非平穩(wěn)噪聲環(huán)境下LFMCW信號恒虛警檢測算法研究

蘇宇， 蔣德富

(河海大學(xué) 計算機與信息學(xué)院，江蘇,南京 213022)

線性調(diào)頻連續(xù)波(linear frequency modulation continuous wave, LFMCW)雷達(dá)具有體積小、成本低、精度高、無距離盲區(qū)、低截獲(low probability of intercept, LPI)等優(yōu)點，已廣泛應(yīng)用于軍用導(dǎo)航、戰(zhàn)場偵查監(jiān)視、成像等系統(tǒng)中[1-3]. LFMCW雷達(dá)的波形具有時寬積大、峰值功率低等特點，給電子偵查中非合作檢測帶來了巨大的困難. 因此，在低信噪比(signal to noise ratio，SNR)下，研究對LFMCW波形進行可靠的恒虛警率(constant false alarm rate, CFAR)檢測，具有重要的現(xiàn)實意義.

文獻(xiàn)[4-8]中采用周期Wigner-Ville Hough變換(periodic Wigner-Ville Hough transform，PWVHT)、周期Choi-Williams Hough變換(periodic Choi-Williams Hough transform，PCWHT)、周期分?jǐn)?shù)階傅里葉變換 (periodic fractional Fourier transform，PFRFT)、Radon-Ambiguity變換(Radon-Ambiguity transform，RAT) 、短時傅里葉變換(short time Fourier transform， STFT)的方法，從參數(shù)估計的角度對LFMCW信號進行分析，在時頻聚焦性[4-6]、減少計算量[7-8]、抗噪聲方面具有優(yōu)良的性能. 參數(shù)估計的前提是有效的信號檢測，然而，這些方法未能對檢測模型進行分析，以對低信噪比情況下的截獲信號進行可靠的CFAR檢測. 陳旭敏等[9]采用蒙特卡洛(Monte-Carlo)實驗的方法，對Wigner-Ville Hough變換(Wigner-Ville Hough transform，WVHT)、PWVHT、累積WVHT(Cumulative WVHT，CWVHT)算法中時頻域虛警門限進行設(shè)定，沒有對隨機信號的分布特性進行分析，檢測性能并不可靠. 王澤眾等[10-11]分別對隨機信號經(jīng)過周期Wigner-Hough變換(periodic Wigner-Hough transform，PWHT)、PFRFT算法處理后的分布特性進行分析，得到符合卡方分布的信號模型，由卡方分布的概率密度函數(shù)(probability density function，PDF)進行固定虛警率下的檢測門限的設(shè)定. 王杰等[12]分析了隨機信號經(jīng)過單窗口加權(quán)并進行離散傅里葉變換(discrete Fourier transform, DFT)后頻域信號的分布特性，得出頻域包絡(luò)呈Rayleigh分布的結(jié)論，根據(jù)Rayleigh分布的PDF設(shè)定頻域CFAR門限. 上述算法[9-12]雖然能對低SNR的LFMCW信號進行CFAR檢測，但是算法實施的前提是對噪聲功率進行可靠的統(tǒng)計，然而在復(fù)雜的電磁環(huán)境中，統(tǒng)計出的噪聲功率可能是不準(zhǔn)確的，甚至是錯誤的，而且在截獲過程中噪聲功率可能是變化的，非平穩(wěn)的，這些因素都極大地限制著上述檢測算法的應(yīng)用范圍.

本文在Thomson多正交窗諧波分析方法的基礎(chǔ)上[13]，提出一種對截獲的LFMCW信號進行分段多正交窗口加權(quán)的檢測算法. 采用離散長球序列(discrete prolate spheroidal sequences，DPSS)對信號進行加權(quán)離散時間傅里葉變換(DTFT)處理，通過合理的假設(shè)和一系列復(fù)雜的變換，得出與噪聲功率無關(guān)的CFAR檢測模型. 該算法是在短時傅里葉變換(short time Fourier transform, STFT)的基礎(chǔ)上提出的，傳統(tǒng)的STFT方法采用單個窗加權(quán)，本文采用多個正交窗對序列進行加權(quán)，增加了一維自由度，從而便于推導(dǎo)出與噪聲無關(guān)的CFAR檢測模型. 與傳統(tǒng)算法[9-12]相比，該算法優(yōu)點在于：

① 傳統(tǒng)算法需要假定噪聲在截獲過程中符合平穩(wěn)高斯分布，這在復(fù)雜電磁環(huán)境中往往很難滿足，本文所采用的算法只需假定噪聲在時間窗內(nèi)符合平穩(wěn)高斯分布，具有更普遍的適用性；

② 本算法中，門限值的設(shè)定只與窗的個數(shù)和虛警概率有關(guān)，與噪聲功率無關(guān)，因此無需對噪聲功率進行統(tǒng)計，避免了統(tǒng)計誤差導(dǎo)致的虛警率變化，增加了算法的適用性和可靠性；

③ 采用了離散長球序列，也叫Slepian序列，對信號進行加權(quán). Slepian序列加權(quán)是一種使得主瓣能量占總能量最大化的加權(quán)技術(shù)，信號能量更加集中于主瓣，因此可以提高估計算法的穩(wěn)定性[14].

