基于渦激力偏相關(guān)的大跨度橋梁渦激振動(dòng)線性分析方法

李明水，孫延國，廖海黎

（西南交通大學(xué) 風(fēng)工程試驗(yàn)研究中心，四川 成都 610031）

0 引 言

從空氣動(dòng)力學(xué)的角度來說，大跨度橋梁的主梁斷面屬于鈍體斷面，氣流分離以及尾流渦脫將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)即渦激振動(dòng)，在特定風(fēng)速范圍內(nèi)，旋渦脫落頻率被結(jié)構(gòu)振動(dòng)的頻率控制，結(jié)構(gòu)隨之發(fā)生大幅振動(dòng)稱為鎖定現(xiàn)象（lock－in）。Simiu和Scanlan對(duì)這種氣動(dòng)彈性現(xiàn)象進(jìn)行了詳細(xì)深入的討論［1］。目前，節(jié)段模型試驗(yàn)是研究大跨度橋梁渦激振動(dòng)的主要手段。為了研究渦激振動(dòng)產(chǎn)生的機(jī)理并將模型試驗(yàn)結(jié)果應(yīng)用到實(shí)橋，Scanlan［2］、Larsen［3］等基于 Van der Pol振子模型立了多種線性和非線性渦激力半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?。然而，由于渦激力沿跨向的偏相關(guān)或非完全相關(guān)性以及振型等因素的影響，節(jié)段模型試驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際橋梁的不一致仍然沒有得到很好的解釋［4－5］。

對(duì)于實(shí)際大跨度橋梁主梁而言，渦激振動(dòng)屬于沿跨向范圍內(nèi)的三維問題［6］?，F(xiàn)有的基于模型風(fēng)洞試驗(yàn)建立的渦激力半經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ痛蠖嗉僭O(shè)渦激力沿展向或跨向完全相關(guān)，極少考慮渦激氣動(dòng)力的偏相關(guān)，少數(shù)研究也僅采用一維渦激振動(dòng)氣動(dòng)力線性組合的方式粗略考慮振動(dòng)沿跨向的變化［7］。Wilkinson采用剛性節(jié)段模型測(cè)壓方法，研究了方柱體渦激力的相關(guān)性，得到了不同振幅下的渦激力相關(guān)函數(shù)［4］。Ehsan等人采用雙指數(shù)函數(shù)得到了相關(guān)函數(shù)的擬合形式，并利用Scanlan經(jīng)驗(yàn)非線性模型和相關(guān)性函數(shù)，粗略討論了主梁沿跨向渦激振動(dòng)［5］。朱樂東［8］指出了考慮渦激力相關(guān)性的重要性，鮮榮［9］研究了箱梁的渦激力相關(guān)函數(shù)并初步將其應(yīng)用于大跨度橋梁的渦激振動(dòng)分析。

1 渦激振動(dòng)的線性理論描述

基于Scanlan渦激力經(jīng)驗(yàn)線性模型［1］，考慮渦激力（升力）沿跨向存在相位差，可將豎向渦激振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程寫為：

上式中，m為結(jié)構(gòu)質(zhì)量；ζ為結(jié)構(gòu)阻尼比；ω0為結(jié)構(gòu)固有頻率；ρ為空氣密度；U為來流風(fēng)速；D為結(jié)構(gòu)迎風(fēng)向特征尺寸（高度）；y（x，t）為橋面上任意一點(diǎn)渦振響應(yīng)，x為沿橋跨向坐標(biāo)；K為無量綱折算頻率（K＝ωD／U，ω為旋渦脫落頻率）；Y1（K）、Y2（K）、CL（K）、ψ（x）為待識(shí)別參數(shù)。

引入廣義坐標(biāo)y（x，t）＝φ（x）ξ（t）D，式中φ（x）為主梁振型函數(shù)；ξ（t）為無量綱廣義坐標(biāo)。令s＝Ut／D、K0＝ω0D／U，則式（1）可以寫成如下形式：

式中，Γ＝

M為模態(tài)對(duì)應(yīng)的全橋廣義質(zhì)量，L為主梁長度；

下面討論F（s）的相關(guān)性：

令f（s，x）＝sin［Ks＋ψ（x）］，則F（s）＝

F（s）的相關(guān)性可用下式表示：

對(duì)上式兩邊進(jìn)行Fourier變換可得：

Houblt等人［10－11］都曾定義過如下形式的空間譜的相關(guān)函數(shù)：R（M，M′，ω）＝SF（M，M′，ω）／S（ω）（M，M′為空間任意兩點(diǎn)）。利用上式，則有：

