ

(33)

方位波束寬度在X軸投影為：

α0.5=sinθ0.5

(34)

從而有，當(dāng)波束空間指向OP時(shí)，單位球空間內(nèi)，P點(diǎn)在陣列平面XOY的投影有如下關(guān)系：P點(diǎn)在陣列XOY投影正弦坐標(biāo)為(α，β)，仰角波束寬度正弦投影長(zhǎng)度為β0.5，方位波束寬度正弦投影長(zhǎng)度為α0.5，從而可得二維波束掃描在陣列空間的投影如圖8所示。

圖8 二維波束掃描陣列平面投影圖

可見，波束指向OA、OB和OC時(shí)，波束在陣列平面的投影是不變的，位置等于正弦空間定義方位角和仰角的正弦，波束寬度投影等于陣列在法向波束寬度的正弦。從而形成了方位角和仰角掃描的正弦坐標(biāo)系，是一個(gè)二維坐標(biāo)系，在該坐標(biāo)系中波束掃描由非線性運(yùn)算轉(zhuǎn)換成了加減線性運(yùn)算。

2.2 正弦空間波束排列分析

從圖7還可以看到，當(dāng)波束方位角指向θ，仰角從0°逐漸增加時(shí)，就是波束從Q點(diǎn)逐漸運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到XOY平面時(shí)，仰角達(dá)到最大值：

φmax=π/2-θ

(35)

同理，方位角最大值為：

θmax=π/2-φ

(36)

當(dāng)仰角為φ時(shí)，方位角沿著圓錐面掃描，最大值取為π/2-φ，此時(shí)正好是仰角φ掃描的邊界，兩角關(guān)系互為余角關(guān)系，所以有：

β2+α2=sin2φ+sin2θ=sin2φ+

sin2(π/2-φ)=sin2φ+cos2(φ)=1

(37)

由于φ是任意設(shè)定的，在數(shù)學(xué)上掃描角度取值范圍為[-90°,+90°]，所以正弦空間的掃描邊界是一個(gè)單位圓，所有波束都在一個(gè)單位圓內(nèi)，如圖9。此圓為實(shí)空間，波束被規(guī)范在該區(qū)間內(nèi)，也就是把單位正半球映射到單位圓內(nèi)。

圖9 實(shí)空間部分圖

單位圓是理論上的波束掃描最大范圍，而實(shí)際上，波束不會(huì)掃描到±90°，而會(huì)根據(jù)天線本身特性和實(shí)際工程需要，在實(shí)際工程應(yīng)用的球面坐標(biāo)系波束掃描空間向正弦空間投影形成一個(gè)區(qū)域。該區(qū)域上對(duì)每一個(gè)方位角，仰角有一個(gè)范圍φmin～φmax，對(duì)應(yīng)正弦坐標(biāo)為sinφmin～sinφmax，根據(jù)式(32)、(34)，波束寬度在正弦空間是一個(gè)不變量，即仰角法線波束寬度的正弦，而仰角掃描范圍和法線波束寬度已知，從而仰角向波束排列波束數(shù)量為：

(38)

同理可以證明，仰角一定，方位角波束排列數(shù)為：

(39)

假設(shè)在球坐標(biāo)系方位覆蓋±45°，仰角覆蓋±40°條件下，方位角2°、仰角3°的條件下，正弦坐標(biāo)系波束覆蓋及波位編排如圖10所示。

圖10 波束編排圖

2.3 正弦空間柵瓣特性分析

在陣列掃描特性中，柵瓣是陣列設(shè)計(jì)的重要指標(biāo)，柵瓣的出現(xiàn)是由于陣列天線中陣因子的周期性而產(chǎn)生的旁瓣電平，該旁瓣電平和主瓣特性一致，由于周期性而產(chǎn)生了鏡像波束，波束寬度和增益相同，導(dǎo)致雷達(dá)產(chǎn)生測(cè)向模糊，并且主瓣增益下降3 dB，嚴(yán)重影響雷達(dá)威力覆蓋范圍。柵瓣的出現(xiàn)條件是相鄰單元波程差出現(xiàn)周期性引起的，如圖11所示。

