讓抽象的概念“活起來”

【摘 要】深度思維不僅有助于學生深刻理解數(shù)學本質，深入探尋知識間的密切關聯(lián)，更能讓他們在研究中積累數(shù)學活動經(jīng)驗，實現(xiàn)數(shù)學思考，提升數(shù)學素養(yǎng)。在教學中，教師可以通過制造認知沖突、搭建認知場域、提供創(chuàng)造舞臺等策略，引導學生在深度思維的過程中把握概念本質、理解概念內涵、形成概念結構、活化概念理解。

【關鍵詞】深度思維;確定位置;認知沖突;認知場域;創(chuàng)造舞臺

【中圖分類號】G623.5【文獻標志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）17-0062-05

【作者簡介】趙國防，江蘇省無錫通德橋教育集團（江蘇無錫，214000）總校長，高級教師，江蘇省數(shù)學特級教師，江蘇省“333高層次人才培養(yǎng)工程”培養(yǎng)對象，江蘇省網(wǎng)絡名師工作室領銜人。

【背景】

認知理論認為，概念形成一般要經(jīng)歷感知活動、思維加工、理解應用、形成結構四個步驟。概念教學自然應讓學生充分經(jīng)歷概念形成的全過程。然而，在實際教學中，思維加工和形成結構這兩個重要環(huán)節(jié)常常被忽視。如此，學生對概念的理解就會浮于表面，只知道它“是什么”，卻不知道“為什么”與“從哪兒來”等深層次問題，其間應有的思維訓練更無從談起。

數(shù)學是思維的體操。概念教學自然也應擔負起思維訓練的重任。在教學中，教師要在深入研究教材和學生的基礎上，積極開發(fā)有利于概念形成與發(fā)展的寶貴資源，用核心問題引導學生深度思維，使他們充分經(jīng)歷大量的感知活動，并在此基礎上進行思維加工，積極投入應用與創(chuàng)造之中，最終形成概念結構，突出深刻理解與系統(tǒng)建構。只有這樣，才能真正實現(xiàn)概念形成的系統(tǒng)化、結構化與深刻化，讓概念教學立足概念、發(fā)展概念、超越概念。

就蘇教版四下《確定位置》一課來說，新概念無疑就是“數(shù)對”。作為表示物體位置的概念，數(shù)對既是數(shù)形結合的有力體現(xiàn)，也是數(shù)學符號化與簡潔性的生動詮釋，還是一種量化表達二維空間中物體位置的重要方式。因此，在本課教學中要努力做到以下三點：一是要立足生活，關注生活，更要超越生活，凸顯數(shù)學規(guī)范。如“座位圖”既易受觀察者方向的影響，又易受生活實際的局限，在教學中應當慎用、巧用;二是要延展概念形成過程，強化深度思維與系統(tǒng)建構，適度凸顯“定位點”之間關系的探索與發(fā)現(xiàn)。這樣可在適當滲透坐標與函數(shù)思想的基礎上，讓學習得以延伸;三是順應兒童認知規(guī)律，遵循由塊到點、由點到線的認知邏輯，在逐步抽象的過程中延展思維，深刻內化，讓“確定位置”不只是“定位”，更是在滲透函數(shù)思想。基于以上思考，在泉州師范學院蘇明強教授的指導下，筆者對本課進行了以下探索與實踐。