式中，S（ω）為點(diǎn)譜，這里可以看作純二維的渦激力譜；根據(jù)Wilkinson［4］給出的相關(guān)函數(shù)形式，R與頻率無關(guān)（鑒于渦振為單一頻率的振動(dòng)，Strouhal數(shù)在特定雷諾數(shù)范圍內(nèi)為常數(shù)，因此R與頻率無關(guān)是合理的）。上式進(jìn)一步寫為：

定義振型的自卷積分為［12］：

將上式代入式（7），可得偏相關(guān)下渦激力折減系數(shù)：

顯然，Φ∈（0，1］。

基于以上推導(dǎo)，式（2）可重寫為：

式（10）是廣義坐標(biāo)下線性渦激振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程，其中常數(shù)ψ0為相位差?？蓪⑵涓膶憺椋?/p>

渦激振動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程（11）的穩(wěn)態(tài)解為：

對(duì)于扭轉(zhuǎn)渦激振動(dòng)可采用類似的推導(dǎo)過程得到渦激振動(dòng)的穩(wěn)態(tài)解。

2 節(jié)段模型試驗(yàn)結(jié)果在原型橋梁應(yīng)用的討論

目前尚缺乏橋梁斷面沿跨向的渦激力相關(guān)性研究，下文以Wilkinson渦激力相關(guān)函數(shù)為例，討論將節(jié)段模型試驗(yàn)的結(jié)果應(yīng)用到原型橋梁的方法。

Wilkinson［4］通過對(duì)方柱體節(jié)段模型測(cè)壓試驗(yàn)得出渦激力相關(guān)函數(shù)的近似公式：

其中η為振幅與D之比。Ehsan［5］擬合得到如下結(jié)果：

圖1為根據(jù)Wilkinson測(cè)壓試驗(yàn)結(jié)果擬合的相關(guān)性曲線。

圖1 渦激力相關(guān)函數(shù)Fig.1 Wilkinson’s correlation function

2.1 節(jié)段模型試驗(yàn)

對(duì)于節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)，其振型函數(shù)φ（x）＝1時(shí)，有θ（Δx）＝2（L－Δx）。

當(dāng)相關(guān)函數(shù)R（Δx）＝1時(shí)（即全相關(guān)的情況），折減系數(shù)Φ＝1。因此，當(dāng)渦激力沿跨向完全相關(guān)時(shí)，對(duì)應(yīng)的折減系數(shù)為1，這與現(xiàn)行傳統(tǒng)試驗(yàn)方法采用的理論完全一致。

當(dāng)相關(guān)函數(shù)R（Δx）≠1時(shí)（偏相關(guān)的情況），

取z＝Δx／L，＝L／D上式可重寫為：

從上式可以看出：折減系數(shù)的大小由跨（展）長和振幅決定。采用Ehsan擬合的結(jié)果，對(duì)公式（15）進(jìn)行數(shù)值積分，得到不同振幅下渦激力折減系數(shù)隨展長變化的情況，如圖2所示。節(jié)段模型的長高比決定了二維渦激力向空間渦激力轉(zhuǎn)換時(shí)的折減系數(shù)的大小。模型越接近純二維，該折減系數(shù)越接近1；而模型的長寬比越大時(shí)，這種折減作用越大。同時(shí)，渦振振幅與折減系數(shù)呈反比關(guān)系。