圖11 柵瓣分析陣列布陣圖

陣列法線方向A1P，假設(shè)波束掃描角為θ0，根據(jù)圖11幾何關(guān)系，可得相鄰陣元波程差為：

L0=dx·sinθ0

(40)

假設(shè)此時(shí)柵瓣出現(xiàn)的位置為θ1，則在該方向的相鄰陣元波程差為：

L1=dx·sinθ1

(41)

柵瓣出現(xiàn)是由于周期性，柵瓣指向的相鄰單元波程差和波束指向的相鄰單元波程差的差是射頻波長(zhǎng)的整數(shù)倍，即：

L1-L0=dx·sinθ1-dx·sinθ0=

dx(sinθ1-sinθ0)=mλ

(42)

式中：m=0，±1，±2，…,可見掃描角為θ0時(shí)，柵瓣的位置θ1是確定的、可預(yù)測(cè)的。

令αm=sinθ1，α0=sinθ0，則可得：

(43)

柵瓣指向角的正弦αm的取值也是[-1,+1]，但根據(jù)上述數(shù)學(xué)公式，以及m的取值，αm可能在大于1的位置界外，這在實(shí)際物理空間上是不存在的。此時(shí)柵瓣出現(xiàn)是數(shù)學(xué)推導(dǎo)的結(jié)果，是在虛空間；但是如果取值出現(xiàn)在掃描的實(shí)空間，則就會(huì)出現(xiàn)柵瓣。虛空間和實(shí)空間的波束是一一對(duì)應(yīng)的。

式(43)中，m=0時(shí)為波束掃描實(shí)空間，m=±1，±2，……時(shí)，為出現(xiàn)柵瓣的虛空間，要使柵瓣不出現(xiàn)，由于m可以取正負(fù)，那么至少m的取值要小于1，所以根據(jù)式(43)有布陣間距：

(44)

上式中，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)出現(xiàn)柵瓣，要使柵瓣不出現(xiàn)，dx需要取小于號(hào)。由式(43)可知，當(dāng)柵瓣θ1最大位置取90°，最大掃描位置θ0=θ0max，最小波長(zhǎng)λ=λmin(最大工作頻點(diǎn))時(shí)的布陣間距是dx的取值上限，要使陣列掃描不出現(xiàn)柵瓣，此時(shí)布陣間距應(yīng)為：

(45)

而在矩形布陣的二維相控陣?yán)走_(dá)中，方位和俯仰掃描角是相互獨(dú)立的，所以仰角柵瓣和方位角的柵瓣位置相互獨(dú)立，仰角柵瓣位置及布陣間距為：

(46)

(47)

例如10 GHz，方位俯仰角按45°掃描布陣，柵瓣圖分布如圖12所示。

圖12 柵瓣分布圖

3 工程應(yīng)用

在實(shí)際工程應(yīng)用中，波束掃描空域是在大地球坐標(biāo)系(球坐標(biāo)系)描述，波位排布及柵瓣分析是在陣列空間進(jìn)行，需要建立球坐標(biāo)系和陣列正弦空間的一一映射關(guān)系。見圖13，陣列天線在XOY平面，波束法線在OZ軸，波束掃描如圖13所示。多功能相控陣?yán)走_(dá)按平臺(tái)性質(zhì)有2種：一種是陸基、車載固定平臺(tái)，另一種是艦載、機(jī)載搖擺平臺(tái)。這2種雷達(dá)由于平臺(tái)不同，對(duì)陣列天線的掃描特性要求也不同。

圖13 工程應(yīng)用波束掃描示意圖

如圖14，大地坐標(biāo)系為OX′Y′Z′，陣列坐標(biāo)系OXYZ，當(dāng)不發(fā)生搖擺時(shí)，兩坐標(biāo)系重合，陣列坐標(biāo)系發(fā)生姿態(tài)變化，可分解為縱搖、橫搖和方位旋轉(zhuǎn)。

圖14 陣面旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系示意圖

大地坐標(biāo)系下，陣列平面在XOY′平面，陣面法線方向在OZ′，波束指向OP(方位角θ′，仰角φ′)在OX′Y′Z′坐標(biāo)系內(nèi)表示如下：

