從相位傳播的角度計(jì)算多普勒頻移的“降階”方法
——對(duì)一道全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題解答的思考

鄭金山

(莆田第四中學(xué),福建 莆田 351100)

第32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽試題第4題,設(shè)置了機(jī)載測(cè)地雷達(dá)的電磁波多普勒頻移的討論. 其中第1問的原參考解法,從電磁波中的相位傳播的角度進(jìn)行計(jì)算. 由于采用了解析幾何的框架,演算比較復(fù)雜. 根據(jù)其思路,在給高中生講解時(shí),借鑒《力學(xué)》[1]教材中的處理,嘗試通過結(jié)合信號(hào)傳播路徑的幾何關(guān)系,計(jì)算信號(hào)傳播時(shí)間,分析多普勒頻移,降低了計(jì)算的難度.

1 原題及解答思路

圖1

(32屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽復(fù)賽第4題1問)[2]如圖1,飛機(jī)在距水平地面(xz平面)等高的航線KA(沿x正方向)上,以大小為v(v遠(yuǎn)小于真空中的光速c)的速度勻速飛行;機(jī)載雷達(dá)天線持續(xù)向航線正右側(cè)地面上的被測(cè)固定目標(biāo)P點(diǎn)(其x坐標(biāo)為xP)發(fā)射扇形無線電波束(扇形的角平分線與航線垂直),波束平面與水平地面交于線段BC(BC隨著飛機(jī)移動(dòng),且在測(cè)量時(shí)應(yīng)覆蓋被測(cè)目標(biāo)P點(diǎn)),取K點(diǎn)在地面的正投影O為坐標(biāo)原點(diǎn). 已知BC與航線KA的距離為R0. 天線發(fā)出的無線電波束是周期性的等幅高頻脈沖余弦波,其頻率為f0. 已知機(jī)載雷達(dá)天線經(jīng)過A點(diǎn)(其x坐標(biāo)為xA)及此后朝P點(diǎn)相繼發(fā)出無線電波信號(hào),由P反射后又被機(jī)載雷達(dá)天線接收到,求接收到的回波信號(hào)的頻率與發(fā)出信號(hào)的頻率之差(頻移).

原解答過程[2]對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的要求比較高,為了便于直觀理解,筆者嘗試從兩個(gè)信號(hào)(余弦電磁波脈沖)的傳播路徑的幾何關(guān)系入手,分析兩個(gè)時(shí)間間隔的關(guān)系. 由于采用幾何的方法,比較直觀,高中生更為熟悉,可以降低學(xué)習(xí)難度.

2 從幾何直觀上分析,考慮信號(hào)傳播過程進(jìn)行求解

圖2

如圖2所示,先把三維的空間描述,轉(zhuǎn)換為二維平面上的情形.當(dāng)飛機(jī)飛到A點(diǎn),從波源發(fā)出一個(gè)波峰(僅為了便于理解,當(dāng)然可以是某個(gè)其它的相位)開始計(jì)時(shí),這個(gè)波峰相位向空間傳播,遇到目標(biāo)P發(fā)射回來,接收器接收到了這個(gè)波峰的回波信號(hào). 在波的傳播過程中,實(shí)際上飛機(jī)載著雷達(dá)以飛行速度沿航線運(yùn)動(dòng). 這時(shí)飛機(jī)已經(jīng)飛到了A′點(diǎn).在發(fā)出第1個(gè)波峰之后,過了1個(gè)周期(源周期)τ的時(shí)間,當(dāng)飛機(jī)飛到B點(diǎn)時(shí),下一個(gè)波峰信號(hào)(或者延后了2π的相位)從雷達(dá)出發(fā),向空間傳播,同樣被目標(biāo)P反射后,接收器接收到了它的回波信號(hào). 此時(shí)飛機(jī)飛到了B′點(diǎn). 接收器接收到的兩個(gè)信號(hào)的時(shí)間間隔,即為接收到的信號(hào)的周期τ′. 如果能夠得到發(fā)射周期(源周期)和接收周期的關(guān)系,就可以計(jì)算出接收到的頻率.