圖2 渦激力折減系數(shù)Fig.2 Reduced factor of vortex－induced force

2.2 原型橋梁

大跨度橋梁的振型函數(shù)需通過模態(tài)分析得到。對(duì)于大跨度懸索橋的振型函數(shù)可近似用三角函數(shù)表示，其一階對(duì)稱豎彎模態(tài)的振型函數(shù)可近似寫為φ（x）＝cos（π·x／L），一階反對(duì)稱豎彎模態(tài)的振型函數(shù)為φ（x）＝sin（2π·x／L）。將振型函數(shù)代入式（9），即可得到實(shí)際橋梁或全橋氣彈模型對(duì)應(yīng)的折減系數(shù)。圖3和圖4分別為懸索橋一階對(duì)稱和反對(duì)稱豎彎振型對(duì)應(yīng)的折減函數(shù)。需要說明的是渦激力沿跨向的相關(guān)函數(shù)仍近似采用式（13）的表達(dá)形式。對(duì)于斜拉橋，折減函數(shù)的計(jì)算需要采用有限元分析得到的振型函數(shù)；當(dāng)然，對(duì)于懸索橋，精確計(jì)算折減函數(shù)同樣需要采用有限元分析的模態(tài)函數(shù)。

由圖3和圖4可以看出，二維渦激力向空間渦激力轉(zhuǎn)換時(shí)的折減系數(shù)Φ隨結(jié)構(gòu)長高比的增大而衰減。即橋梁跨度越大，折減系數(shù)越?。环粗?，折減系數(shù)越大。同時(shí)，折減系數(shù)也與渦振振幅有關(guān)，振幅大，折減系數(shù)也大。

結(jié)合標(biāo)志盤、標(biāo)志桶、過球桿、繩梯奧、小跳架、移動(dòng)小球門等器具訓(xùn)練的俱樂部形式，將會(huì)顯著提高大學(xué)生原有的身體協(xié)調(diào)性，提高跑動(dòng)的能力與無球跑動(dòng)的意識(shí).訓(xùn)練的多樣性，將從各個(gè)角度刺激這項(xiàng)技能的記憶，有利于大學(xué)生足球水平的提高.

由于渦激力沿跨向不完全相關(guān)，在二維渦振響應(yīng)向空間渦振響應(yīng)轉(zhuǎn)換時(shí)便存在一個(gè)小于1的折減系數(shù)，該折減系數(shù)的大小由模型的長高比有關(guān)，這恰可以解釋不同長高比的節(jié)段模型風(fēng)洞試驗(yàn)結(jié)果以及節(jié)段模型試驗(yàn)與全橋氣彈模型試驗(yàn)結(jié)果均不一致的現(xiàn)象。

圖3 懸索橋一階對(duì)稱豎彎振型Fig.3 Reduced factor of the first symmetric mode

圖4 懸索橋一階反對(duì)稱豎彎振型Fig.4 Reduced factor of the first asymmetric mode

2.3 節(jié)段模型試驗(yàn)結(jié)果在原型橋梁的應(yīng)用

對(duì)于節(jié)段模型渦振試驗(yàn)，如果質(zhì)量、剛度、阻尼等參數(shù)均滿足相似比要求（質(zhì)量和阻尼修正方法見文獻(xiàn)［8］），節(jié)段模型試驗(yàn)的渦振振幅可以通過迭代關(guān)系式（16）轉(zhuǎn)換為原型橋梁的振幅：

式中，n為縮尺比；A為渦振振幅；Φ為折減系數(shù)；?m下標(biāo)m和p分別代表節(jié)段模型和原型橋梁的振幅。具體計(jì)算步驟如下：

（1）由已知節(jié)段模型試驗(yàn)得到Am，根據(jù)式（9）得到節(jié)段模型的折減系數(shù)Φm；

（2）首先令原橋振幅Ap1＝nAm，根據(jù)式（9）得到原橋某階振型的折減系數(shù)Φp1；

（4）在進(jìn)行第一次迭代時(shí)已經(jīng)對(duì)振型函數(shù)的差異進(jìn)行修正，后續(xù)的迭代僅需對(duì)振幅進(jìn)行修正，即由Api＋1＝nAmΦpi／Φm進(jìn)一步迭代計(jì)算至結(jié)果收斂，便可得到原型橋梁的渦振振幅Ap。

利用上述步驟亦可對(duì)不同尺度的節(jié)段模型渦振振幅進(jìn)行轉(zhuǎn)換。此時(shí)，n為兩個(gè)節(jié)段模型縮尺比之比；?m1＝?m2＝1。

3 工程實(shí)例

3.1 節(jié)段模型試驗(yàn)