(PX′，PY′，PZ′)=(cosφ′sinθ′，sinφ′，cosφ′cosθ′)

(48)

當(dāng)陣列坐標(biāo)系發(fā)生縱搖旋轉(zhuǎn)或縱搖傾斜ξ角時(shí)，Y′OZ′平面旋轉(zhuǎn)到Y(jié)OZ，由Z向Y軸旋轉(zhuǎn)角度為正，P點(diǎn)在X軸投影不變，為cosφ′sinθ′，P點(diǎn)在Y′OZ′投影P′點(diǎn)，在坐標(biāo)系經(jīng)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)ξ角，達(dá)到新的坐標(biāo)，所以新向量在陣列坐標(biāo)系可以表達(dá)為：

OP′XYZ=OP′X′Y′Z′·e-jξ

(49)

從而在縱搖發(fā)生時(shí)，大地OX′Y′Z′坐標(biāo)系到陣列OXYZ坐標(biāo)系，波束縱搖變換矩陣為：

(PX，PY，PZ)T=Tξ(PX′，PY′，PZ′)T

(50)

同理，當(dāng)OX′Y′平面發(fā)生橫搖旋轉(zhuǎn)φ時(shí)(OX′向OY′方向旋轉(zhuǎn)角度為正)，橫搖變換為：

(PX，PY，PZ)T=Tφ·(PX′，PY′，PZ′)T

(51)

當(dāng)在OX′Z′發(fā)生方位角旋轉(zhuǎn)η(OZ′向OX′方向旋轉(zhuǎn)角度為正)時(shí)，波束方位角變換矩陣為：

(PX，PY，PZ)T=Tη·(PX′，PY′，PZ′)T

(52)

在實(shí)際工程應(yīng)用中，陣列天線根據(jù)不同的應(yīng)用，放置在不同的位置，該位置最終會(huì)分解為一定的橫搖、縱搖及方位旋轉(zhuǎn)組合運(yùn)動(dòng)而成的變換。

3.1 固定平臺(tái)雷達(dá)

固定平臺(tái)雷達(dá)是指雷達(dá)所在平臺(tái)在使用中是不動(dòng)的，用于對(duì)指定空域波束覆蓋，例如美國(guó)愛國(guó)者系統(tǒng)中的MPQ-53雷達(dá)，機(jī)動(dòng)式部署薩德系統(tǒng)中的TPY-2雷達(dá)(如圖15所示)，以及鋪路爪FPS-115雷達(dá)，均屬于現(xiàn)役的固定平臺(tái)雷達(dá)。

圖15 薩德系統(tǒng)中的TPY-2雷達(dá)

對(duì)于固定陣，如圖16所示，陣面在大地坐標(biāo)系OX′Y′Z′的X′OY′平面，陣面傾斜相當(dāng)于大地坐標(biāo)系OX′Y′Z′產(chǎn)生一個(gè)縱搖傾角，陣面傾斜ψ角，陣面在XOY，陣面法線方向?yàn)镺Z，雷達(dá)在大地坐標(biāo)系的空域指向OQ的方位角θ′，仰角φ′。

圖16 固定陣和大地坐標(biāo)系

根據(jù)角度定義，則Q點(diǎn)在大地坐標(biāo)系中的坐標(biāo)表示為Q(X′,Y′,Z′)。陣面傾角為ψ，等價(jià)于陣面發(fā)生縱搖角ψ，根據(jù)縱搖變換式(50)可知，波束指向OQ在陣列坐標(biāo)系時(shí)坐標(biāo)為Q(X,Y,Z)：

Q(X,Y,Z)=Tξ(ψ)·Q(X′,Y′,Z′)

(53)

根據(jù)正弦空間角度定義可知，矢量OQ與OX、OY軸的夾角就是陣面正弦空間角度定義的余角，所以可以得到陣列坐標(biāo)系方位角θ和仰角φ的表達(dá)式為：

cos(π/2-θ)=QX=cosφ′·sinθ′

(54)

cos(π/2-φ)=QY=

sinφ′·cosψ-cosφ′·cosθ′·sinψ

(55)