1 LFMCW信號截獲模型

為了獲得信號的幅度和相位信息，截獲接收機通常采用模擬正交下變頻或者數(shù)字正交下變頻的技術(shù)[15]，將截獲信號由實數(shù)轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)信號，因此本文采用復(fù)數(shù)模型對截獲信號進行建模和分析處理. LFMCW信號的形式主要有兩種，即鋸齒波信號和三角波信號，為了便于分析，本文采用鋸齒波線性調(diào)頻連續(xù)波(sawtooth LFMCW，SLFMCW)信號. 雷達(dá)偵查接收機截獲的SLFMCW信號可以表示為

ω(n)=x(n)+ω(n).

(1)

2 頻域恒虛警檢測

本文采用假設(shè)檢驗的方法對信號進行分析，并說明了如何通過設(shè)定檢測門限V來控制虛警概率PFA，這里的虛警是指在窗內(nèi)對某個信號參數(shù)的錯誤檢測. 將式(1)表示的截獲信號等分成多個時間序列，在時間序列μk內(nèi)構(gòu)建二元假設(shè)檢驗：

H0:rn,k=ωn,k,

H1:rn,k=xn,k+ωn,k.

(2)

式中：rn,k表示第k時間序列中第n采樣點的值；xn,k為信號項；ωn,k為誤差項. 這里第k時間序列可表示為

μk={n:(k-1)N≤n≤kN}.

(3)

文獻(xiàn)[16]通過構(gòu)造時間序列μk內(nèi)單個LFMCW信號的模型，以μk內(nèi)最小頻譜偏移為準(zhǔn)則得出結(jié)論：當(dāng)Tobs?NTs時，可以設(shè)定N的最大值為

(4)

根據(jù)上述近似平穩(wěn)的設(shè)定，在時間序列μk內(nèi)可把信號xn,k近似看成一系列諧波信號的和，建立如下短時諧波模型(short time harmonic model，STHM)：

(5)

式中：Lk≤M表示第k時間序列里截獲信號的個數(shù)；Ac,k，fc,k分別表示第k時間序列里第c個信號的幅度和載頻.

在紐曼-皮爾遜準(zhǔn)則下，定義時間窗μk內(nèi)虛警概率PFA和檢測概率PD分別為

(6)

式中：Pr{A|B}為條件概率，指在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率.

(7)

在仿真中，虛警概率與檢測概率皆采用平均虛警概率和平均檢測概率表示.

基于上述μk內(nèi)STHM的建立，在下文中，先給出單個窗加權(quán)算法下PFA與門限V的關(guān)系，然后對多正交窗加權(quán)下的信號進行分析，并推導(dǎo)出其對應(yīng)的CFAR模型.

2.1 單窗口檢測

(8)

式中：V1為檢測門限；PFA為虛警概率.

由上述分析可知，單窗口方法是采用單個窗函數(shù)對信號進行加權(quán)DTFT處理，頻域CFAR門限的設(shè)定與窗寬度N、噪聲功率σ2及虛警概率PFA有關(guān). 因此在實際工程中，在信號到來之前，需要對σ2進行估計，而且需要假定在信號觀測時間Tobs內(nèi)，噪聲是平穩(wěn)高斯分布的. 在復(fù)雜電磁環(huán)境中，對于LFMCW信號，這種條件很難滿足，且CFAR檢測的前提是σ2的準(zhǔn)確估計，任何誤差都可能導(dǎo)致虛警率的變化.

2.2 多窗口檢測

為了解決上述單窗口算法不適用于復(fù)雜電磁環(huán)境中對LFMCW信號進行CFAR檢測的問題，在本節(jié)中，采用多窗口諧波分析的方法對信號進行分析. 基于式(5)中STHM模型，推導(dǎo)出與噪聲功率σ2無關(guān)的CFAR檢測算法，該算法的推導(dǎo)可分為如下幾個步驟.

