數(shù)學(xué)直覺與數(shù)學(xué)實(shí)在性探析

武亞軍

【摘要】認(rèn)識(shí)本身包含人的主觀性因素，不管通過(guò)什么途徑去認(rèn)識(shí)世界，都是有可能出錯(cuò)的。因此需要正視數(shù)學(xué)直覺的作用，并對(duì)數(shù)學(xué)直覺的價(jià)值和意義進(jìn)行分析。但在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，就數(shù)學(xué)直覺可否作為知識(shí)的基礎(chǔ)和來(lái)源存在諸多爭(zhēng)議。文章從數(shù)學(xué)直覺的爭(zhēng)論開始探析直覺與邏輯間的關(guān)系以及數(shù)學(xué)的實(shí)在性問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】認(rèn)識(shí)世界;可靠性;完全性;數(shù)學(xué)直覺;邏輯;實(shí)在性

直覺在數(shù)學(xué)和科學(xué)中是重要的知識(shí)，不同的數(shù)學(xué)家或哲學(xué)家對(duì)直覺有不同的看法和觀點(diǎn)，對(duì)于直覺的可靠性問(wèn)題難以下定論。柏拉圖是第一個(gè)從直覺的認(rèn)識(shí)角度去尋找理性知識(shí)確定性根源的哲學(xué)家。亞里士多德認(rèn)為從經(jīng)驗(yàn)中可以獲悉原始的前提，而了解原始前提的是直覺。近代笛卡爾強(qiáng)調(diào)理性直覺和演繹，在確定無(wú)疑的基礎(chǔ)上通過(guò)推理的方法得出結(jié)論?？档抡J(rèn)為直覺是理性直覺，強(qiáng)調(diào)絕對(duì)時(shí)空觀。他們都強(qiáng)調(diào)直覺可以作為數(shù)學(xué)或科學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是科學(xué)發(fā)現(xiàn)必不可少的方法。然而數(shù)學(xué)中的眾多悖論，尤其是集合論中的羅素悖論和相容性問(wèn)題又使數(shù)學(xué)家們陷入了新的困境，因此作為數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)的直覺的可靠性問(wèn)題研究就有了必要性。

一、直覺作為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的爭(zhēng)論

大多數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家都強(qiáng)調(diào)直覺的重要性，但也有一些哲學(xué)家會(huì)意識(shí)到直覺的局限性。一部分人認(rèn)為直覺是數(shù)學(xué)知識(shí)最可靠的基礎(chǔ)，所有的知識(shí)體系是由前提、推理和結(jié)論組成的，即公理化演繹方法。從古希臘至今，哲學(xué)問(wèn)題在逐步地精確化，直覺在其中到底起什么樣的作用？從柏拉圖開始就已經(jīng)有了知識(shí)，如果沒(méi)有數(shù)學(xué)，很多問(wèn)題將得不到解答。古希臘時(shí)期對(duì)世界的認(rèn)識(shí)主要是天文學(xué)，天文學(xué)是依托數(shù)學(xué)而發(fā)展起來(lái)的，數(shù)學(xué)本身是個(gè)知識(shí)體系，它能夠?qū)⑻煳膶W(xué)知識(shí)抽象化、符號(hào)化而成為幾何學(xué)模型。亞里士多德創(chuàng)立的是形式邏輯，他是從經(jīng)驗(yàn)直覺的角度來(lái)考察的，所以他的命題是窮盡的。同時(shí)，亞里士多德形式邏輯中的全稱量詞和特稱并沒(méi)有發(fā)揮其實(shí)質(zhì)性作用，存在多重廣延性表述困境。之后歐幾里得在亞里士多德的影響下創(chuàng)立了實(shí)質(zhì)公理學(xué)——?dú)W氏幾何。歐氏幾何中的很多公設(shè)和公理是在經(jīng)驗(yàn)直覺的基礎(chǔ)上形成的。《幾何原本》的出現(xiàn)，形成了一套幾何學(xué)公理系統(tǒng)，并為其他科學(xué)體系建立了一套經(jīng)驗(yàn)歸納和邏輯演繹的科學(xué)方法，在當(dāng)時(shí)《幾何原本》被認(rèn)為是絕對(duì)的真理，是非常嚴(yán)密的知識(shí)體系，是不可反駁的[1]254。