從而有：

θ=π/2-arccos(QX)

(56)

φ=π/2-arccos(QY)

(57)

仿真條件：固定陣工作在頻率10 GHz，陣面法線波束寬度方位2°，仰角3°，陣面傾斜20°，方位角掃描±60°，仰角覆蓋70°。根據(jù)上述分析：在陣列坐標(biāo)系方位最大掃描角為60°，方位最大角度確定陣列方位向陣元間距。而仰角最大掃描角為55.54°，按照仰角最大角度確定陣列仰角向陣元間距。從而根據(jù)大地空間掃描范圍和法線波束寬度，得到波位排布(如圖17所示)，再通過陣元間距可以得到柵瓣分布(如圖18所示)。

圖17 固定陣正弦空間波束排布圖

圖18 正弦空間柵瓣分布圖

在正弦空間根據(jù)式(32)、(34)得到每一個(gè)波位大小為sin2°·sin3°，根據(jù)式(56)、(57)得到波束掃描范圍，根據(jù)式(38)、(39)得到排布如圖17所示。

根據(jù)陣元間距和公式(43)、(46)得到柵瓣分布如圖18所示，實(shí)際上是圖17的輪廓平移。

3.2 搖擺平臺(tái)相控陣?yán)走_(dá)

搖擺平臺(tái)雷達(dá)是指雷達(dá)所在平臺(tái)在使用中是搖擺運(yùn)動(dòng)的，艦載和機(jī)載雷達(dá)屬于搖擺平臺(tái)應(yīng)用的雷達(dá)，要求在搖擺條件下，波束仍然具備大地空間空域覆蓋能力。艦載雷達(dá)在艦船上的布置有在首尾左右舷的，例如提康德羅加級(jí)巡洋艦中SPY-1和歐洲的APAR；有布置在左右舷前后45°角的，例如阿里伯克級(jí)驅(qū)逐艦的SPY-1(如圖19所示)。每一種雷達(dá)空間布置對(duì)陣列天線設(shè)計(jì)的影響不同。

圖19 阿里伯克級(jí)驅(qū)逐艦SPY-1雷達(dá)

現(xiàn)在以艦載左舷前方45°角布陣來分析，要設(shè)計(jì)陣列，首先把波束在大地坐標(biāo)系的空域覆蓋范圍映射到陣列空間，從而用正弦坐標(biāo)系對(duì)陣列進(jìn)行設(shè)計(jì)，得到波束掃描邊界、波位排布及柵瓣分布特征。

如圖20所示，波束在大地坐標(biāo)系OX′Y′Z′的指向OP′(仰角為φ′，方位角為θ′)，需要變換到陣列坐標(biāo)系OXYZ，大地坐標(biāo)系和陣列坐標(biāo)系之間有幾層空間坐標(biāo)系變換，這種幾何空間變換可以拆分成大地坐標(biāo)系-甲板坐標(biāo)系-陣列坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換，艦船搖擺體現(xiàn)的是大地坐標(biāo)對(duì)甲板坐標(biāo)系的影響，而甲板坐標(biāo)系和陣列坐標(biāo)系體現(xiàn)了相對(duì)的空間幾何結(jié)構(gòu)關(guān)系，從這個(gè)分析角度出發(fā)進(jìn)行分析。

圖20 大地空間和陣列搖擺空間圖

在沒有發(fā)生搖擺時(shí)，甲板坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系重合，假設(shè)艦艏指向東為Z軸，左舷指向南為X軸，Y軸指向天。首先大地坐標(biāo)系空間指向OP′，發(fā)生縱橫搖擺后，波束在甲板坐標(biāo)系坐標(biāo)發(fā)生變化，而陣列坐標(biāo)系相對(duì)于甲板坐標(biāo)系是發(fā)生了方位旋轉(zhuǎn)η角和陣面傾角ζ，按照上述運(yùn)動(dòng)分解，可得到變換如下：艦船發(fā)生縱橫搖時(shí)，大地坐標(biāo)系指向OP′經(jīng)縱搖變換式(50)和橫搖變換式(51)后得到甲板坐標(biāo)，即：

