基于協(xié)方差矩陣稀疏表示的寬帶相干信號測向方法

王 凱，張海勃，宋 起，劉 勇

(西安測繪總站，陜西 西安 710054)

0 引 言

寬帶信號在各種雷達(dá)和通信系統(tǒng)中得到了越來越廣泛的應(yīng)用，因此對寬帶信號的測向也逐漸成為陣列信號處理領(lǐng)域的一個研究熱點(diǎn)。在實際應(yīng)用中，由于受到多徑等因素的影響，陣列接收機(jī)可能面臨著多個相干信號混疊的環(huán)境，這給常規(guī)陣列測向方法帶來了極大的挑戰(zhàn)。

非相干類寬帶信號測向方法將寬帶信號分解為多個窄帶分量之后，對每個窄帶分量依據(jù)窄帶子空間方法進(jìn)行獨(dú)立處理，該方法在每個頻率點(diǎn)處都面臨著觀測協(xié)方差矩陣缺秩的問題，難以有效分辨多個相干寬帶信號[1]。相干寬帶信號測向方法首先對信號帶寬內(nèi)各頻率分量進(jìn)行聚焦，得到特定參考頻率點(diǎn)處的窄帶觀測協(xié)方差矩陣，此類方法中的聚焦過程能夠較好地消除信號之間相關(guān)性的影響，即使在多個入射信號完全相干的情況下，也能夠?qū)⑺鼈兎直骈_來[2-3]。然而，仿真結(jié)果表明，相干子空間類寬帶測向方法的性能也會隨著入射信號之間相關(guān)性的增強(qiáng)而顯著下降。同時，非相干子空間類和相關(guān)子空間類測向方法都需要利用入射信號個數(shù)的先驗信息。在各種非合作偵察系統(tǒng)中，對寬帶信號特別是相干寬帶信號的源個數(shù)進(jìn)行估計也是一個難點(diǎn)問題。

近年來稀疏重構(gòu)技術(shù)在信號處理領(lǐng)域得到了廣泛的關(guān)注和應(yīng)用，在陣列信號處理領(lǐng)域也取得了部分研究成果，如GMF方法[4-5]、FOCUSS方法[6]、L1-SVD方法[7]和JLZA-DOA方法[8]等。L1-SVD方法和JLZA-DOA方法已經(jīng)被推廣應(yīng)用于解決對寬帶信號的測向問題[7-8]，它們對入射信號個數(shù)先驗信息的依賴性較弱，且能夠較好地適應(yīng)相干寬帶信號。然而，寬帶L1-SVD方法和JLZA-DOA方法都需要將寬帶信號分解為窄帶分量，并在各離散頻率點(diǎn)上獨(dú)立地得到1組測向結(jié)果。一般情況下，在各個頻率點(diǎn)處所得到的測向結(jié)果往往有較大的差異，因此L1-SVD方法和JLZA-DOA方法可能會面臨各離散頻率點(diǎn)處測向結(jié)果的融合問題。本文直接從寬帶信號陣列觀測數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣出發(fā)，首先將協(xié)方差矩陣中部分元素重排得到一個新的觀測向量，該向量可表示為各入射信號分量的線性疊加，因此可借助稀疏表示技術(shù)分離這些信號成分，并同步實現(xiàn)對寬帶入射信號的波達(dá)方向估計。新方法很好地避免了頻域分解和聚焦等過程，因此不需要對入射信號進(jìn)行角度預(yù)估，且不會受到信號之間相關(guān)性的影響。此外，新方法也不需要入射信號個數(shù)的先驗信息，因而能夠較好地適應(yīng)電子偵察等非合作測向環(huán)境。

1 問題描述

假設(shè)K個相干寬帶信號從θ=[θ1,…,θK]方向同時入射到M元線性陣列上，t時刻的陣列輸出為：

(1)

(2)

可見Rp,q中含有K2個信號分量，當(dāng)p=q時還含有未知的噪聲功率成分，直接通過對R進(jìn)行分析并提取其中的信號分量以估計其入射方向較為困難。因此現(xiàn)有方法都是利用頻域分解的方式將寬帶接收模型轉(zhuǎn)化為窄帶模型[1-3]，本文采取的方法是直接對觀測協(xié)方差矩陣的成分進(jìn)行分析以實現(xiàn)對寬帶相干信號的波達(dá)方向估計。

2 測向方法

為了簡化Rp,q的結(jié)構(gòu)，本文只提取觀測協(xié)方差矩陣的第1列元素，并忽略受未知噪聲功率污染的第1個元素，得到各元素表達(dá)式如下：

p=2,…,M

(3)

對上述M-1個元素進(jìn)行排列得到1個(M-1)×1維的觀測向量：

(4)

其中：

ak=[r(τk,2),…,r(τk,M)]T

(5)

(6)