【教學過程及分析】

一、制造認知沖突：只有“列”可不行

師：同學們，我在黑板上畫一個點，這個點表示0。我再畫一個點，這個點表示1。再在它后面畫一個點，這個點表示幾呢？

生：2。

師：對，再畫一個點呢？

生正要說3，此時教師卻點在了比3還靠后一點兒的位置。

生：4……

師：?。?！不是3嗎？

生（搖頭，并信心滿滿地）：你空過了3，從間隔的距離來看，肯定是4。

師：真會觀察和思考！

師：是的，3在這里呢。（說著出示點3）4的后邊是幾呢？

生：5，6，7……

師：對，一直畫下去，能畫完嗎？后面還有好多好多數(shù)呢。

師：請大家仔細看黑板，見證奇跡的時刻到了！（點了一個點，形成如圖1所示的板書）

學生一片安靜，瞪著眼睛在琢磨著……

生：是3，我看它和3齊著！

師：你們認為呢？

生（齊答）：應該是3。

師：好吧，聽你們的，暫且看作3。那再畫一個點（如圖2）呢？還是3嗎？

生：啊？！不對，都是3就亂套了，我看它們都在一列上呢。

師：哦？都在哪一列上呢？

生：都在第3列上。

師：是的，它們都在第3列上。

教師順勢揭示“列”。（如圖3）

師：那如果只有“列”，你能清楚地表達這兩個點的位置嗎？

生：就是呢！我一直在琢磨，它們雖然都在一列上，但位置明顯不同啊……

把握要點，直面困惑?！皵?shù)對”教學有兩個重要的知識點：一是“先數(shù)列，再數(shù)行”;二是“確定第幾列，要從左往右數(shù);確定第幾行，要從前往后數(shù)”。這兩點仿佛成了一種理所當然的“規(guī)定”，常常被教師“硬塞”給學生。一節(jié)課下來，對于“為什么要這樣數(shù)”，學生則是一片茫然。面對這種傳統(tǒng)教法的尷尬，筆者精心設計，引導學生在常規(guī)表達中“遭遇”挑戰(zhàn)，在數(shù)數(shù)中體會到“列”的由來。

聚焦本質，經(jīng)歷過程。“數(shù)對”這一概念實際上是一種對二維空間物體位置的量化表達。它既是一種量化過程的概括，也是一種量化結果的提煉。如果僅僅停留在記憶層面，學生只會用，但不能真正理解這一概念的本質。在教學中，筆者努力延展概念形成的過程，引領學生充分經(jīng)歷從一維空間到二維世界的建構過程，深切體會到一定要先數(shù)“列”，并從真實經(jīng)歷中悟到了“為什么要這樣數(shù)”。

制造沖突，激活思維。矛盾是事物發(fā)展的動力。學生的深度學習也充滿了矛盾和沖突。教材現(xiàn)成的“座位圖”這一情境固然形象、直觀，但為了充分喚醒學生已有的學習經(jīng)驗，引導他們在實際運用過程中經(jīng)歷原有認知和所面臨的新問題之間的“沖突”，誘發(fā)深度思維，筆者進行了創(chuàng)新設計。這樣設計主要基于三個方面的考慮：一是讓現(xiàn)成的素材活起來，便于學生經(jīng)歷概念形成的完整過程;二是引導學生經(jīng)歷“碰壁”過程，激活深度思維;三是與之前的數(shù)數(shù)巧妙對接，讓新知學習尋得“系統(tǒng)關聯(lián)”，體現(xiàn)深度學習的重要特征。

二、構建認知場域：“數(shù)對”原來如此好玩

1.建立“數(shù)對”概念。

師：那怎么辦呢？

生1：一個點離3很近，一個點離3遠一點。

生2：它們都在一列上，但不在一行上。

師：你說到了“行”，哪里有“行”??？

生2：我們座位里就有“行”，我在第2行。

生3：對，我知道了，一個點在第1行，一個點在第2行。

師：咦，說得有點道理嘛！但我沒看到“行”?。空l來指一指哪里有“行”？

學生上臺指，教師順勢揭示“行”。（如圖4）

師：現(xiàn)在你能分別說說這兩個點的位置嗎？

生：一個點在第3列，第1行;另一個點在第3列，第2行。

師：好，說得不錯！再給你兩個點（如圖5），你能快速說說它們的位置嗎？

生：一個點在第2列，第4行;另一個點在第5列，第5行。

師：說得對嗎？你能說說你的秘訣嗎？

生：我先看它在第幾列，再看它在第幾行。因為老師標了列數(shù)和行數(shù)，所以讀起來很快。

師：方法總結得不錯！剛才我們學會了用列數(shù)和行數(shù)來表示一個點的具體位置，但在表達這個點的位置時需要說一句較長的話才能講清楚。數(shù)學本身具有簡潔之美，你能開動腦筋，讓這句長話變得簡潔一些，體現(xiàn)簡潔之美嗎？自己試一試。