OPS=Tφ·Tξ·OP′

(58)

陣列坐標(biāo)系相對(duì)于甲板坐標(biāo)系相當(dāng)于陣列首先發(fā)生方位旋轉(zhuǎn)η(式(52))，再發(fā)生陣面傾斜ζ，陣面傾斜相當(dāng)于縱搖變換式(50)，所以有：

OP=Tξ(ζ)·Tη·OPS

(59)

從而得到陣列坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系的變換關(guān)系：

OP=Tξ(ζ)·Tη(η)·Tφ(φ)·Tξ(ξ)·OP′

(60)

式中：OP為陣列坐標(biāo)系下的矢量；OP′為大地坐標(biāo)系下的矢量。

矢量OP和X、Y軸的投影就是陣面正弦空間角度的余角，所以可以得到陣列坐標(biāo)系方位角θ和仰角φ的表達(dá)式為：

cos(π/2-θ)=PX

(61)

cos(π/2-φ)=PY

(62)

從而有：

θ=π/2-arccos(PX)

(63)

φ=π/2-arccos(PY)

(64)

得到陣列坐標(biāo)系的θ，φ。仿真條件是頻率為3 GHz，陣面法線波束寬度方位角2°，仰角4°，陣面位于艦船左舷前部面陣，陣面傾角ζ為20°，方位旋轉(zhuǎn)角η為45°，橫搖角φ為15°，縱搖角ξ為8°。陣面大地空間空域方位覆蓋±45°，仰角覆蓋70°。計(jì)算得到，當(dāng)縱搖角8°，橫搖角15°，仰角0°時(shí)，方位角在陣列坐標(biāo)系方位需要掃描到最大值46.4°,按照掃描角48°設(shè)計(jì)方位間距；當(dāng)縱搖角-8°，橫搖角-15°，方位角0°時(shí)，仰角在陣列坐標(biāo)系需要掃描到最大值69.68°,按照70°設(shè)計(jì)仰角間距。

從而方位按48°，仰角按70°掃描布陣，在正弦空間根據(jù)式(32)、(34)得到每一個(gè)波位大小為sin2°·sin4°，根據(jù)式(63)、(64)得到波束掃描范圍，根據(jù)式(38)、(39)得到排布，如圖21所示。

圖21 搖擺陣正弦空間波束覆蓋及排布圖

圖21包含了雷達(dá)在縱橫搖發(fā)生時(shí)，陣列空間波束空域覆蓋需要具備的能力。搖擺發(fā)生時(shí)，大地空域覆蓋就在該陣列空域圖21內(nèi)移動(dòng)。

根據(jù)該布陣間距和公式(43)、(46)得到柵瓣分布圖，縱搖8°、橫搖15°時(shí)的柵瓣分布圖如圖22所示。

圖22 縱搖8°、橫搖15°柵瓣分布圖

在縱搖-8°、橫搖-15°時(shí)的柵瓣分布圖如圖23所示。

圖23 縱搖-8°、橫搖-15°柵瓣分布圖

圖22和圖23表示艦船搖擺時(shí)，雷達(dá)在陣列空間探測(cè)空域范圍就是在圖21內(nèi)移動(dòng)的過程。

4 結(jié)束語

正弦空間不論是在雷達(dá)論證時(shí)還是雷達(dá)裝備工作時(shí)，都是有力的應(yīng)用工具，論證時(shí)應(yīng)用于波束空間排布和柵瓣分布分析。在正弦空間，波束指向和波束寬度不用度、弧度來描述，而用弧度的正弦(波束指向)或正弦增量(波束寬度)來表達(dá)，波束寬度在正弦空間不隨掃描角變化。雷達(dá)在大地坐標(biāo)系(球坐標(biāo)系)確認(rèn)波束掃描范圍，在正弦空間研究波束排列和柵瓣分布，應(yīng)用正弦空間論證陣面規(guī)模，論證資源調(diào)度。在雷達(dá)裝備工作時(shí)，由于探測(cè)任務(wù)而需實(shí)時(shí)解算波束在指定空域內(nèi)的掃描和波位排布，正是正弦空間為這種解算提供了便利條件。