假定在t1時(shí)刻,第1個(gè)波峰從A出發(fā),到達(dá)P反射回來,到點(diǎn)A′被接收. 設(shè)所用的時(shí)間為t,有

(1)

信號(hào)到達(dá)A′的時(shí)刻為

(2)

當(dāng)飛機(jī)飛到B處時(shí),發(fā)出下一個(gè)波峰信號(hào),此時(shí)刻為t2=t1+τ,此信號(hào)傳播出去,遇到P反射回來,到B′點(diǎn)被接收. 設(shè)所用的時(shí)間為t′,有

(3)

信號(hào)到達(dá)B′的時(shí)刻為

(4)

相鄰兩個(gè)波峰到達(dá)接收機(jī)的時(shí)間間隔

(5)

需要借助輔助線討論,從B′作B′D⊥A′P于D,從B作BE⊥AP于E.

(6)

(7)

(8)

在直角三角形ΔA′DB′中,

(9)

式(9)中θ=∠B′A′D.

在直角三角形ΔAEB中,

(10)

式(10)中φ=∠BAE.

由幾何關(guān)系∠B′A′D=∠BAE+∠A′PA,令δ=∠A′PA,則有θ=φ+δ. 討論式(9)和式(10)中兩個(gè)角的余弦,有

cosθ=cos(φ+δ)=cosφcosδ-sinφsinδ,

(11)

由(6)可知,δ是一個(gè)小角度,δ?1,cosδ≈1,sinδ≈δ,由式(11)得

cosθ=cosφ-δsinφ.

(12)

代入式(9),有

(13)

由式(6),vτ′是長(zhǎng)度的一階小量,δ是弧度一階小量,sinφ是一個(gè)隨飛機(jī)飛行位置變化的有限數(shù)值,所以(vτ′)δsinφ是一個(gè)長(zhǎng)度的二階小量,可以忽略. 式(13)可以變形為

(14)

將式(7)、(8)、(10)、(14)代入(5)可得

(15)

(16)

(17)

(18)

這里,飛機(jī)飛行的航線和從飛機(jī)射向目標(biāo)P的光線的夾角為φ,飛機(jī)還未飛到F,此時(shí)飛機(jī)和目標(biāo)之間是靠近的趨勢(shì),cosφ>0,Δf=f′-f0>0,f′>f0,表現(xiàn)為頻率變大的現(xiàn)象;若飛機(jī)飛到F點(diǎn),cosφ=0,沒有頻率差;若飛機(jī)飛過了F,cosφ<0,飛機(jī)和目標(biāo)之間是遠(yuǎn)離的趨勢(shì),表現(xiàn)為接收到的頻率比源頻率減小的現(xiàn)象. 這和教材[3]中的討論是一致的. 從圖2中可以看出,產(chǎn)生信號(hào)周期差的原因是由于信號(hào)回程時(shí)少走了一段路程,導(dǎo)致接收到的信號(hào)周期比源周期小.

3 進(jìn)一步的思考

以上通過分析兩個(gè)相隔一個(gè)周期(相位相差2π)的波峰信號(hào)的傳播過程,求解出多普勒效應(yīng)中的接收到的信號(hào)周期和源信號(hào)周期的關(guān)系,從而求出頻率差.這種方法同樣適用于教材[3]中的幾種情況的討論: (1) 波源相對(duì)觀察者運(yùn)動(dòng),觀察者靜止; (2) 波源靜止,觀察者相對(duì)波源運(yùn)動(dòng); (3) 超聲波雷達(dá)測(cè)速,雷達(dá)不動(dòng),目標(biāo)相對(duì)雷達(dá)運(yùn)動(dòng). 這些情境中的頻移討論,也可以從相位傳播的角度,應(yīng)用幾何路徑分析的方法進(jìn)行計(jì)算.

4 對(duì)解答的反思

原題解在坐標(biāo)系中嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪M(jìn)行了代數(shù)解析,運(yùn)算要求較高,可以作為更高的要求去學(xué)習(xí)掌握,具有更廣闊的應(yīng)用前景,例如這樣可以更方便的編制程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算等. 本文的討論可以作為一個(gè)過渡,為學(xué)生理解原解答打下基礎(chǔ). 另外在處理幾何的關(guān)系過程中,需要正確判斷高階小量并略去,突出主要因素,這是競(jìng)賽解題中的運(yùn)算的一項(xiàng)基本要求.

5 總結(jié)

基于相位傳播的計(jì)算多普勒頻移方法,可以解決一般的多普勒頻移的計(jì)算問題. 教師采用幾何方法幫助學(xué)生分析信號(hào)傳播路徑,計(jì)算信號(hào)相位傳播的時(shí)延,可以幫助降低計(jì)算難度,達(dá)到數(shù)學(xué)技巧“降階”,而物理直觀“升階”的目的,提高競(jìng)賽輔導(dǎo)的實(shí)效.