生1：2列，4行。

生2：2和4。

生3：2;4。

生4：2，4。

…………

教師順勢揭示“數(shù)對”，并強調書寫的規(guī)范和要求。

2.發(fā)現(xiàn)“數(shù)對”秘密。

師：我們來回顧一下剛才的探索過程，給你一分鐘時間，看一看，還有哪些重大發(fā)現(xiàn)？

生：我發(fā)現(xiàn)剛剛兩個點的數(shù)對里都有3，一個是（3，1），一個是（3，2）。

師：哦？對，為什么會都有3呢？

生：數(shù)對的第一個數(shù)表示列，它們都在第3列上，所以肯定第一個數(shù)都是3。

師：同意他的說法嗎？

生（齊答）：同意！

生：我還發(fā)現(xiàn)有一個點的數(shù)對有兩個5。大家可不要以為它們是一樣的5啊，第一個5表示的是第5列，而第二個5表示的是第5行。

師：你的發(fā)現(xiàn)和提醒很有見地！

生：我還發(fā)現(xiàn)，不管是哪個點，要表示它的位置，必須要用兩個數(shù)，一個數(shù)表示列，一個數(shù)表示行，缺一不可。

師：他總結得怎么樣？誰來評價一下？

生：總結得很到位，他把數(shù)對的本質一語道破了。

…………

問題驅動，讓學習充滿挑戰(zhàn)。僅有“列”，已經(jīng)無法解決當下的問題了，學生在“山重水復疑無路”時，思維高速運轉，“行”應運而生，大有“柳暗花明又一村”的暢快。這樣一來，不僅引導學生實現(xiàn)了從一維空間到二維空間的升級，而且讓他們深切感悟了概念形成的完整過程。數(shù)對為什么要用兩個數(shù)來表示？這兩個數(shù)分別代表什么意義？這一系列問題，學生在過程經(jīng)歷中自然解決了，不僅印象深刻，而且妙趣橫生。

提煉概括，讓數(shù)學彰顯簡潔美。概念教學不僅要引導學生經(jīng)歷概念形成過程，更要及時引導學生進行提煉與概括。筆者放手讓學生在概括第幾列、第幾行的表達方式時一步步抽象與簡化，在體驗活動中深切感悟“數(shù)學好玩”“數(shù)學好美”。

反思回顧，讓思維走向深刻。學習的過程需要“一路向前”，更需要及時“回頭看”，即反思與回顧。筆者通過引導學生進行反思與回顧，將學生對數(shù)對內涵與外延的理解帶上了一個新的高度，也切實培養(yǎng)了他們善于反思與回顧的良好學習習慣，訓練了他們的深度思維，使他們的空間觀念和空間想象能力得到了發(fā)展。

三、提供創(chuàng)造舞臺：“數(shù)對”背后居然有這么多秘密

教師出示“探索活動”：

1.標一標：用數(shù)對標出長方形（如圖6）四個頂點的位置，并說說自己的發(fā)現(xiàn)。

2.移一移：將長方形向右平移一格，畫出平移后的圖形，并用數(shù)對標出四個頂點的位置。

3.說一說：通過對比平移前后各個頂點的數(shù)對，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學生自主活動后匯報。

生1：通過“標一標”和“移一移”，我發(fā)現(xiàn)這里邊有好多秘密呢！首先是標完四個點的數(shù)對（如圖7）后，我就發(fā)現(xiàn)，在同一列上的點，數(shù)對的第一個數(shù)都相同;在同一行上的點，數(shù)對的第二個數(shù)都相同。然后，我就運用這個原理迅速標出了向右平移一格后長方形四個點的位置（如圖8），技巧是每個數(shù)對的第一個數(shù)都加1。