近代笛卡爾強(qiáng)調(diào)理性直覺和演繹，他認(rèn)為直覺和邏輯的共同作用可以達(dá)到知識(shí)的確定性。雖然在笛卡爾時(shí)期，通過(guò)實(shí)驗(yàn)的方法可以達(dá)到一定的確定性，但是難以保證實(shí)驗(yàn)結(jié)果的可靠性，只有通過(guò)數(shù)學(xué)的方法可以達(dá)到確定性的標(biāo)準(zhǔn)。通過(guò)直覺認(rèn)識(shí)到不證自明的公理，再?gòu)淖悦鞯墓砗兔鞔_的概念出發(fā)進(jìn)行演繹推理，得出真理[2]85。到萊布尼茨時(shí)期，他強(qiáng)調(diào)理性直覺的重要性。他有個(gè)設(shè)想就是將人們對(duì)世界的所有認(rèn)識(shí)都符號(hào)化，并通過(guò)數(shù)學(xué)化的方式進(jìn)行計(jì)算。他提出，在這樣的演算中，一切推理的正確性將化歸于計(jì)算，除了事實(shí)的錯(cuò)誤，所有的錯(cuò)誤將只由于計(jì)算失誤而來(lái)。他的形式化設(shè)想與數(shù)學(xué)直覺是密不可分的。哥德爾也是強(qiáng)調(diào)理性直覺可以直達(dá)第一基本公理。哥德爾在證明完全性定理中使用了超窮思維，而這種超窮思維是無(wú)法通過(guò)經(jīng)驗(yàn)直觀的方式獲取的，只能通過(guò)理性直覺的方式。他們都強(qiáng)調(diào)直覺可以作為數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)。

在對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)爭(zhēng)論的過(guò)程中出現(xiàn)了三大學(xué)派，其中以布勞維爾為代表的直覺主義認(rèn)為被直覺所能把握的才是確定的，只有直覺才能確定命題的真假，但是他們否定排中律的作用，認(rèn)為并不是每個(gè)數(shù)學(xué)命題都能判定其真假，存在大量命題既未證明其真也未證明其假[3]98。而排中律是邏輯演繹系統(tǒng)中所使用的邏輯規(guī)則，是不會(huì)出錯(cuò)的。因此直覺主義所推崇的直覺并不是可靠的。

不論是經(jīng)驗(yàn)中的直覺還是理性中的直覺，都具有一定的主觀性，它們難以把握客觀的真實(shí)，數(shù)學(xué)直覺需要建立在有效的框架或規(guī)則下才能保證其可靠性。

二、數(shù)學(xué)直覺與邏輯的制約關(guān)系

直覺一直以來(lái)被認(rèn)為是非邏輯性的，同時(shí)其準(zhǔn)確性也備受爭(zhēng)議。但數(shù)學(xué)中的直覺是數(shù)學(xué)發(fā)展中重要的部分。直覺是嚴(yán)謹(jǐn)邏輯的對(duì)立面，如果我們承認(rèn)直覺的概念，這或許表達(dá)了人類思想的一種基本的、一致的傾向——對(duì)確定性的追求，這實(shí)質(zhì)上是一種笛卡爾的態(tài)度。在他看來(lái)，它們并不是對(duì)立的，因?yàn)樯系蹮o(wú)限的心智保證了它們之間的聯(lián)系。人們之所以認(rèn)為直覺和邏輯是對(duì)立的，是因?yàn)槿祟惖乃季S能力非常有限。而從笛卡爾的觀點(diǎn)來(lái)看，它們是互相補(bǔ)充的。

邏輯在所有學(xué)科中都是普遍的，邏輯結(jié)構(gòu)雖然能保證數(shù)學(xué)的可靠性，但并不是所有的數(shù)學(xué)都能轉(zhuǎn)化為邏輯的形式。哥德爾在邏輯方面做了兩項(xiàng)比較重要的工作，一個(gè)是證明了一階謂詞邏輯是完全的、可靠的。哥德爾的另一項(xiàng)工作是在形式數(shù)論系統(tǒng)和形式實(shí)數(shù)系統(tǒng)過(guò)程中證明了不完全性定理。有一個(gè)“真”超出了系統(tǒng)或認(rèn)識(shí)，我們知道該命題為真，但是用系統(tǒng)的語(yǔ)言無(wú)法證明。邏輯上的真與可證明性是不一樣的[4]180。我們對(duì)“無(wú)窮”的認(rèn)識(shí)是通過(guò)直覺的方式，而非經(jīng)驗(yàn)上的直觀，比如對(duì)自然數(shù)的認(rèn)識(shí)，通過(guò)直覺的方式來(lái)把握它，沒(méi)有對(duì)世界的認(rèn)識(shí)就沒(méi)有直覺。為了認(rèn)識(shí)世界和改造世界，我們的思維必須把握無(wú)限，根本的手段就是要通過(guò)科學(xué)抽象[3]337。而抽象的方式之一也就是直覺。我們用元數(shù)學(xué)研究形式系統(tǒng)時(shí)，它本身是有意義、有內(nèi)容的，所以形式化的東西也脫離不了內(nèi)容與直覺。這就說(shuō)明數(shù)學(xué)不光是邏輯和符號(hào)，不光是語(yǔ)言，還有對(duì)世界的認(rèn)識(shí)。因此，只要有對(duì)世界的認(rèn)識(shí)，直覺就會(huì)發(fā)揮作用。