其中ak由第k個信號在接收陣列上的傳播時延決定，這里將其定義為寬帶信號的陣列響應(yīng)函數(shù)(或陣列流形)。在假設(shè)接收陣列滿足無模糊測向約束的條件下，ak由該信號的入射方向唯一確定，因此也可將ak寫成θk的函數(shù)形式a(θk)。下文將在不引起混淆的情況下，對ak和a(θk)2種形式交替使用。式(4)表明觀測向量y可表示為K個入射信號所對應(yīng)陣列流形的加權(quán)和，如果能夠從y中分離各信號分量γkak，則利用從ak到θk的逆映射就能夠估計出K個信號的入射方向。

本文借助稀疏表示技術(shù)實現(xiàn)由y估計θ的過程。首先假設(shè)參考信號相關(guān)函數(shù)r(τ)先驗已知(仿真實驗部分將給出一種由觀測數(shù)據(jù)估計r(τ)的方法)，則對從θ方向入射的信號，其對應(yīng)的陣列響應(yīng)函數(shù)a(θ)可直接通過對r(τ)進(jìn)行抽樣得到。依據(jù)實際測向精度需求，對信號可能的入射空域進(jìn)行離散采樣，得到角度集Θ，在該角度集上依據(jù)式(5)中的陣列流形構(gòu)造冗余字典集AΘ，則觀測向量y在該字典集AΘ上具有稀疏表示形式：

y=AΘγ

(7)

式中：γ為AΘ的系數(shù)矢量，僅在K個信號的入射方向?qū)?yīng)坐標(biāo)處取非零值γk(k=1,…,K)，因而滿足稀疏特性。

在式(7)線性約束下，通過求解如下稀疏表示問題可恢復(fù)其中的K個信號分量，即：

min‖γ‖0,subject toy=AΘγ

(8)

式中：e0范數(shù)‖γ‖0表示γ中非零元素個數(shù)。

(9)

3 觀測向量擾動分析

假設(shè)陣列接收機(jī)共采集到N組觀測樣本x(1),…,x(N)，則觀測向量y中第p個元素的估計值為：

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

式(17)可簡化為：

(19)

因此：

(20)

(21)

(22)

因此，對象函數(shù)(9)中的擬合誤差門限一種直觀取值為：

(23)

式中：μ為擬合誤差門限調(diào)整因子，其經(jīng)驗取值為0.5～2。

4 仿真實驗

假設(shè)2個相對帶寬為20%的等功率相干寬帶信號從10°和18°方向同時入射到12元均勻線陣上，陣列相鄰陣元間距等于入射信號中心頻率對應(yīng)波長的一半，采樣頻率等于入射信號最高頻率的2倍。新方法在構(gòu)造冗余字典集型A(Θ)的過程中，將[-90° 90°]空域按1°角度間隔進(jìn)行劃分，并借助Matlab軟件中periodogram函數(shù)由觀測數(shù)據(jù)估計觀測數(shù)據(jù)功率譜P(ω)，然后依據(jù)陣列結(jié)構(gòu)和各離散方向計算出字典集內(nèi)各元素對應(yīng)的傳播時延后，由IFFT變換估計字典集中各元素[10]。為減小計算量，本文在估計自相關(guān)函數(shù)時只利用了第1個通道的數(shù)據(jù)。新方法中擬合誤差門限調(diào)整因子μ取為1。仿真過程中選取雙邊相關(guān)變換(TCT)方法[3]作為性能比較對象，并依據(jù)測向方法對2個入射信號的分辨概率評價算法性能，當(dāng)2個最顯著的空間譜峰位于信號真實入射方向附近，且測向偏差均不大于3°時，認(rèn)為正確分辨。

首先固定采樣點(diǎn)數(shù)為512，2個信號的信噪比從-5 dB到10 dB變化，在每個信噪比取值下進(jìn)行1 000次蒙特卡羅仿真，得到新方法和TCT方法對2個信號的分辨概率如圖1所示。隨后，固定2個信號的信噪比為-3 dB，快拍數(shù)從32到4 096變化，在每個快拍數(shù)取值下進(jìn)行1 000次仿真實驗，得到新方法和TCT方法對2個信號的分辨概率如圖2所示。

圖1 分辨概率隨信噪比變化情況

圖2 分辨概率隨快拍數(shù)變化情況

從圖1和圖2的仿真結(jié)果可以看出，新方法對寬帶相干信號的測向性能顯著優(yōu)于TCT方法，且能夠更好地適應(yīng)低信噪比和小樣本數(shù)的實際環(huán)境。

5 結(jié)束語

本文針對寬帶相干信號的測向問題，提出了一種基于協(xié)方差矩陣稀疏表示的測向方法。新方法不需要進(jìn)行頻域分解和聚焦等處理，且不需要入射信號個數(shù)的先驗信息。仿真結(jié)果表明，新方法具有比已有相干寬帶測向方法更強(qiáng)的超分辨能力，且能夠更好地適應(yīng)低信噪比和小樣本等實際應(yīng)用環(huán)境。