師：為什么每個數(shù)對的第一個數(shù)都加1??？

生1：四個點都向右平移，就說明在行沒變的情況下列數(shù)都增加了1，而數(shù)對的第一個數(shù)表示列，所以每個數(shù)對的第一個數(shù)都加1。

師：他的回答你聽明白了嗎？

學生齊答聽明白了，并不約而同地鼓掌。

師：誰還有其他發(fā)現(xiàn)？

生2：我是橫著看的，發(fā)現(xiàn)平移前后每一行上四個點的數(shù)對的第二個數(shù)都沒變，誰知道這是為什么呢？

生3：我知道，因為是在固定的行上平移的，平移前后行數(shù)當然不會變。又因為數(shù)對的第二個數(shù)表示行數(shù)，所以它們當然不會變了。

生4：老師，我覺得長方形每條長邊就像在一條長長的直線上滑行。

師：“在一條長長的直線上滑行”，說得真好！每一行上的四個點確實都在一條直線上。誰還有問題？

生5：我還有問題，剛剛是向右平移一格，那現(xiàn)在再向上平移兩格，四個點的數(shù)對又該怎樣表示呢？

師：他提出了一個極具思維含量的好問題！下面，請大家再仔細看一下現(xiàn)在長方形的位置，然后閉上眼睛想象它向上平移兩格的過程，平移結束后用數(shù)對表示四個頂點的位置。想好的，可以睜開眼睛。

生：這個太簡單了！向上平移，列數(shù)不變，即數(shù)對的第一個數(shù)不變，只把每個數(shù)對的第二個數(shù)加2即可。

師：??？！為什么要加2？

生：向上平移兩格，行數(shù)增加2，數(shù)對的第二個數(shù)肯定要加2。如果向下平移兩格，行數(shù)便會相應地減2。

師：大家都是這么想的嗎？學數(shù)學，就是要學會多角度地思考和審視問題，善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律、運用規(guī)律。數(shù)學，奧妙無窮！思考，無處不在！

…………

打破傳統(tǒng)練習局限，關注綜合能力提升。只有通過充分而必要的具體應用，才能促進概念的理解應用和結構形成。在教學中，筆者設計了一組兼具綜合性、實踐性、開放性與挑戰(zhàn)性的“探索活動”，引導學生在“標一標”“移一移”“說一說”的活動中，多角度面臨挑戰(zhàn)，全領域接受考驗，數(shù)對的內涵及外延自然而然內化于心，并通過現(xiàn)實情境及時外化于行，他們的觀察、思考、分析、概括、表達等能力都得到了一定程度的提升。

聚焦概念本質，促進深度思維。概念教學的每個環(huán)節(jié)都應牢牢抓住“概念建構與理解”這條“明線”，千方百計地引導學生在概念建構與理解過程中實現(xiàn)“思維訓練”這條“暗線”的教學目標。在“移一移”和“說一說”的過程中，學生的思維被徹底打開，多角度觀察問題、思考問題的能力與意識自然得到了提升，思維的靈活性與廣闊性得到了充分訓練，概念的本質與內涵得到了強化理解與自然應用?！伴L方形每條長邊就像在一條長長的直線上滑行”，這雖是學生的一種想象，但滲透了學生對各點所在的“線”的特征的理解，更滲透了函數(shù)思想，實為數(shù)學思想的又一次深切體悟與超越。

關注問題提出，重視數(shù)學思考。提出問題不僅是探究與發(fā)現(xiàn)的需要，更是學生深度思維的前提與基礎。沒了問題，就沒了真正意義上的研究。上述環(huán)節(jié)，結合活動進程，筆者及時鼓勵學生說出自己的發(fā)現(xiàn)，實際上就是在刺激他們的思維，給他們創(chuàng)造發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的機會及可能?！霸傧蛏掀揭苾筛?，四個點的數(shù)對又該怎樣表示呢？”這個來自學生的真實問題，向全體學生提出了新的挑戰(zhàn)，使他們的數(shù)學思考自然“升級”。