步驟1 采用Slepian窗加權(quán)DTFT.

為了便于分析，假設(shè)在時間序列μk內(nèi)只有一個單頻信號f1,k存在的情況，模型如下：

rn,k=A1,kej2πf1,knTs+ωn,k.

(9)

利用Slepian窗對上式進行加權(quán)求DTFT:

(10)

了部分Slepian窗的時域和頻域形狀，其中N=64，W=5/N，Q≤9. 由圖中可以看出，第0和第1個窗函數(shù)主瓣能量較為集中，第8個窗函數(shù)能量比較分散. 在實際應(yīng)用中，設(shè)計Slepian窗函數(shù)步驟如下：

① 確定窗寬度N；

② 確定窗分辨率帶寬W；

③ 由N和W確定Q的最大值，調(diào)用Matlab指令h=dpss(N,NW,Q)產(chǎn)生Q個Slepian窗，h為N×Q的矩陣，hn,q為矩陣的系數(shù). 特別地，當(dāng)Q=1時，產(chǎn)生單個Slepian窗，其性能將在后文中分析.

步驟2 建立線性統(tǒng)計模型估計幅度A1,k.

(11)

將式(11)帶入式(10)可以得到

(12)

當(dāng)f=f1,k時，式(12)可寫為

(13)

(14)

(15)

步驟3 建立分布函數(shù)并推導(dǎo)出CFAR模型.

文獻(xiàn)[19]對式(13)中線性模型進行了詳細(xì)的分析，得出了以下性質(zhì).

(16)

(17)

即Dk(f1,k)服從自由度為2,2Q-2的F分布. 結(jié)合式(6)可得

PFA=Pr{Dk(f1,k)>V2|H0}=

(18)

結(jié)合F分布的概率密度函數(shù)可以得到門限與虛警概率的關(guān)系[17]為

(19)

與式(8)相比，式(19)中門限V2的大小只與窗個數(shù)Q以及虛警概率有關(guān)，與噪聲功率無關(guān)，因此無需對噪聲功率進行統(tǒng)計分析.

3 仿真結(jié)果及分析

k=1,2,…,K.

(20)

設(shè)定非平穩(wěn)噪聲功率變化規(guī)律如下：

(21)

式中,α>0為噪聲功率變化增益. 在下面的實驗中，設(shè)定信噪比為信號功率與σ2的比值.

圖3為本算法在非平穩(wěn)噪聲狀態(tài)下檢測概率的信噪比曲線. 由圖3(a)可得單個SLFMCW 信號的檢測性能優(yōu)于多個SLFMCW信號；低調(diào)頻斜率的信號的檢測性能優(yōu)于高調(diào)頻斜率的信號. 因為對于固定的窗長N，由于分辨率2W的限制，多個信號之間會相互干擾，影響載波頻率的測量；相對于高調(diào)頻斜率信號，低調(diào)頻斜率產(chǎn)生更小的頻譜偏移，因此具有更好的檢測性能. 分析圖3(b)可知：通過增加窗的個數(shù)可以提高檢測概率，但是窗個數(shù)Q的變大，會增加運算量，降低分辨率，因此在實際工程中，需要在計算量和檢測性能之間做出取舍，以取得滿足需求的檢測性能. 圖3(c)分析了不同虛警率下檢測概率與α的關(guān)系，可以看出，在信號截獲過程中，本文所提算法的檢測性能可以實時跟蹤信噪比的變化，當(dāng)信噪比增大時，檢測性能可以實時的提高. 圖3(d)分析了不同分辨率帶寬下檢測概率與窗寬度的變化關(guān)系. 由圖示可得，窗長度在112左右的時候檢測性能最優(yōu). 窗長過小，DTFT積累點數(shù)少，SNR增益不夠，檢測性能不高；窗長過大，頻譜擴散大，同樣會降低檢測性能. 在實際工程中，窗長度需要根據(jù)檢測對象的假定最大斜率設(shè)置. 對于相同的窗長度，分辨率帶寬越大，對應(yīng)的窗個數(shù)越多，檢測性能越好.