為了使數(shù)學(xué)變得更可靠，我們?cè)噲D將數(shù)學(xué)放在邏輯的框架體系之中，因?yàn)檫壿嬍强煽康?，同時(shí)推理規(guī)則也是不變的。但很多數(shù)學(xué)形式不能轉(zhuǎn)變?yōu)檫壿嫞跃秃茈y保證數(shù)學(xué)的可靠性。在數(shù)學(xué)發(fā)展過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)邏輯所使用的語(yǔ)言是有缺陷的，因此推理過(guò)程的嚴(yán)格性也難以保障。那如何才能保證數(shù)學(xué)的可靠性？克萊因曾提出數(shù)學(xué)不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直覺上[5]99。直覺是會(huì)出錯(cuò)的，但是我們可以將直覺置于正確的框架或邏輯公理化之中，通過(guò)邏輯公理化的方式來(lái)尋求答案?？低袪栐谒伎既绾螌⒓险撔揎棡榫赖睦碚摰倪^(guò)程中，才開始對(duì)集合論進(jìn)行公理化。將直覺的內(nèi)容置于邏輯的框架中并公理化，這是解決可靠性的一個(gè)辦法。

三、數(shù)學(xué)中的實(shí)在性問(wèn)題

我們能夠經(jīng)體驗(yàn)到的事物是存在的，體驗(yàn)不到的只能用抽象的方式來(lái)獲取。數(shù)學(xué)中的直覺我們難以把握，但不代表它是不存在的，它可能無(wú)時(shí)無(wú)刻不在發(fā)揮著作用。數(shù)學(xué)中的數(shù)字或概念能否反映客觀的真實(shí)存在呢？這其實(shí)就涉及數(shù)學(xué)的本體論問(wèn)題，這也是從古希臘時(shí)期數(shù)學(xué)家們一直爭(zhēng)論的話題。柏拉圖認(rèn)為“理念世界”是永遠(yuǎn)不變且真實(shí)存在的;亞里士多德認(rèn)為只有具體之物才是存在的，數(shù)學(xué)概念只是抽象思維的產(chǎn)物，并不是客觀存在的。在這之后，數(shù)系的擴(kuò)充和四元數(shù)的應(yīng)用都超出了經(jīng)驗(yàn)的直觀，但都為數(shù)學(xué)的發(fā)展發(fā)揮了極大的作用。除了數(shù)系超出經(jīng)驗(yàn)，還有一些非標(biāo)準(zhǔn)模型也超出人的直觀，比如非歐幾何的出現(xiàn)徹底顛覆人們對(duì)于數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的認(rèn)識(shí)。但非歐幾何又是符合理性且可靠的，其是否代表一種真實(shí)的存在呢？在我們的直覺認(rèn)識(shí)中“整體永遠(yuǎn)大于部分”，這個(gè)命題是無(wú)需反駁的，但是直到康托爾對(duì)無(wú)窮集合的進(jìn)一步研究得出實(shí)無(wú)限是無(wú)法排除的，并提出“整體與部分是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系”之后，舊的傳統(tǒng)觀念才被打破。我們習(xí)慣于接受經(jīng)驗(yàn)上、直觀上易于接受的事物或概念，而往往容易忽略直觀無(wú)法認(rèn)識(shí)的。無(wú)限的出現(xiàn)更是為數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)，直接影響到數(shù)學(xué)可靠性的問(wèn)題。

現(xiàn)代西方數(shù)學(xué)哲學(xué)中的實(shí)在論是這樣一種觀點(diǎn)：它認(rèn)為，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是一種獨(dú)立于人類認(rèn)識(shí)的客觀存在[6]218。針對(duì)實(shí)在論的問(wèn)題，不同的數(shù)學(xué)家持不同的觀點(diǎn)?！鞍乩瓐D主義”認(rèn)為數(shù)學(xué)是完全獨(dú)立于人的認(rèn)識(shí)而存在的，存在于“理念世界”中。從“認(rèn)識(shí)論”的角度看，數(shù)學(xué)知識(shí)是先驗(yàn)的。對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)建立在“數(shù)學(xué)直覺”之上。而這種“直覺”并不是我們認(rèn)識(shí)中的直覺，而是由真理所構(gòu)成的先驗(yàn)數(shù)學(xué)世界，等待著我們?nèi)グl(fā)掘。數(shù)學(xué)直覺雖然與感覺經(jīng)驗(yàn)相距甚遠(yuǎn)，但是其表示客觀實(shí)在的一個(gè)方面。雖然他有唯心主義的傾向，但是其客觀立場(chǎng)是值得思考的，“數(shù)學(xué)直覺”的作用也是不容忽視的。還有一位實(shí)在論者普特南，他承認(rèn)數(shù)學(xué)對(duì)象量化對(duì)于物理發(fā)展的重要性，我們接受了數(shù)學(xué)量化也就接受了數(shù)學(xué)對(duì)象的存在[7]347。數(shù)學(xué)從本質(zhì)上說(shuō)，它的出現(xiàn)并不是要和經(jīng)驗(yàn)世界有所關(guān)聯(lián)，而是要發(fā)展其數(shù)學(xué)思維的自由性。對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象客觀性與實(shí)在性的問(wèn)題，筆者認(rèn)為應(yīng)給予更多的包容性，因?yàn)楹芏辔粗臇|西需要我們進(jìn)一步地探索，實(shí)在性與否并不是問(wèn)題所在，關(guān)鍵在于給予數(shù)學(xué)思想自由發(fā)揮的空間來(lái)發(fā)現(xiàn)和解決更多的問(wèn)題。

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