以擬建的黃艤長江大橋?yàn)槔M(jìn)行分析，黃艤長江大橋?yàn)殡p塔雙索面三跨斜拉橋，跨徑布置為150m＋520m＋293m，主梁寬31m，梁高3.2m。分別設(shè)計(jì)了大尺度節(jié)段模型（1∶20）和常規(guī)尺度節(jié)段模型（1∶50）進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)。大尺度節(jié)段模型的長度為3.460m，常規(guī)尺度節(jié)段模型的長度為2.095m。

試驗(yàn)時(shí)兩種節(jié)段模型均發(fā)現(xiàn)了明顯的渦激振動(dòng)。在0.5%量級(jí)阻尼下，大尺度節(jié)段模型得到的渦振振幅為7.94cm，常規(guī)尺度節(jié)段模型的渦振振幅為6.54cm。大尺度節(jié)段模型的試驗(yàn)結(jié)果比常規(guī)尺度節(jié)段模型的試驗(yàn)結(jié)果大21.4%，這種不一致性是由節(jié)段模型的長高比不同引起的。不同長高比導(dǎo)致渦激力沿模型跨向的相關(guān)性不一致，從而兩者的振幅有所差異。根據(jù)兩種節(jié)段模型的長高比以及各自的振幅，應(yīng)用本文闡述的渦激力偏相關(guān)理論對(duì)大尺度節(jié)段模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正后，其振幅減小為6.97cm，該結(jié)果與常規(guī)尺度節(jié)段模型試驗(yàn)結(jié)果基本一致。

3.2 全橋氣彈模型試驗(yàn)

以柳州雙擁大跨度懸索橋?yàn)檠芯繉?duì)象，該橋的孔跨布置為：40m＋430m＋40m，全長510m。主梁采用流線型箱梁設(shè)計(jì)，橋面全寬38m，主梁高3.5m。分別制作了縮尺比為1∶50的節(jié)段模型和縮尺比為1∶60的全橋氣彈模型進(jìn)行風(fēng)洞試驗(yàn)。

節(jié)段模型試驗(yàn)得到的振幅為18.2cm，全橋模型試驗(yàn)得到的最大振幅為5.11cm（對(duì)稱豎彎）和6.44cm（反對(duì)稱豎彎）。節(jié)段模型的試驗(yàn)結(jié)果明顯偏大。利用本文闡述的渦激力偏相關(guān)理論對(duì)節(jié)段模型結(jié)果進(jìn)行修正。根據(jù)節(jié)段模型的參數(shù)及試驗(yàn)結(jié)果利用迭代關(guān)系式（16）對(duì)試驗(yàn)結(jié)果修正，得到振幅為5.21cm（對(duì)稱豎彎）和5.04cm（反對(duì)稱豎彎）。修正后的結(jié)果與全橋氣彈模型試驗(yàn)結(jié)果有較好的一致性。

由于本文推導(dǎo)是基于Ehsan擬合的相關(guān)函數(shù)，與流線型鋼箱梁斷面的相關(guān)系數(shù)有所不同；另一方面，渦激力的氣動(dòng)非線性等因素也會(huì)對(duì)結(jié)果的精度產(chǎn)生影響。因此，修正后的結(jié)果與全橋氣彈模型試驗(yàn)結(jié)果仍存在一定誤差。

4 結(jié) 論

本文基于渦激力經(jīng)驗(yàn)線性模型，研究了渦激力沿跨向的相關(guān)性，利用頻域分析的方法得到二維力譜到空間力譜的折減關(guān)系，定義了二維渦振響應(yīng)向空間轉(zhuǎn)換的折減系數(shù)，并給出了節(jié)段模型渦振試驗(yàn)結(jié)果應(yīng)用到原型橋梁的具體方法。工程實(shí)例結(jié)果表明，應(yīng)用本文提出的渦激力偏相關(guān)理論對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行修正，不同尺度的節(jié)段模型及全橋模型得到的渦激振動(dòng)試驗(yàn)結(jié)果與理論結(jié)果呈現(xiàn)較好的一致性。

另外，本文對(duì)渦激力折減系數(shù)的推導(dǎo)基于Ehsan擬合的相關(guān)函數(shù)，鑒于實(shí)際橋梁主梁的渦激力相關(guān)函數(shù)會(huì)有所不同，為更加準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)全橋的渦激振動(dòng)振幅，宜采用適當(dāng)試驗(yàn)途徑獲得主梁的渦激力相關(guān)函數(shù)。

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