圖4將本文所提算法與單窗口算法在時域非平穩(wěn)噪聲情況下檢測性能進行比較，實驗中設(shè)定虛警概率為10-3，Q=29，M=1，單窗口窗函數(shù)選擇矩形窗、Hamming窗和Kaiser窗，其中凱撒窗的分辨率帶寬與本文所采用的Slepian窗相同. 圖4(a)采用Monte Carlo實驗的方法，分析虛警概率隨α變化的規(guī)律.α從0開始，以0.1為步長遞增至5，每個α值做200次實驗. 可以看出，本文提出多窗口檢測算法在不同α下仍能保持穩(wěn)定的虛警概率，而單窗口算法的虛警概率隨著α的增大而增大. 該實驗表明了在信號截獲過程中，即使噪聲功率譜隨時間變化而變化，本文所提算法仍能做到恒虛警率，而傳統(tǒng)單窗口算法無法做到這一點. 圖4(b)分析了多個Slepian窗與單個窗檢測性能隨信噪比變化的關(guān)系，其中Slepian窗與凱撒窗函數(shù)的分辨率相同. 由圖示可知，單個Slepian窗檢測性能略高于凱撒窗，隨著窗個數(shù)的增加，本文所提出的多窗口算法的檢測性能也隨之提高，在低SNR下，性能差異尤其明顯.

圖5為本算法在高斯色噪聲背景下與傳統(tǒng)單窗口算法性能對比. 高斯色噪聲的特點是噪聲功率譜密度在頻域非平穩(wěn)，通常由外部強干擾源產(chǎn)生，通過接收機帶通濾波后成為相關(guān)的高斯噪聲. 圖5(a)采用Monte Carlo實驗的方法分析了不同窗函數(shù)虛警概率與設(shè)定值之間的差異. 實驗中，設(shè)定兩種濾波器帶寬，為2,40 MHz，分布對應(yīng)于實際應(yīng)用中的窄帶瞄準(zhǔn)式干擾和寬帶阻塞式干擾，濾波器通帶波動0.001 dB，阻帶衰減60 dB. 由于包括本文所提出的算法在內(nèi)的頻域CFAR檢測算法皆要求噪聲是非相關(guān)的，因此無法實現(xiàn)在色噪聲背景下CFAR檢測. 圖中窗口1代表帶寬設(shè)置為2 MHz，窗口2代表帶寬設(shè)置為40 MHz. 由圖示可以看出，隨著干擾噪聲帶寬的增加，在短時窗內(nèi)噪聲之間的相關(guān)性減弱，因此虛警概率逐漸接近設(shè)定值，且本文所提出的算法相對于單窗口的算法的虛警概率總體上更加接近設(shè)定值. 圖5(b)為不同信噪比下，多正交窗與單窗加權(quán)方法檢測概率的對比，此時的信噪比定義為信號功率與濾波之前的噪聲功率之比，濾波帶寬設(shè)置為20 MHz，虛警概率設(shè)置為10-4. 由圖中可以看出，對于窄帶干擾噪聲，即使噪聲功率很高，本文所提出的算法檢測概率仍然很大；對于寬帶干擾噪聲，檢測概率隨著干擾帶寬的增加而減小，但是仍然高于傳統(tǒng)單窗口算法. 因此可以得出結(jié)論，本文所提出的算法在色噪聲背景下，性能仍然優(yōu)于傳統(tǒng)的單窗口加權(quán)算法.

圖6將本文所提出的算法與單窗口算法在參數(shù)估計上進行對比，單窗口選擇凱撒窗以及單個Slepian窗，以在相同的分辨率條件下進行對比. 圖5(a)為采用本文所提算法與單個Slepian以及凱撒窗對任一時間段μk進行加權(quán)FFT的結(jié)果圖，由圖可以看出單個Slepian窗的性能與凱撒窗相似，主瓣略窄，第一旁瓣略高. 隨著窗個數(shù)的增加，Slepian窗加權(quán)后的頻譜主瓣變窄，旁瓣降低，能聚集性隨之提高，因此頻率估計結(jié)果更加穩(wěn)定. 3種窗函數(shù)在不同信噪比下對不同時間段上頻率估計方差的平均值如圖5(b)所示，由圖可以看出單個Slepian窗參數(shù)估計方差略低于凱撒窗，而本文所提出的多正交窗加權(quán)的方法估計方差明顯小于二者，在參數(shù)估計上比單個窗函數(shù)性能更優(yōu)，且性能可以隨著窗個數(shù)的增加進一步提高.

4 結(jié) 論

本文針對LFMCW信號的截獲，提出了一種分段多正交窗加權(quán)的算法，并推導(dǎo)出與噪聲功率無關(guān)的CFAR模型. 相對于傳統(tǒng)采用單個窗加權(quán)的算法，本文所提算法在檢測概率、能量聚集性、和頻率估計方面具有更優(yōu)的性能，且算法性能可以隨著窗個數(shù)的增加而提高. 后續(xù)工作需要在此基礎(chǔ)上研究LFMCW信號的參數(shù)估計、分選、識別以及實時計算等問題.